2.2 一元二次方程的解法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，课堂导入从回顾平方根性质及直接开平方法入手，通过矩形场地面积问题引出方程x²+8x-9=0，引导学生发现需转化为完全平方式，搭建新旧知识过渡支架。 此资料以实际情境激发探究欲，通过填空练习（如x²+12x+__=(x+6)²）帮助学生抽象完全平方关系培养数学眼光，规范解题步骤与变式训练发展推理意识和运算能力，分层检测与拓展阅读提升应用意识，助力学生理解转化思想，为教师提供清晰教学流程和分层资源。

同步练习2.2一元二次方程的解法 第1课时用配方法解简单的一元二次方程 夯实基础 1.一元二次方程 的根是() A. B C. D. 2.解一元二次方程 时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为 ,则 另一个方程为() A. B c D 3.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为() A. B C. D 4.用配方法解方程 时，经过配方后正确的是() A. B. C. D. 5.如果关于的方程 可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是() A. B C D 6.用配方法解一元二次方程 时，可将原方程配方成 ,则 的值是一· 7.解方程： (1) (2) 8.用配方法解下列一元二次方程： 第1页（共8页） (1) (2) 能力提升 9.如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是() 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方，然 后加上它的3倍，运算结果与这个数的相 反数减4相同。 A. B. D.1 10.对任意实数，定义新运算： ,如： ·若 ,则的 值为· 11.用直接开平方法解下列方程： (1) (2) 12.阅读下列关于解方程： 的解题过程，解决下列问题， 解： ① ② ③ 第2页（共8页） 或 ④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程， 思维拓展 13.若方程x2-4x-10=0能配成 的形式，则直线 不经过第 象限. 第3页（共8页） 答案详解 3.解：由题知， 所以 故选： 2.解：由题知， 因为 则 所以 或 即另一个方程是 故选： 5.解：、 此方程有解， 故不符合题意： 故不符合题意： 第4页（共8页） 故不符合题意： 故符合题意： 故选： 6.解： 移项，得 配方得 整理左侧为完全平方式，得 故选：· 4.解：根据题意得 解得 故选： 8.解：由题知， 因为原方程可配成 形式， 所以 则 第5页（共8页） 故答案为：24. 10.解：(1)原方程移项可得： (2)原方程变形可得： 或 11.解：（1) (2) 1.解：设这个数为，则 整理得 第6页（共8页） 解得 故选： 7.解：根据题意得得 解得， 故答案为：1. 13.解：(1) (2) 12.解：(1)由所给解题过程可知， 错在步骤②. 故答案为：②： (2) 第7页（共8页） 则 所以 9.解： 又方程x2-4x-10=0能配成 的形式， ∴p=-2.9=14 直线 可以写成直线y=-x+14 直线y=-x+14经过第一、二、四象限，不经过第一象限， 直线 不经过第三象限， 故答案为：三 第8页（共8页） 2　一元二次方程的解法 第1课时　用配方法解简单的一元二次方程 【课堂引入】 同学们，前面我们已经学习如果x2＝a，那么x叫作a的平方根；所以只要把方程化为完全平方的形式，就可以直接开平方求出方程的根。 那大家来看这个方程：x²+6x+5=0，它能直接用直接开平方法求解吗？ 学生观察发现，左边不是完全平方式，无法直接开平方。 这个方程左边是二次三项式，如果我们能想办法把它变形，转化成(x+m)²=n的形式，是不是就可以继续求解了？观察x²+6x，加上一个什么数，它就能凑成一个完全平方式？ 今天我们就一起来学习一种新的解方程方法——配方法，学会通过配方，把普通一元二次方程转化为可以直接开平方的方程，进而求出方程的解。 课题 第1课时　用配方法解简单的一元二次方程 授课人 素养目标 1.会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程． 2．理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程． 3．在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，培养用转化的数学思想解决问题的能力. 教学重点 理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 教学难点 运用配方法解一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 1.什么叫作平方根？ 2．平方根有哪些性质？ 3．9的平方根是±3，的平方根是±，的平方根是±． 4．尝试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流． (1)x2＝25.　　　　　　　　　(2)x2－0.16＝0. 回顾平方根的概念、性质和开平方的意义，有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程，为学习新知打下基础. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题： 要使一块矩形场地的长比宽多8 m，并且面积为9 m2，场地的长和宽应各是多少？ (1)这个问题如何解决？怎样列方程？ (2)如何解所列出的方程？怎样把它转化为我们已经会解的方程？ 在学生完成问题(1)的基础上，教师提出问题(2). 从实际问题入手，激发学生的求知欲，调动学生的主动性，从而让学生投入到本节课中. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ (1)x2＝5；(2)(x＋2)2＝5；(3)x2＋6x＋9＝5. 教师出示问题，学生思考并作答．根据已有的开平方的知识，学生可以口答出方程x2＝5的解是x＝±.对于方程(2)，基础好的学生可以效仿方程(1)，直接开方运算，移项后得到方程的解是x＝－2±.但是也会出现个别学生利用完全平方公式把方程左边展开，这里教师要关注学生的思维过程，适时对方程的解法进行对比探究．有了方程(2)的解法作基础，在求方程(3)的解的过程中，学生很容易想到利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解是x＝－3±. 2．课件出示“操作、思考”： 填上适当的数，使下列等式成立．(选3个学生口答) x2＋12x＋________＝(x＋6)2； x2－4x＋________＝(x－________)2； x2＋8x＋________＝(x＋________)2. 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子，如何配成完全平方式？(小组合作交流) 3．学习了以上知识，解决【课堂引入】中的问题，解方程：x2＋8x－9＝0. 解：把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9. 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x2＋8x＋()2＝9＋()2， 即(x＋4)2＝25. 两边开平方，得x＋4＝±5， 即x＋4＝5或x＋4＝－5. 所以x1＝1，x2＝－9. 教师提问：配方的目的是什么？配方的关键是什么？配方时应注意什么？教师提出问题，学生分小组讨论交流． 教师归纳：配方的目的是通过配成完全平方式来解方程；配方的关键是加上一次项系数一半的平方．需要注意的是，对二次项系数为1的一元二次方程配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 1.通过解三个具体的方程唤起学生的记忆，明确所求解的一元二次方程的特点是：等号一边是完全平方式，另一边是一个非负常数，运用直接开平方法可以求解．这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础．通过观察现在出现的方程与直接开平方法求解的方程结构上的联系，启发学生逆向研究问题的思维方式，为探究活动做好铺垫． 2．配方法的关键是熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，帮助学生进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系． 3．规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及如何将方程转化成一般形式，由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 【例1】解下列方程： （1）； （2）． 解：（1）原方程整理得， 开平方得或； （2）直接开立方得， 解得． 【例2】用配方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 解：（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ， ，． 【变式训练】解下列方程： (1)x2＝5.　　　　　　　(2)2x2＋3＝5. (3)x2＋2x＋1＝5. (4)(x＋6)2＋72＝102. 解：(1)x1＝，x2＝－. (2)x1＝1，x2＝－1. (3)x1＝－1＋，x2＝－1－. (4)x1＝－6＋，x2＝－6－. 通过例题巩固所学知识. 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为(D) A．(x＋1)2＝0　　B．(x－1)2＝0　　 C．(x＋1)2＝2　　D．(x－1)2＝2 2．填空： (1)x2＋10x＋25＝(x＋5)2.　　(2)x2－12x＋36＝(x－6)2. (3)x2＋5x＋＝(x＋)2.　　(4)x2－x＋＝(x－)2. 3．用直接开平方法解下列方程： (1)4x2＝81.(2)36x2－1＝0.(3)(x＋5)2＝25.(4)x2＋2x＋1＝4. 解：(1)x1＝，x2＝－.(2)x1＝，x2＝－. (3)x1＝0，x2＝－10.(4)x1＝1，x2＝－3. 4．解方程： （1）． （2）． 解：（1）原方程配方可得： ， ， ， ，． （2）解：， ，即， 则， ． 检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，关键步骤是：移项→配方→开方→求解，其中配方是在方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边化成完全平方式． (2)配方时要特别注意符号和等式两边同时加同一个数，解完后要检验结果是否正确，养成规范、严谨的解题习惯． 2．布置作业： 教材第38页随堂练习第1题. 学生归纳、梳理，形成体系，养成良好的学习习惯．布置作业体现分层教学，加深认识、深化提高，形成体系. 教学反思 　本节课主要学习直接开平方法与配方法，重点求解二次项系数为1的一元二次方程。教学从平方根的定义与性质入手，立足学生已有的旧知，引导学生理解直接开平方法的数学本质就是平方根的求解，再通过“构造完全平方式”这一转化思想，自然过渡到配方法的学习，打通新旧知识的内在逻辑，帮助学生构建完整的一元二次方程求解知识框架。 从课堂反馈来看，大部分学生能够理解并熟练运用直接开平方法，规范完成基础题型求解。但落实到配方法的学习时，暴露出不少问题：部分学生没有真正理解为什么要加上“一次项系数一半的平方”，只是机械记忆操作步骤，对配方的原理认识较为模糊。做题过程中频繁出现漏加常数项、符号处理出错、等式两边不同步加常数等典型运算错误，反映出学生对等式性质、完全平方公式的综合运用还不够扎实。 在后续教学中，要针对配方这一核心难点设计分层对比练习，不能只停留在机械刷题。一方面结合完全平方公式回顾，讲清配方每一步的道理，突破认知难点；另一方面设置对比题组，辨析直接开平方法与配方法的适用条件，组织学生共同归纳解题流程与易错点。同时重视课堂演算展示，把学生的典型错误进行集体辨析纠错，强化等式变形的严谨性，进一步提升学生代数运算的准确性，发展学生转化划归的数学思维。 反思，更进一步提升. 拓展阅读：“方程”一词的前世今生 16世纪，欧洲代数快速发展。在韦达之前，数学家大多用文字完整叙述数量关系，书写繁琐难懂。法国数学家韦达改良代数符号体系，用字母分别标记已知数与未知数，“含有未知数的等式”成为独立研究对象，拉丁语称作“aequatio”，也就是英文的“equation”。 早在宋元时期，我国数学家李冶就创造天元术，用“天元”代表未知数，相当于今天“设未知数x”，不过这套古代算法依靠算筹推演，没有发展出字母符号体系。 十七世纪，西方代数初次传入我国，“equation”被译作“相等式”。受时代局限，这套外来数学知识仅在少数读书人当中流传，没能大范围普及。 十九世纪中叶，西学大规模传入。1859年，李善兰与伟烈亚力合作翻译数学著作，创造数百个中文数学名词，不少名词沿用至今。翻译“equation”时，借用《九章算术》里古老的“方程”二字。要注意，古书里的“方程”原本指多元一次方程组，从此它被赋予新含义：含有未知数的等式。 后来，华蘅芳与傅兰雅翻译《代数学》，主张把新旧概念分开：古义保留给“方程”，把含有未知数的等式叫作“方程式”。这套说法流传数十年。 1934年，中国数学学会统一审定数学名词，确定“方程”“方程式”同义。广义既可以指高次方程，也可以指方程组；狭义专指一元n次方程。两相比较，“方程”更加简洁，于是一直沿用至今。 学科网（北京）股份有限公司 $