4.3.1 对数的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“对数的概念”，核心涵盖对数定义、指对互化、基本性质及恒等式。通过生活实例导入，衔接指数知识，以核心知识梳理的填空设计为支架，引导学生从具体到抽象构建对数概念。 资料特色在于分层跟踪训练与方法总结，基础到拓展的习题梯度设计，典例中解题流程与易错提醒结合，助力学生掌握互化与运算，培养数学抽象和数学运算素养，课时小结与反思促进自主学习及教学效果评估。

4.3对数 4.3.1对数的概念 【学习目标】 ①理解对数的概念，掌握对数的基本性质； ②掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程； ③通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象的素养； ④通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算的素养. 【学习重点】 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化、对数有意义的条件，会利用对数性质与对数恒等式进行化简、求值和解对数方程. 【学习难点】 理解对数概念的抽象含义，处理多层嵌套对数方程，识别对数恒等式适用条件，求解对数问题时不漏掉底数、真数的限制条件. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作__________，其中叫做对数的____，叫做____. 2.常用对数与自然对数 常用对数：我们将以__为底的对数叫做常用对数，并把___________记为； 自然对数：以无理数___为底的对数称为自然对数，并把__________记为. 3.对数与指数间的关系： 当，且时，________________________ 由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： （1）______和___没有对数；（2）__，__ 4.知识拓展：对数恒等式 （1）___；（2）___（，且，） 二、典例精析 题型1对数的概念及指对互化 例1（1）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 方法总结 （1）对数有意义需真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，三个条件同时成立； （2）解题流程：识别底数、真数→列出不等式组→分别求解每个不等式→取交集得到最终范围. （2）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 方法总结：指对互化的方法 （1）将指数式化为对数式，只需将幂作为真数，指数作为对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式. 题型2利用指数式与对数式的关系求值 例2（1）．求下列各式中x的值． (1)； (2). 方法总结 （1）解对数方程通法：转化为指数方程求解。 （2）两类题型区别： ①未知数在真数：求出后代入验证真数大于0；②未知数在底数：求出后必须验证底数大于0且不等于1. （2）求下列各式的值：(1)；(2). 方法总结 （1）解题步骤：设元→指对互化转指数方程→化为同底数幂→比较指数得结果； （2）易错提醒：分数真数熟练转化负指数；必须保证底数. 题型3利用对数的基本性质及对数恒等式求值 例3.求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 方法总结 （1）多层嵌套对数方程求值：从外到内，逐步脱去“”求解.一般先用和进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算； （2）对数恒等式求值：①识别结构：观察式子，看是否为或形式，确认指数底数 = 对数底数；②化同底（关键一步）如果底数不一样，利用指数、对数运算性质，把指数底数与对数底数化成相同；③直接化简：满足同底条件，则直接整体替换；④后续运算：化简之后再做普通四则、乘方运算. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 5．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 6．计算（   ） A． B．7 C． D． 7．将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为________； （2），对数式为________； （3），指数式为________； （4），指数式为________． 8．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【能力提升】（多数必做） 9.若取，则（ ） A. B. C.4 D.6 10.若，则之间满足（ ） A. B. C. D. 11.求值：_______ 12.已知，则__________. 【拓展拔高】（学有余力选做） 1．已知正整数，，，满足：，，．则______． 2．，则________． 四、课时小结 （1）概念与互化层面：掌握对数的定义，熟练进行指数式与对数式的互化，牢记对数的约束条件，能够求解简单对数方程与嵌套对数方程，多层对数由外向内逐层脱对数符号； （2）运算与求值层面：会运用对数基本性质进行计算；掌握对数恒等式，能够识别式子结构，必要时先统一底数，再使用恒等式化简求值； （3）思想方法方面：体会等价转化的数学思想，将对数问题转化为熟悉的指数问题处理，求解对数相关问题时建立定义域意识，关注底数、真数的隐含限制，规避增根与公式错用. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3对数 4.3.1对数的概念 【学习目标】 ①理解对数的概念，掌握对数的基本性质； ②掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程； ③通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象的素养； ④通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算的素养. 【学习重点】 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化、对数有意义的条件，会利用对数性质与对数恒等式进行化简、求值和解对数方程. 【学习难点】 理解对数概念的抽象含义，处理多层嵌套对数方程，识别对数恒等式适用条件，求解对数问题时不漏掉底数、真数的限制条件. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2.常用对数与自然对数 常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为； 自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，并把记为. 3.对数与指数间的关系： 当，且时， 由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： （1）负数和0没有对数；（2）， 4.知识拓展：对数恒等式 （1）；（2）（，且，） 二、典例精析 题型1对数的概念及指对互化 例1（1）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据对数有意义的三个条件，，列出为关于的不等式组，求解得到的取值范围. 规范解答：由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 方法总结 （1）对数有意义需真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，三个条件同时成立； （2）解题流程：识别底数、真数→列出不等式组→分别求解每个不等式→取交集得到最终范围. （2）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 答案：C 思路分析：逐个选项对照指对互化的核心公式检验，找出互化不匹配的选项. 规范解答：根据指数式与对数式互化可知： 对于A：等价于，A正确； 对于B：等价于，B正确； 对于C：等价于，C错误； 对于D：等价于，D正确； 方法总结：指对互化的方法 （1）将指数式化为对数式，只需将幂作为真数，指数作为对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式. 题型2利用指数式与对数式的关系求值 例2（1）．求下列各式中x的值． (1)； (2). 思路分析： （1）底数已知为，把对数式转化为指数式，解出，最后检验真数大于； （2）底数是未知数，转化为指数式后解关于的方程，解完必须检验底数条件：，且. 规范解答：（1）可化为，解得， 此时，满足真数大于0， 所以； （2）可化为，即，解得， 此时底数且，满足底数要求， 所以. 方法总结 （1）解对数方程通法：转化为指数方程求解。 （2）两类题型区别： ①未知数在真数：求出后代入验证真数大于0；②未知数在底数：求出后必须验证底数大于0且不等于1. （2）求下列各式的值：(1)；(2). 思路分析：先设对数的结果为未知数，将对数式转化为指数方程，再把等式右侧的真数改写为和左侧相同底数的幂的形式，对比指数直接求出. 规范解答：（1）设，则，所以，即. （2）设，则，所以，即. 方法总结 （1）解题步骤：设元→指对互化转指数方程→化为同底数幂→比较指数得结果； （2）易错提醒：分数真数熟练转化负指数；必须保证底数. 题型3利用对数的基本性质及对数恒等式求值 例3.求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 思路分析： （1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据对数恒等式化简求解. 规范解答：（1）因为，所以， 所以，可化为； （2）因为，所以， 可化为，又可化为； （3）因为，由对数恒等式可得，解得. 方法总结 （1）多层嵌套对数方程求值：从外到内，逐步脱去“”求解.一般先用和进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算； （2）对数恒等式求值：①识别结构：观察式子，看是否为或形式，确认指数底数 = 对数底数；②化同底（关键一步）如果底数不一样，利用指数、对数运算性质，把指数底数与对数底数化成相同；③直接化简：满足同底条件，则直接整体替换；④后续运算：化简之后再做普通四则、乘方运算. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 答案：D 解析：因为0和负数没有对数，又，所以D正确． 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 答案：C 解析：由可得 ,C不正确 故选：C 3．使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 4．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 5．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 答案：C 解析：，，. 6．计算（   ） A． B．7 C． D． 答案：B 解析：由题意可得：. 7．将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为________； （2），对数式为________； （3），指数式为________； （4），指数式为________． 答案： ； ； ； . 解析：运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 8．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 解析：（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 【能力提升】（多数必做） 9.若取，则（ ） A. B. C.4 D.6 答案：C 解析：因为，所以. 10.若，则之间满足（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由可化为，所以，即. 11.求值：_______ 答案： 解析： 12.已知，则__________. 答案：36 解析：由于，则，， 可分别化为，，，   . 【拓展拔高】（学有余力选做） 1．已知正整数，，，满足：，，．则______． 答案：179 解析：由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 2．，则________． 答案： 解析：，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 四、课时小结 （1）概念与互化层面：掌握对数的定义，熟练进行指数式与对数式的互化，牢记对数的约束条件，能够求解简单对数方程与嵌套对数方程，多层对数由外向内逐层脱对数符号； （2）运算与求值层面：会运用对数基本性质进行计算；掌握对数恒等式，能够识别式子结构，必要时先统一底数，再使用恒等式化简求值； （3）思想方法方面：体会等价转化的数学思想，将对数问题转化为熟悉的指数问题处理，求解对数相关问题时建立定义域意识，关注底数、真数的隐含限制，规避增根与公式错用. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $