2.2 一元二次方程的解法 第3课时教学设计 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程求根公式推导、公式法解法及根的判别式，通过复习配方法解具体方程，引导学生推导一般形式方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于让学生自主完成求根公式推导强化推理能力，结合实例（如判断方程根的情况、解决直角三角形边长问题）培养应用意识，帮助学生发展数学思维与表达，为教师提供清晰教学流程和实践案例。

第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第3课时   一、教学目标 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式. 2.能用公式法解数字系数的一元二次方程. 3.不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等. 4.在推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练进一步发展演绎推理能力.   二、教学重难点 重点：理解求根公式和根的判别式. 难点：能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用判别式判断方程根的情况.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：先让学生尝试用配方法解方程，学生自主动手解答. 问题1：用配方法解方程：2x2-4x-6=0. 预设答案：方程两边都除以2，得x2-2x-3=0. 移项，得x2-2x=3. 配方，得x2-2x+1=3+1， 即(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1= ±2. ∴x1=3，x2=-1. 问题2：你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 预设答案：①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解. 教师强调②③两步的顺序可以调换，没有强制要求. 追问：你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？ 设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习做准备. · 探究新知 活动一：公式法解一元二次方程 教师活动：通过用配方法解一般形式的一元二次方程，引导学生完成求根公式的推导过程，从而得出用公式法解一元二次方程. 试一试：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程. 预设答案：方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 思考：此时能直接开方吗？ 分析：因为a≠0，所以4a2 >0. 当b2-4ac ≥ 0时，是一个非负数，此时两边才可以开平方. 开方，得 ， 即：. 设计意图：鼓励学生完成公式的推导过程，一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过互相交流，让学生加深印象，有助于认识和理解求根公式. 总结：对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，当b2 - 4ac ≥ 0时，它的根是： . 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 设计意图：明确求根公式及公式法的概念. 活动二：根的判别式 想一想：(1)你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的呢？ 预设答案：∵a=1，b=-2，c=3.∴b2 -4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8＜0 根据求根公式的条件知：无法使用求根公式. x2 -2x + 3 = 0配方，得(x-1)2 =-2. 由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根. (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），当 b2-4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？ 预设答案：当b2-4ac<0时，，没有意义，所以当b2-4ac<0时，方程无实数根. 设计意图：通过探究 b24ac＜0的情况，引出对方程的根的探讨，总结归纳得出Δ=b24ac是一元二次方程的根的判别式. 总结：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac＜0时，方程无实数根； 由此可知，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b²−4ac来判定.我们把b²−4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“𝛥”来表示. 议一议：在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流. 预设答案：①将一元二次方程转化为完全平方形式，便于直接开方求解； ②为推导求根公式提供基础； ③还能根据配方后等号右边的数的正负，直接判断方程有没有实数根. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1：解方程 (1) x2 -7x-18 = 0；(2) 4x2 +1=4x. 解：(1)这里a = 1，b = -7，c = -18. ∵b2-4ac = (-7)2 - 4×1× (-18)= 121 > 0， ， (2) 将方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. ∵ b2-4ac = (-4)2-4×4×1=0， . . 设计意图：让学生在探究过程中进一步理解用公式法解一元二次方程的基本思路及步骤，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1) 2x2+5=7x； (2)4x(x-1)+3 = 8. (3) 4(y²+0.09)=2.4y. 解：(1) 将方程化成一般形式：2x2-7x + 5 = 0； Δ=b2-4ac=(-7)2 -4×2×5 =9>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. (2)将方程化成一般形式：4x2-4x+3=0； Δ=b2-4ac=(-4)2 -4×4×3 =-32＜0. ∴此方程没有实数根. (3)将方程化成一般形式：4y22.4y+0.36=0； Δ=b2-4ac=(2.4)2 -4×4×0.36 =0. ∴此方程有两个相等的实数根. 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0；(2) 9x2 + 6x + 1 = 0；(3) 16x2 + 8x = 3；(4) x(x-3) + 5 = 0 . 解：(1)这里a=2，b=-9，c=8. ∵b2-4ac= (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0， ， (2)这里a = 9，b = 6，c = 1. ∵b2 -4ac = 62 - 4×9×1=0， ， (3)将方程化为一般形式，得16x2+8x-3=0 这里a = 16，b = 8，c = -3. ∵ b2 -4ac = 82 - 4×16×（-3）= 256 > 0， ，. (4)将方程化为一般形式，得x2-3x+5=0 这里 a = 1，b = -3，c = 5. ∵b2 -4ac = (-3)2 - 4×1×5= -11 < 0， ∴方程没有实数根. 3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形三条边的长. 解：设中间的偶数为x，则三条边的长度分别为x−2，x，x+2. 根据勾股定理，得(x−2)²+x²=(x+2)². 整理得x²−8x=0. 这里a=1，b=−8，c=0. ∵b²−4ac=(−8)²−4×1×0=64>0，∴x=， 即=0(舍去)， =8. 当x=8时，x−2=6，x+2=10. 答：这个三角形三条边的长分别为6，8，10. 【自选练习】 4. 《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺) 解：如图，设门的高为 x 尺. 根据题意得 x2+ (x-6.8)2=102. 即2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程，得x1＝－2.8(舍去)，x2＝9.6． ∴ x - 6.8 = 2.8. 答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.什么是公式法？ 2.求根公式是什么？ 3.什么是一元二次方程根的判别式？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $