2.2 一元二次方程的解法（第3课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程公式法，核心为求根公式推导与应用及判别式判断根的情况。课堂以配方法解具体方程导入，引导学生用含a、b、c的字母配方推导公式，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于问题驱动探究，如“能否用统一公式解所有一元二次方程”培养数学眼光中的抽象能力与创新意识。推导过程渗透化归与分类讨论思维，通过判别式Δ的三种情况发展推理意识，实例丰富如解方程、判断根的情况，课后综合作业（直角三角形边长、鸡舍面积）体现数学语言的模型意识，助力学生掌握知识，方便教师教学实施。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（第3课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 掌握公式法解一元二次方程，理解求根公式的推导过程，会用判别式判断根的情况。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历从配方法到公式法的推导过程，体会从特殊到一般、化归与降次的思想方法。 3. 发现问题与提出问题能力： 能提出"能否用统一公式解所有一元二次方程"的问题，并参与公式的推导。 4. 分析与解决问题能力： 能熟练运用公式法解方程，能不解方程判断根的情况，理解判别式的作用。 二 教学重点与难点 教学重点： 求根公式的推导与应用，判别式Δ=b²-4ac判断根的情况。 教学难点： 求根公式的推导过程（含字母的配方），以及判别式与根的情况之间的逻辑关系。 学情分析： 学生已掌握配方法，具备理解公式推导的知识基础，但字母运算能力需要加强。 突破策略： 从配方法出发，引导学生用含a、b、c的字母进行配方推导，自然得出求根公式，再通过判别式分类讨论根的情况。 三 教学过程 温故知新，唤醒思维 1.用配方法解方程：2x2－3x＋1＝0 2.利用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）的基本步骤是什么？ 你能用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 吗？请你试一试， 并与同伴进行交流。 探究新知，建构公式 这就是说，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 b2－4ac≥0时，它的根是 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 例 解方程： （1） x2－7x－18＝0； （2）4x2＋1＝4x。 回顾以上两种解法，请你谈谈对这两种解法的理解。 再探新知，深化认知 尝试·思考 （1）你能解一元二次方程 x2－2x＋3＝0吗？你是怎么想的？ （2）对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ， 当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？ 再探新知，深化认知 学以致用（一） 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2－7x＋5＝0 （2）4x(x－1)＋3＝0 （3）4( y2＋0.09)＝2.4 y。 （1）解：将原方程化成一般形式，得 2x2－7x＋5＝0。 这里 a＝2，b＝－7，c＝5。 因为 b2－4ac＝(－7) 2－4×2×5＝9＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根。 （2）解：将原方程化成一般形式，得 4x2－4x＋3＝0。 这里 a＝4，b＝－4，c＝3。 因为 b2－4ac＝(－4) 2－4×4×3＝－32＜0， 所以，原方程没有实数根。 （3）解：将原方程化成一般形式，得 这里 a＝4，b＝－2.4，c＝0.36。 因为 b2－4ac＝(－2.4) 2－4×4×0.36＝0， 所以，原方程有两个相等的实数根。 学以致用（二） 2.用公式法解方程： （1） 2x2－9x＋8＝0； （2） 9x2＋6x＋1＝0； （3）x(x－3)＋5＝0。 （1）解：这里a=2,b=-9,c=8 因为 b2－4ac＝(－9) 2－4×2×8＝17＞0， 所以 即 (2) 解：这里a=9,b=6,c=1 因为 b2－4ac＝62－4×9×1＝0， 所以 (3)解：将原方程化为一般形式，得：x2－3x＋5＝0。 这里a=1,b=-3,c=5 因为 b2－4ac＝(－3) 2－4×1×5＝－11＜0， 所以， 原方程没有实数根。 思考交流，领悟本质 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流。 配方的作用是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程求解。 课堂小结，梳理沉淀 1. 本节课你收获了哪些知识？有何作用？ 2. 用公式法解方程应注意的问题有哪些？ 3. 你还有哪些困惑？ 四 板书设计 2.2 公式法（第3课时） 1. 求根公式推导（由配方法）： ax²+bx+c=0 → 2. 判别式Δ=b²-4ac： Δ>0 → 两个不相等实数根 Δ=0 → 两个相等实数根 Δ<0 → 无实数根 3. 公式法步骤：化一般形式→确定a,b,c→算Δ→代公式 五 知识总结 核心知识点： 求根公式，判别式Δ=b²-4ac 数学思想方法： 从特殊到一般、分类讨论（Δ>0,=0,<0）、公式化思想 知识网络图： 配方法 → 字母配方 → 求根公式 → 判别式判断根的情况 易错易混警示： ① 未化一般形式就代入a,b,c；② Δ<0时仍硬算；③ 公式分子分母搞混 六 课后作业 （一）基础类作业 1. 用公式法解方程： （1） 2x2－4x－1＝0； （2）5x＋2＝3x2； （3）(x－2)(3x－5)＝1； （4） 0.2x2＋5 2. 写一个一元二次方程，并判断这个方程的根的情况。 （二）综合类作业 1. 一个直角三角形三条边的边长为三个连续偶数，求这个三角形三条边的边长。 2. 某农场要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙（墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m。 （1）鸡舍的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？ （2）鸡舍的面积能达到250 m2吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 （三）反思类作业 选择一个你感兴趣的领域，设计一个用一元二次方程解决的真实场景问题。要求： （1）写出场景对应的一元二次方程。 （2）用本节课所学的公式法求解该方程。 （3）思考：在这个场景中，数学起到了什么样的“跨界工具”的作用呢？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $