1.3 矩形的性质与判定（第1课时）教学设计 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦矩形的特殊性质（四个角都是直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线定理，通过复习矩形概念，类比菱形研究路径，引导学生从边、角、对角线、对称性四角度探究，搭建平行四边形到矩形的知识支架。 特色在于以“观察-猜想-证明-归纳”为主线，通过矩形纸片操作发现对角线关系，培养几何直观与创新意识。严谨证明性质（如两种方法证对角线相等）发展推理能力，例1将矩形问题转化为直角三角形问题渗透转化思想。课后实践作业联系生活提升应用意识，助力教师高效教学，帮助学生构建知识网络。

第一章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定（第1课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能：掌握矩形的两条特殊性质（四个角都是直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线定理，能运用这些性质进行计算和推理。 2. 基本思想与基本活动经验：经历从观察、猜想、证明到归纳的探究过程，体会类比菱形研究方法研究矩形的思想。 3. 发现问题与提出问题能力：能从矩形纸片的操作中发现对角线关系，提出直角三角形斜边中线性质的猜想。 4. 分析与解决问题能力：能运用矩形的性质定理和直角三角形斜边中线定理解决计算问题，提升推理能力。 二 教学重点与难点 教学重点：矩形的两条特殊性质（四个角都是直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线定理。 教学难点：矩形性质的证明及应用，直角三角形斜边中线定理的推导。 学情分析：学生已掌握平行四边形的性质和菱形的研究方法，能类比地进行研究，但证明的严谨性需加强。 突破策略：类比菱形的研究路径，引导学生从边、角、对角线、对称性四个角度探究矩形的性质。 三 教学过程 （一）复习引入 1. 矩形的概念是什么？ 2. 矩形有哪些性质？ 3. 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。 你能列举一些这样的性质吗？ （三）新知探究 尝试·思考 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？先独立思考，再以小组为单位交流讨论，得出结论。 结论：矩形的四个角都是直角；对角线相等。 推理论证，探究新知 已知：如图 1，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC＝90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：（1）∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； （2）AC＝DB。 证明：（1）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA ，∠BCD ＝∠DAB （矩形的对角相等）， AB∥ DC（矩形的对边平行）。 图1 ∴∠ABC＋∠BCD ＝ 180°。 又∵∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°。 ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ＝∠DAB ＝ 90°。 证明：（2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝DC（矩形的对边相等）。 在△ABC 和 △DCB 中， ∵ AB＝DC, ∠ABC＝∠DCB，BC＝CB。 ∴△ABC≌△DCB 。 ∴AC＝DB。 推理论证，探究新知 另一种方法： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， AB＝DC， ∴AC²＝ AB²＋BC², DB²＝DC²＋BC²。 ∴AC＝DB。 推理论证，探究新知 矩形是特殊的平行四边形, 矩形具有平行四边形的所有性质。 矩形的特殊性质： 定理 矩形的四个角都是直角。 定理 矩形的对角线相等。 几何语言： 在图2中，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB， 图2 AC＝BD。 推理论证，探究新知 练习 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）。 A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ）。 A.四个角都是90° B.对边相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 观察·思考 如图 3，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到如图 4 所示的图形，BE 是 Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 图3 图4 建构新知，发展问题 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 已知：如图 5，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，E 为斜边 AC 的中点。 求证：BE＝AC。 图 5 建构新知，发展问题 证明：如图 6，延长 BE 到 D，使得 DE＝BE，连接 AD, CD。 ∵点 E 为 AC 的中点， ∴AE＝CE， ∵DE＝BE， ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义）， 图 6 ∴AC＝BD（矩形的对角线相等）， ∴BE＝BD＝AC。 思考：这个定理与矩形的性质定理有什么关联？在学习的过程中你有什么思考？ 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形； 矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。 因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。 练习 已知：如图 7，△ABC 是直角三角形，∠ABC＝90°，BD 是斜边 AC 上的中线。 （1）若 BD＝3 cm，则 AC＝ cm； （2）若∠C＝30°，AB＝5 cm，则 AC＝ cm， 图 7 BD＝ cm。 合作交流，解决问题 例1 如图 8，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD＝120°， AB＝2.5，求这个矩形对角线的长。 分析：根据矩形的对角线相等且互相平分， 可以得到 OA＝OB＝OC＝OD， 再利用等边三角形的性质，即可求解。 图8 合作交流，解决问题 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°（矩形的四个角都是直角）， AC＝BD（矩形的对角线相等）， OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD（矩形的对角线互相平分）。 ∴OA＝OD。 ∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝ (180°－120°)＝30°， ∴BD＝2AB＝2×2.5＝5。 合作交流，解决问题 随堂练习 如图 9，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB＝6，OA＝4， 求 BD 与 AD 的长。 图9 【幻灯片21】 合作交流，解决问题 总结 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形； 矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。 因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。 （六）课堂小结 反思交流，课堂小结 本节课你学到了什么知识？它们之间有怎样的关联？用到了哪些研究方法？这些研究方法与平行四边形、菱形的研究方法有什么共同点？ 反思交流，课堂小结 课堂检测 1. 下列说法错误的是（ ）。 A.矩形的对角线互相平分 B.矩形的对角线相等 C.矩形有四条对称轴 D.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. 已知矩形的一条对角线长为 10 cm，两条对角线的一个交角为 120°，则矩形的边长分别为 cm。 四 板书设计 1.3 矩形的性质与判定（第1课时） 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形 定理1 矩形的四个角都是直角 定理2 矩形的对角线相等 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 应用 求对角线长、边长，综合证明 五 知识总结 核心知识点： 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形问题可化为直角三角形或等腰三角形问题 数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、转化思想、证明与推理 知识网络图：平行四边形──一个直角──→矩形 矩形性质：四直角/对角线相等 推论：直角三角形斜边中线=斜边一半 易错易混警示：①矩形对角线相等但不一定垂直；②直角三角形斜边中线定理只适用于斜边中点；③注意区分性质与判定条件。 六 课后作业 布置作业，能力提升 1. 基础性作业 教科书习题 1.3 第1，2，7 题。 2. 发展性作业 问题解决：你能用哪些方法检查你家（或教室）的门框是不是矩形？如果仅有一根足够长的绳子，你想怎样检查？请与同伴合作，动手操作一下，并尝试说明检查方法的正确性。 1 学科网（北京）股份有限公司 $