2.3 一元二次方程的根与系数的关系教学设计 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习一般式、求根公式及判别式搭建学习支架，衔接旧知与新知，为探究根与系数的关系奠定基础。 以“观察-猜想-验证”为主线，结合因式分解实例引导学生从特殊到一般推理，培养数学思维（推理意识）。例题与练习融入实际问题，强化模型意识与应用意识，助力学生掌握知识，提升教师教学效率。

第二章 一元二次方程 3 一元二次方程的根与系数的关系   一、教学目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想. 4.增强学习的信心，培养科学探究精神.   二、教学重难点 重点：了解一元二次方程的根与系数的关系. 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：先让学生尝试说出一元二次方程的一般式及求根公式，并提出问题，加深对判别式的理解，为新课的学习打下基础. 问题1：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 预设答案：ax2+bx+c=0 (a≠0). 问题2：一元二次方程的求根公式是什么？ 预设答案：. 强调适用的条件：Δ= b2–4ac≥0. 问题3：当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况如何？ 预设答案：Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根； Δ= 0时，方程有两个相等的实数根； Δ< 0时，方程没有实数根. 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备. · 探究新知 活动：根与系数的关系 用因式分解法解方程ax²+bx+c=0(a≠0).可得a(x−) (x−)，一元二次方程有两个实数根x=，x=. 思考：如果，是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x−)(x−)一定成立吗？ (1)2x²−3x+1=0的两根为=， =1，那么2x²−3x+1和2(x−)(x−1)相等吗？换几个一元二次方程再试一试. 预设答案：2(x)(x−1)=2(x²−xx+)=2x²−3x+1.相等 x²−5x+6=0的解为=2，=3，1∙(x−2)(x−3)=x²−5x+6.相等 3x²+x−2=0的解为=，=−1，3(x−)(x+1)=3x²+x−2. 相等 (2)你认为ax²+bx+c=a(x−) (x−)是否一定成立？与同伴进行交流. 预设答案： 如果，是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x−)(x−). 设计意图：通过思考，一方面复习一元二次方程的解法，另一方面为探究一元二次方程根与系数的关系打下基础. 试一试：如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流. 预设答案：ax²+bx+c=a(x−)(x−) =ax²−a(+)x+a. 所以b=−a(+)，c=a. 于是=，=. 追问：能证明它们为什么成立吗？ 证明：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为：. . . 设计意图：让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系. 总结：一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么： . 强调：两个实数根的前提条件为b2–4ac≥0. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2+7x+6=0；(2) 2x2-3x-2=0. 解：(1)这里 a = 1，b =7，c =6. Δ =b2–4ac= 72–4×1×6 = 49–24 = 25 > 0 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么.x1+x2=7，x1x2 =6. (2)这里a=2，b=–3，c=–2. Δ =b2–4ac = (–3)2–4×2×(–2) = 9+16 = 25 > 0， 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么.x1+x2=，x1x2 =–1. 设计意图：让学生在探究过程中进一步熟练根与系数的关系，并学会应用其解决简单的问题，培养学生的应用意识. 技巧点拨：应用根与系数的关系需注意什么？ ①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2–4ac≥0； ③使用x1+x2时， 注意“－”不要漏写. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2–3x–1=0； (2) 3x2+2x–5=0. 解：(1)这里a=1，b=–3，c=–1. Δ =b2–4ac = (–3)2–4×1×(–1) = 9+4 =13 > 0， 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=3 ，x1x2 = –1. (2)这里 a = 3，b = 2，c = –5. Δ =b2–4ac = 22–4×3×(–5) = 4+60 = 64 > 0， 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么.x1+x2= ，x1x2 =. 2. 小明和小华分别求出了方程 9x2+6x–1=0 的根. 小明：x1 = x2 =； 小华：x1 =，x2 = . 他们的答案正确吗？说说你的判断方法. 解：由题意，可得x1+x2=，x1x2 =. 小明和小华求得的根与算式都不符合. 所以小明和小华的答案都不正确. 3.已知方程x²x−7=0的一个根是3，求它的另一个根. 解：由题意，可得+=，设=3. 可得3+=，解得=. 所以方程的另一个根是. 【自选练习】 4.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2–17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？ 解：由题意，可得 x1+x2= 17， 即两边长之和为17，17小于20， 所以这个三角形的第三边的长不可能是20. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.什么是一元二次方程的根与系数的关系？ 2.应用根与系数关系的注意事项是什么？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $