2.2 一元二次方程的解法（第2课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，课堂导入先复习二次项系数为1的配方法，通过对比系数不为1的方程，建立“化系数为1再配方”的转化策略，搭建新旧知识支架。 此资料亮点在于渗透化归思想，以分步策略突破分数运算与符号难点，结合小球运动问题和印度古算题激发兴趣，应用拓展至求最值、判断三角形形状，提升学生运算能力与问题解决能力，为教师提供清晰教学流程和多样化练习设计。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（第2课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，能先将二次项系数化为1再配方。 2. 基本思想与基本活动经验： 通过对比已学知识，体会化归思想——将未知问题转化为已知问题。 3. 发现问题与提出问题能力： 能发现"二次项系数不为1"与"系数为1"之间的联系，提出转化策略。 4. 分析与解决问题能力： 能灵活运用配方法解决各类一元二次方程，并会用配方法求最值、判断三角形形状等。 二 教学重点与难点 教学重点： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 教学难点： 先化二次项系数为1再配方时的分数运算，以及配方过程中符号的处理。 学情分析： 学生已掌握系数为1时的配方法，本节课将其推广到一般形式，需要克服分数运算的障碍。 突破策略： 先通过复习回顾巩固基础，再用"先化系数为1→再配方"的分步策略，配合印度古算等趣味问题增强学习兴趣。 三 教学过程 复习回顾 1. 将下列各式填上适当的项，配成完全平方式。 x2+2x＋ 1 ＝（x+ 1 ) 2 x2-4x＋＝ 4 （x- 2 ) 2 x2＋ 12x ＋36＝（x＋ 6 ) 2 x2+10x＋ 25 ＝（x＋ 5 ) 2 x2－x＋ ＝（x－ ) 2 2. 解方程x2-16x-16=0，并回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤。 1.3x2－18x－48＝0这个方程与上节课求解的那些方程有什么联系和区别？你求解的方法是什么？ 结论：遇到二次项系数不为1的一元二次方程时，可以先将二次项系数化为1，再根据配方法的步骤进行求解。 2. 请将下列方程的二次项系数化为1：x2＋4x＋3＝0； x2＋x－3＝0 x2－3x＋5＝0； x2－4x－5＝0。 （1）2x2＋8x＋6＝0； （2）3x2＋5x－9＝0； （4）－5x2＋20x＋25＝0。 （3）－x2＋3x－5＝0； 例 解方程：3x2＋8x－3＝0。 探究思考 思考·交流 （1）一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（单位：m）与运动的时间t（单位：s）满足关系: h＝15t－5t2。小球何时能达到10 m高？你是怎么解决这个问题的？ 解：15t－5t2＝10。 解得：t1＝2，t2＝1。 答：当时间为1s或2s时能达到10m的高度。 （2）你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？与同伴进行交流。 应用新知 1. 解方程： （1）4x2－8x－3＝0； （2）3x2－9x＋2＝0； （3）2x2＋6＝7x。 2. 印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏。八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数共多少，两队猴子在一起。”请你解决这个问题。 题目大意：一群猴子分成两队，一队猴子的数量是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子的数量是12，那么猴子的总数是多少？ 3. 请尝试用配方法说明： 不论 k 取何值（只在实数范围内考虑），多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零。 课堂小结 1.请你归纳解一元二次方程的基本步骤。 2.还有哪些问题可以利用配方法来解决？ 当堂检测 1. 用配方法解下列方程： （1）3x2－4x＋1＝0； （2） 2. 若,求(xy)z的值。 四 板书设计 2.2 配方法（第2课时） 1. 系数不为1时的策略：先化系数为1，再配方 例：3x²+8x-3=0 → x²+x-1=0 配方：(x+)²= → x₁=, x₂=-3 2. 完整步骤：化→移→配→开→解 3. 应用：求最值、判断三角形形状 五 知识总结 核心知识点： 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 数学思想方法： 化归思想（化为已知问题）、配方降次、字母运算能力 知识网络图： 一般式ax²+bx+c=0 → 化a=1 → 配方 → 开平方 → 求解 易错易混警示： ① 化系数为1时漏项；② 配方时计算()²出错；③ 分数运算符号错误 六 课后作业 基础类作业：教科书习题2.2 第1（5）（6）（7）（8）题。 反思类作业： 1. 方程 2x2－3m－x＋m 2＋2＝0 有一根为 x＝0，则 m 的值为（ ）。 A. 1 B. 1 C.1 或 2 D. 1 或 －2 2. 应用配方法，求最值: （1）2x2－4x＋5 的最小值； （2）－3x2＋5x＋1 的最大值。 综合类作业： 1. 教科书习题 2.2 第 10 题。 2. 已知 a，b，c 分别为 △ABC 的三条边的边长，且 a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，试判断 △ABC 的形状。 3. 用配方法探究一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法。 6 学科网（北京）股份有限公司 $