2.3 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过“温故知新”环节回顾方程一般形式、解法及求根公式，以问题引导学生从已有知识过渡到根与系数关系的探究，搭建学习支架。 特色在于“猜想验证”过程，借助具体方程观察根与系数关系，经猜想、验证、归纳得出韦达定理，培养数学思维的推理意识与数学眼光的抽象能力。例题中已知一根求另一根等应用，提升数学语言的模型意识，助力学生发展探究能力，教师使用可清晰把握重难点，提升教学效率。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能利用根与系数的关系求两根之和、两根之积。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历从特殊到一般的探究过程，体会观察、猜想、验证、归纳的数学研究方法。 3. 发现问题与提出问题能力： 能从求根公式中发现根与系数之间的潜在关系，提出猜想并验证。 4. 分析与解决问题能力： 能灵活运用韦达定理解决求两根之和与积、已知一根求另一根、求代数式的值等问题。 二 教学重点与难点 教学重点： 韦达定理：x₁+x₂=，x₁·x₂=的理解与应用。 教学难点： 从ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)出发推导根与系数的关系，理解对应系数相等的原理。 学情分析： 学生已掌握求根公式和方程解法，具备观察和归纳的能力，需要从具体例子中抽象出一般规律。 突破策略： 通过具体方程的根与系数关系的观察→猜想→验证→归纳，引导学生自主发现韦达定理，再应用于各类问题。 三 教学过程 温故知新 1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 求解一元二次方程的方法有哪些？ ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 3. 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式是什么？ 当 b2－4ac≥0 时， 4. 用因式分解法求解一元二次方程时，要把一元二次方程化成什么形式？ 思考：求根公式反映了一元二次方程的每个根和系数之间的一种关系，那么一元二次方程的系数与它的两个根之间有没有关系呢？ 猜想验证 如果ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 必有两个实数根 x＝x1，x＝x2。 反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根， 那么 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) 一定成立吗？ 回答下面的问题： （1）x2＋6x－27＝0 的两根为 x1＝ 3 ，x2＝ －9 。 x2＋6x－27 与 (x－3)(x＋9) 相等吗？相等 （2）2x2－3x＋1＝0 的两根为 x1＝ ，x2＝ 1 。 2x2－3x＋1 与2（x-）(x-1)相等吗？相等 （3）－3x2＋7x－2＝0 的两根为 x1＝ ，x2＝ 2 。 －3x2＋7x－2＝0与-3(x-)(x-2) 相等吗？ 相等 回答下面的问题： （4）你认为 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。 猜想验证 归纳总结： 如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，那么 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)。 思考交流 尝试·交流 根据上面的结论，你能发现一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的系数与它的两个根 x1，x2 之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流。 当 x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根时，根据上面的结论有 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)。 所以ax2＋bx＋c＝ax2－a (x1＋x2) x＋a x1 x2。 所以 于是 思考交流 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根 x1，x2，那 么, 韦达定理。 运用巩固 例题解析 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2＋7x＋6＝0; （2）2x2－3x－2＝0。 解：（1）这里 a＝1，b＝7，c＝6。 ∆＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1＋x2 ＝－7， x1 x2 ＝ 6。 解：（2）这里 a＝2，b＝－3，c＝－2。 ∆＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1， x2，那么 x1＋x2 ＝ ， x1 x2 ＝ -1 巩固练习 1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2－3x－1＝0 ; （2）x(3x＋2)＝5。 2. 小明和小华分别求出了方程 9x2＋6x－1＝0 的根。 小明： 小华： 他们的答案正确吗？说说你的判断方法。 解：因为a＝9, b＝6，c＝－1 所以== 所以 所以，小明说法正确 x1＋x2 ＝- ＝ ， x1 x2 ＝- 所以，小华说法不正确 3. 已知方程的一个根是 3，求它的另一个根。 解：设它的另一个根为 x1。 因为 a＝1, b＝ , c＝－7, 所以根据根与系数的关系得 x1＋3＝ ，或者 3x1＝-7， 所以 x1＝ 所以另一个根为 巩固练习 变式：已知方程 x2＋kx－7＝0 的一个根是 3，求它的另一个根及 k 的值。 对比两种方法，谈谈你的感受。 拓展延伸 1. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2－17x＋66＝0的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？ 不可能是 20。 2. 已知 x1，x2 是一元二次方程 2x2－5x－3＝0 的两个实数根，求下列各式的值： （1）; (2) 解：因为a=2，b=-5，c=-3 所以= 所以, 所以(1)= 所以(2) 3.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k=2。 课堂小结 1. 通过这节课的学习，你收获了哪些知识？ 2. 我们是如何探索一元二次方程根与系数关系的？ 3. 还有其他获得根与系数关系的方式吗？试一试。 4. 利用根与系数的关系可以解决哪些问题呢？ 四 板书设计 2.3 根与系数的关系（韦达定理） 1. 核心结论： 若x₁,x₂是ax²+bx+c=0的两根，则： x₁+x₂= x₁·x₂= 2. 推导：ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 3. 应用： ① 不解方程求两根之和与积 ② 已知一根求另一根 ③ 求含根的代数式的值 五 知识总结 核心知识点： 韦达定理：x₁+x₂=，x₁·x₂= 数学思想方法： 观察归纳、猜想验证、对称美（根与系数之间的对称关系） 知识网络图： 求根公式 → 根与系数关系 → 不解方程求两根之和与积 易错易混警示： ① 忽略Δ≥0的前提条件；② 符号错误（特别是-b/a）；③ 已知一根求另一根时代入出错 六 课后作业 基础作业： 教科书习题 2.3 第 1，2 题。 拓展作业： 查阅资料，了解方程的根与系数的关系的“韦达定理”， 以及法国数学家韦达的生平事迹。 选做作业： 尝试利用求根公式证明“韦达定理”。 7 学科网（北京）股份有限公司 $