2.1 认识一元二次方程（第1课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数识别，通过《九章算术》问题和行程问题回顾一元一次方程，再以地毯铺设、连续整数、梯子滑动三个生活问题引出新方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 以实际问题为载体，引导学生观察、对比、化简方程归纳共同特点，体现数学眼光（从生活现象发现数量关系）和数学思维（推理归纳），评价诊断通过辨析题强化概念理解，培养批判性思维，助力学生发展建模思想和抽象能力，为教师提供清晰的探究式教学路径。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程（第1课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能够识别一元二次方程并说出各项系数。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，体会建模思想，感受从特殊到一般的探究方法。 3. 发现问题与提出问题能力： 能从现实情境中发现问题，提出方程模型，体会数学与生活的联系。 4. 分析与解决问题能力： 能对实际问题进行分析，设未知数、列方程，并能化简整理方程为一般形式。 二 教学重点与难点 教学重点： 一元二次方程的概念及一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能从实际问题中列出一元二次方程。 教学难点： 从实际问题中抽象出一元二次方程模型，理解"整式方程""只含一个未知数"等关键条件。 学情分析： 学生已掌握一元一次方程的解法，具备列方程解决实际问题的能力，但对"二次"方程缺乏认知，需要从具体情境引导发现。 突破策略： 通过三个贴近生活的实际问题（地毯铺设、连续整数、梯子滑动）引导学生观察、对比、归纳，逐步抽象出一元二次方程的概念。 三 教学过程 整体建构 1. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？题目大意：今有人合伙购物，若每人出 8钱，则会多出 3 钱；若每人出 7 钱，则又少 4 钱。人数、物品价格分别是多少？设人数为 x ，则可列方程为 8x－3＝7x＋4 。 2. 甲、乙两地相距 1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍。如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，则可列方程为 。 研究一类方程，一般会经历怎样的探究过程？ 生活中还存在哪些方程模型？说说你的想法。 探索新知 思考·交流 1. 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m，宽为 5m，现准备在地面正中间铺设一块 面积为 18m2 的地毯（图 1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相等，你能求出这个宽度吗? 图1 思考：类比列一元一次方程解决实际问题的思路和方法，说说解决这个问题的思路和方法，并列出方程。 2. 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m，宽为 5m，现准备在地面正中间铺设一块 面积为 18m2 的地毯（图 1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相等，你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为xm，那么你能 列出怎样的方程？ (8－2x)(5－2x)＝18 探索新知 图1 2. 观察下列等式： 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 102＋112＋122＝132＋142。 思考：如果将这五个连续整数中的第一个整数设为 x，那么怎样用含 x 的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程? x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2 ＝(x＋3)2 ＋(x＋4)2 3. 如图2，一架长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8m。如果梯子顶端下滑 1m，那么梯子底端滑动多少米？ 图2 思考：你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗？在梯子滑动过程中还有哪些量或关系保持不变？如果设梯子底端滑动 x m，那么你能列出怎样的方程? (x＋6)2＋72＝102 观察·交流 概念形成 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：2x2－13x＋11＝0， x2－8x－20＝0， x2＋12x－15＝0。 (8－2x)(5－2x)＝18， x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， (x＋6)2＋72＝102。 请同学们对上述方程进行化简整理，并观察这三个方程有什么共同特点？2x2－13x＋11＝0， x2－8x－20＝0， x2＋12x－15＝0。 8－2x)(5－2x)＝18， x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， (x＋6)2＋72＝102。 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c 为常数，a≠0）。 二次项：ax2；二次项系数：a；一次项：bx；一次项系数：b；常数项：c。 观察·交流 评价诊断 1.下列关于 x 的方程中，哪些是一元二次方程？如果是，请说出它们的二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由。 （1） x2＝0； （2）2x2－5xy＋6y＝0； （3）2x； （4）(3x＋2)2＝4(x－3)2 ；（5）x2＋2x－3＝1＋x2；（6）mx2－nx＋6＝0。 2. 根据题意，列出一元二次方程： 某商场开展商品促销活动。一件标价 800 元的商品经过两次降价售卖，首次降价后销量不佳，商家随即开展二次降价，且第二次降价的百分率为第一次的两倍，该商品最终以 476 元售出。求两次降价的百分率分别是多少？ 课堂小结 1. 本节课我们学习了哪些内容？ 2. 研究一元二次方程，我们经历了怎样的过程？ 四 板书设计 2.1 认识一元二次方程 1. 问题情境： ① 地毯问题 → (8-2x)(5-2x)=18 ② 连续整数问题 → x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² ③ 梯子滑动问题 → (x+6)²+7²=10² 2. 一元二次方程的概念： 只含一个未知数x的整式方程，可化为ax²+bx+c=0（a≠0） 3. 一般形式：ax²+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0） 二次项：ax²；二次项系数：a 一次项：bx；一次项系数：b 常数项：c 五 知识总结 核心知识点： 一元二次方程的定义、一般形式、各项名称及系数的识别 数学思想方法： 建模思想（从实际问题抽象出方程模型）、类比思想（类比一元一次方程）、归纳思想 知识网络图： 实际问题 → 设未知数 → 列方程 → 化简整理 → 一般形式ax²+bx+c=0 易错易混警示： ① 忽略a≠0的条件；② 整理方程时符号出错；③ 将分式方程、无理方程误判为一元二次方程 六 课后作业 布置作业 1. 下列关于 x 的方程中，哪些是一元二次方程？ （1） ；（2） （3） ； （4） ；（5） 。 2. 根据题意，分别列出一元二次方程： （1）一个矩形的面积为 54 cm2，将它的一边剪短 5 cm，另一边剪短 2 cm， 余下部分恰好是一个正方形，求这个正方形的边长。 （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为 242 ，这三个数分别是多少？ 3. 回顾本章“一元二次方程”的目录，并简要说明每一节的研究内容。 3 学科网（北京）股份有限公司 $