第28课时4.2.1指数函数的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦指数函数概念，涵盖定义、定义域、判定条件及指数增长与衰减模型。通过具体实例（如电视机降价）导入，衔接指数运算知识，以核心知识梳理和“三看”口诀等为支架，为后续函数性质学习奠基。 导学案设置分层训练（基础到拓展）与实际应用案例，助力学生掌握待定系数法及模型应用。突出数学抽象（概念理解）和数学建模（实际问题转化），培养学生用数学思维解决问题的能力，提升学习效率与核心素养。

4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 【学习目标】 ①通过具体的实例，了解指数函数的实际意义； ②理解指数函数的概念，会求指数函数的定义域； ③能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题； ④通过对指数函数的学习，培养数学抽象素养. 【学习重点】 掌握指数函数的严格定义与三大判定条件，会用待定系数法求解析式，并能建立指数增长、衰减模型解决降价、增产等实际应用题. 【学习难点】 理解指数函数底数且的限定原因，准确区分指数函数与指数型函数，从实际情境中抽象出指数函数模型并完成计算求解. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.指数函数 一般地，函数______（，且）叫做指数函数，其中指数__是自变量，定义域是__. 2.指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则________（）. 形如________（，且；且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变换规律的非常有用的函数模型. 二、典例精析 题型1 指数函数的判定与求值 例1（1）下列函数中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． （2）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 方法总结：判断指数函数的“三看”口诀 （1）看系数：指数部分前面的系数必须等于1，不能有倍数、符号； （2）看底数：底数且； （3）看位置：指数位置只能自变量. 题型2 求指数函数的解析式 例2（1）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. （2）设函数满足，则            （    ） A． B．3 C． D． 反思领悟： （1）待定系数法求指数函数解析式的步骤 ①设出函数的解析式为； ②利用已知条件，解出解析式中的参数； ③写出函数的解析式. （2）求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 题型3 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 例3．长虹网络蓝光电视机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的20000元降到12800元． （1）设平均每次降价的百分率为p％，求p值并写出次后该电视的价格与的函数关系式. （2）若按（1）中的平均降价百分率计算，问四次后该电视机的价格为多少元？ 方法总结：实际应用问题中指数函数模型的类型 （1）指数增长模型 设原有量为,每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则; （2）指数衰减模型 设设原有量为,每次的衰减率为，则经过次衰减，该量衰减到，则； （3）指数型函数 把形如（，，且）的函数称为指数型函数. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（    ） A．50% B．40% C．30% D．20% 4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　) A．a(1＋p%)3元 B．a(1－p%)3元 C．元 D． 元 5．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 6．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 7.已知函数，若，则_________ 8．某林区2022年年初木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到， （1）若经过年，该林区的木材蓄积量为万立方米，求的表达式，并求次函数的定义域； （2）求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.（） 【能力提升】（多数必做） 9．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则________． 12．已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识概念层面：明确指数函数的定义，区分指数函数与指数型函数，牢记底数且的约束条件，掌握待定系数法求解指数函数解析式。 （2）解题应用层面：熟练运用指数增长模型与指数衰减模型处理增长率、衰减率、翻番等实际问题，结合参考数据完成实际数值估算，注意实际问题的定义域约束。 （3）思想方法方面：体会数学建模思想，能从现实情境中提取数量关系转化为指数函数问题，通过列方程、估值运算完成实际问题求解，提升数学建模与数学运算核心素养。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 【学习目标】 ①通过具体的实例，了解指数函数的实际意义； ②理解指数函数的概念，会求指数函数的定义域； ③能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题； ④通过对指数函数的学习，培养数学抽象素养. 【学习重点】 掌握指数函数的严格定义与三大判定条件，会用待定系数法求解析式，并能建立指数增长、衰减模型解决降价、增产等实际应用题. 【学习难点】 理解指数函数底数且的限定原因，准确区分指数函数与指数型函数，从实际情境中抽象出指数函数模型并完成计算求解. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.指数函数 一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 2.指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则（）. 形如（，且；且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变换规律的非常有用的函数模型. 二、典例精析 题型1 指数函数的判定与求值 例1（1）下列函数中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：C 思路分析：根据指数函数的定义逐项判定，逐条核对 3 个关键点. 规范解答： 对于A：中，的系数是2，不是1，A错误； 对于B：中，的系数是，不是1，B错误； 对于C：，底数且，系数为1，是指数函数，C正确； 对于D：，底数是1，不是指数函数. （2）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 答案：B 思路分析：根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 规范解答：函数是指数函数，可得，解得． 方法总结：判断指数函数的“三看”口诀 （1）看系数：指数部分前面的系数必须等于1，不能有倍数、符号； （2）看底数：底数且； （3）看位置：指数位置只能自变量. 题型2 求指数函数的解析式 例2（1）已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 答案： 思路分析：设出解析式，代入点的坐标，求出解析式. 规范解答：设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： （2）设函数满足，则            （    ） A． B．3 C． D． 答案：D 思路分析：由求出底数a，得到完整函数表达式，再求的值. 规范解答∵  ，， ∴ ，又，∴  ， ∴，∴， 反思领悟： （1）待定系数法求指数函数解析式的步骤 ①设出函数的解析式为； ②利用已知条件，解出解析式中的参数； ③写出函数的解析式. （2）求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 题型3 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 例3．长虹网络蓝光电视机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的20000元降到12800元． （1）设平均每次降价的百分率为p％，求p值并写出次后该电视的价格与的函数关系式. （2）若按（1）中的平均降价百分率计算，问四次后该电视机的价格为多少元？ 思路分析： （1）根据题意建立方程，从而可求这种电视机平均每次降价的百分率，并得到与的函数关系式. （2）令，求得函数值y即可. 规范解答：设每年的平均降价率为，则有， 所以，解得，或（舍）， 所以 所以年后该电视的价格与的函数关系式为： （2）当时，（元） 所以四年后该电视的价格为8192元. 方法总结：实际应用问题中指数函数模型的类型 （1）指数增长模型 设原有量为,每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则; （2）指数衰减模型 设设原有量为,每次的衰减率为，则经过次衰减，该量衰减到，则； （3）指数型函数 把形如（，，且）的函数称为指数型函数. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 2．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 答案：B 解析：由指数函数的定义得，解得. 3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（    ） A．50% B．40% C．30% D．20% 答案：B 解析：设污水排放量平均每年降低的百分率为，则有，故， 故选：B. 4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　) A．a(1＋p%)3元 B．a(1－p%)3元 C．元 D． 元 答案：C 解析：设现在的成本是x元，根据题意得 解得，. 故选C． 5．函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 答案：A 解析：因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 6．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 答案： 解析：设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 7.已知函数，若，则_________ 答案： 解析：因为，所以，解得. 8．某林区2022年年初木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到， （1）若经过年，该林区的木材蓄积量为万立方米，求的表达式，并求次函数的定义域； （2）求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.（） 解析：（1）经过年，年平均增长率，则，； （2）由题可得，即， 因为，，且 所以 答：经过9年后，木材蓄积量达到300万立方米. 【能力提升】（多数必做） 9．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 10．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 11．已知函数，则________． 答案： 解析：因为，所以. 故答案为： 12．已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 解析：（1）由函数是指数函数，得，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则， 函数是定义在R上的奇函数，证明如下： 对，且， 所以是奇函数. （3）因为，即，①，所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以，② 由①②可得，，故. 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识概念层面：明确指数函数的定义，区分指数函数与指数型函数，牢记底数且的约束条件，掌握待定系数法求解指数函数解析式。 （2）解题应用层面：熟练运用指数增长模型与指数衰减模型处理增长率、衰减率、翻番等实际问题，结合参考数据完成实际数值估算，注意实际问题的定义域约束。 （3）思想方法方面：体会数学建模思想，能从现实情境中提取数量关系转化为指数函数问题，通过列方程、估值运算完成实际问题求解，提升数学建模与数学运算核心素养。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $