14.3 角的平分线 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的作法与性质，通过回顾角平分线概念，结合量角器度量、折纸、角平分仪等方法导入，引导学生从具体操作过渡到尺规作图原理探究，再到性质的猜想与证明，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于以动手操作和问题链激发数学眼光，通过全等三角形推理（如SSS证作图依据、AAS证性质）培养数学思维，规范几何语言表达强化数学语言。实例丰富，如尺规作图对应练习、性质应用的垂线段问题，助力学生发展探究能力与逻辑推理，教师可依托清晰流程提升教学效率。

人教版八年级上册 14.3 角的平分线 第十四章 全等三角形 第1课时 角的平分线的性质 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：用角平分仪 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 知识点1 角的平分线的作法 探究新知 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 知识点1 角的平分线的作法 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识点1 角的平分线的作法 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 知识点1 角的平分线的作法 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 知识点1 角的平分线的作法 A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 知识点1 角的平分线的作法 1.如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样 作图的依据是(　B　) A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS B 对应练习 2.如图，已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线OC. (尺规作图，保留作图痕迹，不要 求写作法) 解：如图，射线OC即为所求. 答图 对应练习 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点 拓展 知识点2 角的平分线的性质 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 知识点2 角的平分线的性质 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 几何语言： 知识点2 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 知识点2 角的平分线的性质 1.如图，OP平分∠AOB，则下列图形能应用“角的平 分线上的点到角两边的距离相等”的是(　B　) A B C D B 对应练习 2.如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长是(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 D 对应练习 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分 线BD交AC于点D，已知DC＝2，则点D到AB边的距离 为 ⁠. 2　 对应练习 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 1. 如图，OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点 N. 若PM＝8，则PN的长为 ⁠. 第1题图 8　 课堂练习 A层 基础练 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E. 若DE＝4，BC＝9，则BD的长为(　B　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第2题图 B A层 基础练 3. (教材P52习题T1)如图，在△ABC中，AD是它的角平分 线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：EB＝FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL). ∴EB＝FC. A层 基础练 4. (教材P50练习T1·改编)如图，在直线MN上求作一点P，使 点P在∠AOB的平分线上.(尺规作图，保留作图痕迹，不要求 写作法) 解：如图，点P即为所求. 答图 A层 基础练 5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F. 若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长 为(　B　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第5题图 B B层 提升练 6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB∶AC＝2∶1，则△ABD与△ACD的面积比为 ⁠. 第6题图 2∶1　 B层 提升练 7. (思想方法·辅助线构造全等)如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P. (1)求证：点P是线段CD的中点； (1)证明：如图，过点P作PE⊥AB于点E. 答图 ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠C＝180°－∠D＝180°－90°＝90°. ∴PC⊥BC. 又∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P， ∴PD＝PE，PE＝PC. ∴PC＝PD. ∴点P是线段CD的中点. C层 拓展练 7. (思想方法·辅助线构造全等)如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P. (2)试探究线段AB，AD，BC的数量关系. (2)解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL).∴AD＝AE. 在Rt△PEB和Rt△PCB中， ∴Rt△PEB≌Rt△PCB(HL).∴BE＝BC. 又AB＝AE＋BE，∴AB＝AD＋BC. C层 拓展练 $