4.3.2对数的运算导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算导学案 一、学习目标 1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论． 3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 二、学习重难点 重点：掌握换底公式及其推论． 难点：能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 三、知识点自主预习填空 对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有： (1)loga(M·N)＝ . (2)loga＝ . (3)logaMn＝ (n∈R). 注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 由换底公式推导的重要结论 (1)loganbn＝logab. (2)loganbm＝logab. (3)logab·logba＝1. (4)logab·logbc·logcd＝logad. 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理； ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 对数换底公式的应用 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 利用对数式与指数式的互化解题 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 四、典例详解 考点01：对数的运算 例1：1．下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对数的运算性质逐个分析判断 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以，所以D错误， 故选：ABD 2． ． 【答案】1 【分析】根据对数和指数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 3．（1） （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算性质，可得 ； （2）解：由对数的运算性质，可得 . 考点02：对数的运算性质的应用 例2： 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 故选：B. 2．（多选）下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C． D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用指数、对数的运算法则计算一一判断选项即可. 【详解】对于A，，，正确； 对于B，，则，正确； 对于C，， 错误； 对于D，，，则，正确. 故选：ABD. 3．计算 (1)； (2)； (3)（）； (4)（）. 【详解】（1）由题意， . （2）由题意， . （3）由题意， . （4）由题意，， . 4．计算下列各式的值： (1)； (2). 【详解】（1）. （2）. 5．（1）计算：； （2）已知，，试以表示． 【详解】（1）； （2）由得：， . 考点03：运用换底公式化简计算 例3:1．（    ） A． B． C．15 D．12 【答案】A 【分析】运用对数的运算性质进行求解即可. 【详解】 故选：A 2．(多选)下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数的运算性质，以及对数的换底公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由对数的换底公式，可得，所以C错误； 对于D中，由对数的换底公式，可得，所以D正确. 故选：ABC. 3．已知，则 . 【答案】2 【分析】先根据对数的定义求出，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得，，则，， 故. 故答案为：2. 4．计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【详解】（1）解法一： 原式. 解法二：原式. （2）原式 . （3）原式 （4）原式 （5） ． 21．计算 (1) (2) 【详解】（1）解：由指数幂的运算性质，可得： . （2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得： ． 5．求下列各式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 考点04：运用换底公式证明恒等式 例4：1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 2．(多选)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 【答案】ACD 【详解】解:由题知关于选项A: , 故选项A正确; 关于选项B: , 故选项B错误; 关于选项C: , 故选项C正确; 关于选项D: ,, 对等式两边取对数有, , 即 故选项D正确. 故选:ACD 3．（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【详解】（1）解：，，， 又，，所以； （2）证明：设，则且，，， ，，， ，. 4．求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 5、 练习提升 1．若，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确. 故选：D. 2．（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质计算即可求解. 【详解】. 故选：B 3．（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：A. 5．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，由基本不等式可得最小值. 【详解】因为，则有且， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为， 故选：B． 6．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指对数的关系及指数的运算性质求值即可. 【详解】由题意：，根据题设及指对数关系有， 所以，所以. 故选：A 7．计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故选：A 8．若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】应用对数运算结合基本不等式计算求解. 【详解】由题意得，，且，. 由， 得， 所以 当且仅当即时，等号成立. 故选：C. 9．（多选）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据开平方，对数，幂的运算，分别判断各选项正误. 【详解】选项A：，所以，A错误． 选项B：，根据对数性质，则，B正确． 选项C：根据指数运算法则（时，运算有意义），C正确． 选项D：成立的前提是，题目未保证的正负，D错误． 故选：BC． 10．（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：原式，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ACD. 11．（多选）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D. 【详解】A：若时，，错； B：，对； C：，对； D：，对. 故选：BCD 12．计算 . 【答案】1 【分析】根据根式的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13． ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】. 故答案为： 14．求值： ． 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 15．（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【分析】根据对数的运算法则及性质计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）由已知可得， 由，可得， 化简得，即， 解得（舍去），或，则. 16．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2对数的运算导学案 一、学习目标 1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论． 3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 二、学习重难点 重点：掌握换底公式及其推论． 难点：能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 三、知识点自主预习填空 对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有： (1)loga(M·N)＝ . (2)loga＝ . (3)logaMn＝ (n∈R). 注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 由换底公式推导的重要结论 (1)loganbn＝logab. (2)loganbm＝logab. (3)logab·logba＝1. (4)logab·logbc·logcd＝logad. 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理； ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 对数换底公式的应用 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 利用对数式与指数式的互化解题 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 四、典例详解 考点01：对数的运算 例1：1．下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2． ． 3．（1） （2）. 考点02：对数的运算性质的应用 例2： 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C． D．若，，则 3．计算 (1)； (2)； (3)（）； (4)（）. 4．计算下列各式的值： (1)； (2). 5．（1）计算：； （2）已知，，试以表示． 考点03：运用换底公式化简计算 例3:1．（    ） A． B． C．15 D．12 2．(多选)下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 . 4．计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 21．计算 (1) (2) 5．求下列各式的值： (1)； (2)． 考点04：运用换底公式证明恒等式 例4：1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 2．(多选)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 3．（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 4．求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 5、 练习提升 1．若，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 3．（    ） A． B． C． D．2 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 7．计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 8．若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 9．（多选）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 11．（多选）下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．计算 . 13． ． 14．求值： ． 15．（1）计算：； （2）已知，求的值. 16．求值： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $