黑龙江牡丹江市宁安市2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合航天、光折射等真实情境，梯度设计考查数学抽象、推理与应用能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、一次函数、平行四边形判定、箱线图分析|结合正五边形内角计算考查几何直观，光折射问题体现跨学科联系| |填空题|10/30|函数自变量取值、菱形判定、方差、最短路径|橡皮筋拉升问题融合勾股定理，动点折叠综合考查空间观念| |解答题|6/60|统计应用、几何变换探究、行程函数、购物优化|航天知识统计分析培养数据意识，正方形翻折探究发展推理能力，冰糖葫芦购物问题强化模型观念|

宁安市2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若直线BC和直线y＝x+3平行，其中点B的坐标为（﹣2，3），将直线BC向下平移1个单位后为（　　） A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣x+4 C．y＝x+6 D．y＝x+4 3．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 4．（3分）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．72° C．84° D．90° 7．（3分）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（　　） A．k2＜0＜k1 B．k1＜0＜k2 C．k1＜k2＜0 D．k2＜k1＜0 8．（3分）如图1，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．2 C．3 D．6 9．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折，得到△FBE，连接DF，当DF的长最小时，DE的长为（　　） A． B． C． D．2 10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，则下列结论：①∠ECF＝45°；②AF；③BF＝BH；④．其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：　 　 ，使得平行四边形ABCD为菱形． 13．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，2，0.9，则射击成绩最稳定的是　 　 ． 14．（3分）若点（m，n）在函数的图象上，则代数式2m﹣4n﹣1的值是　 　 ． 15．（3分）已知，则代数式x2+y2﹣2xy的值等于　 　 ． 16．（3分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　 　 cm． 17．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把橡皮筋的中点C向上拉升3cm到点D，拉伸过程中满足CD⊥AB于点C，则橡皮筋被拉长了　 　 cm． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，F是AC的中点，E为AD上的动点，则EC+EF的最小值为 　 　 ． 19．（3分）矩形ABCD中，P为AD上一个动点，将△APB沿PB折叠得到△EPB，点A的对应点为点E，射线BE交矩形ABCD的边于点F，若AB＝12，AD＝18，当F为矩形ABCD边的中点时，AP的长为　 　 ． 20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…An都在x轴上，点B1，B2，B3…Bn都在直线y＝x上，并且A1B1，A2B2，A3B3…分别与x轴垂直，A2B1，A3B2，A4B3…分别与直线y＝x垂直，若，则△B2025A2025A2026的面积为　 　 ． 三、解答题（满分60分） 21．（12分）计算： （1）2； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 a 7 合格率 b 85% 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a、b、c的值； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 23．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE+DF成立． （1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，，探究线段EF，BE，DF之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得，猜想线段EF，BE，DF又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 24．（10分）在A，B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1（单位：千米），y2（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是　 　 千米/时； （2）求图象中线段DF所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 25．（10分）“北国好风光，美在黑龙江”冰糖葫芦是冰雪旅游的特色网红小吃，种类十分丰富，有经典传统的山楂款，还有创意十足的水果混搭款．某研学小组去雪乡旅游打卡，准备购买一些冰糖葫芦品尝．已知买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元． （1）求经典款冰糖葫芦和混搭款冰糖葫芦的单价； （2）该研学小组计划购买经典款和混搭款冰糖葫芦共50串，且经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，最多可以买多少串经典款冰糖葫芦？求该研学小组最少需要花费多少元？ 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是直线MD在第四象限内的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）在（2）的条件下，当S＝20时，在平面直角坐标系内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 宁安市2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B B C D A C C 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式； B、2，不是最简二次根式； C、|a|，不是最简二次根式； D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式； 故选：A． 2．（3分）若直线BC和直线y＝x+3平行，其中点B的坐标为（﹣2，3），将直线BC向下平移1个单位后为（　　） A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣x+4 C．y＝x+6 D．y＝x+4 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等设直线BC的解析式为y＝x+b，把点B（﹣2，3）的坐标代入求出b的值，然后利用平移的规律求得即可． 【解答】解：设直线BC的解析式为y＝x+b， ∵直线BC经过点B（﹣2，3）， ∴﹣2+b＝3， 解得b＝5， ∴y＝x+5， 将直线BC向下平移1个单位后得到y＝x+5﹣1，即y＝x+4． 故选：D． 3．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【答案】C 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝AD，CB＝CD，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、由AB∥CD，AD＝BC，不能四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．（3分）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【分析】根据箱线图、中位数、数字的变化规律逐项分析判断即可． 【解答】解：根据箱线图、中位数、数字的变化规律逐项分析判断如下： A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解． 【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3）， ∴方程组的解为． 故选：B． 6．（3分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．72° C．84° D．90° 【答案】C 【分析】首先根据正多边形内角和公式确定∠A＝∠E＝108°，再根据四边形内角和为（4﹣2）•180°＝2×180°＝360°，即四边形AENM的内角和为360°，进而得出∠MNE的度数，由对顶角相等可得：∠2＝∠MNE，即可获得答案． 【解答】解：∵∠A＝∠E180°×（5﹣2）＝108°，∠1＝∠AMN＝60°， ∴四边形AENM的内角和为（4﹣2）•180°＝2×180°＝360°， ∴∠ENM＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°， ∵∠2＝∠ENM， ∴∠2＝84°． 故选：C． 7．（3分）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（　　） A．k2＜0＜k1 B．k1＜0＜k2 C．k1＜k2＜0 D．k2＜k1＜0 【答案】D 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m（m＜0）的两个点A和B， 则A（m，k1m），B（m，k2m）， ∵k1m＜k2m， ∴k1＞k2， 当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2， 综上所述，k2＜k1＜0， 故选：D． 8．（3分）如图1，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设点P经过的路径长为x，△ABP的面积是y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，可得出AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，再根据三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动， 根据点P的运动路径，可得出AD＝BC＝6，CD＝10﹣6＝4， 又四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AB∥CD， 设AB与CD间的距离是d， 当点P在CD上时，， 解得d＝5， 即AB与CD间的距离是5． 故选：A． 9．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折，得到△FBE，连接DF，当DF的长最小时，DE的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知，点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上运动，当点B、F、D三点共线时，DF的长最小，求出DF，设此时DE＝x，利用勾股定理列方程，即可解得答案． 【解答】解：由翻折的性质可知，AB＝BF＝2， ∴点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上运动， 当点B、F、D三点共线时，DF的长最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BF＝2，∠BAD＝∠BFE＝90°， ∴， 此时， 设此时DE＝x，则AE＝EF＝2﹣x， 在Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2， 即， 解得， 故选：C． 10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，则下列结论：①∠ECF＝45°；②AF；③BF＝BH；④．其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，证明△EMF≌△ENC，可得EF＝EC，进而判断①；延长NE交AD于点T，根据矩形的判定与性质得到MF＝NC＝TD＝TE＝AM，设MF＝NC＝TD＝TE＝AM＝x，则AF＝2x，故，即可判断②；通过角度计算或特值法判断③；利用线段和差关系及正方形性质推导BF+BC与BE的关系判断④． 【解答】解：如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∵EN⊥BC，EM⊥AB， ∴四边形MBNE是矩形，且EM＝EN， ∴四边形MBNE是正方形， ∴∠MEN＝90°，BM＝BN＝EM＝EN， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC＝90°， ∴∠MEF+∠FEN＝∠NEC+∠FEN＝90°， ∴∠MEF＝∠NEC， 在△EMF和△ENC中， ， ∴△EMF≌△ENC（ASA）， ∴MF＝NC，EF＝EC， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝45°， 故结论①正确，符合题意； 延长NE交AD于点T， ∵∠DCN＝∠TNC＝∠TDC＝90°， ∴四边形CNTD是矩形， ∴TD＝NC，∠DTE＝∠ATE＝90°， ∵正方形ABCD中，∠ADB＝45°， ∴△DTE为等腰直角三角形，TE＝TD， 由勾股定理得：， 同理可得，四边形AMET是矩形， ∴AM＝ET， ∴MF＝NC＝TD＝TE＝AM， 设MF＝NC＝TD＝TE＝AM＝x，则AF＝2x， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确，符合题意； 若BF＝BH，则∠BHF＝∠BFH， ∵∠BHF＝∠DHC＝180°﹣45°﹣∠DCH＝135°﹣∠DCH，∠BFH＝90°﹣∠BCF， ∴135°﹣∠DCH＝90°﹣∠BCF， 即∠DCH﹣∠BCF＝45°， ∵∠DCH﹣∠BCF＝（45°+∠OCH）﹣（45°﹣∠OCH）＝2∠OCH， ∴∠OCH＝22.5°，这仅在特定位置成立， 故结论③错误，不符合题意； ∵MF＝NC， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣NC＝BM﹣（BC﹣BN）， ∵BM＝BN， ∴BF＝2BM﹣BC， ∴BF+BC＝2BM， 在正方形MBNE中，同理可得， ∴， ∴， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3　 ． 【答案】x≥﹣3． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x+3≥0， 解得：x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 12．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：AD＝DC ，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD＝DC 【分析】根据菱形的定义得出答案即可． 【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形， ∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC； 故答案为：AD＝DC． 13．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，2，0.9，则射击成绩最稳定的是　乙　 ． 【答案】乙． 【分析】已知四人平均成绩相同，根据方差越小数据越稳定，比较四人方差大小即可得出结果． 【解答】解：已知四人平均成绩相同，根据方差越小数据越稳定可知： ∵，，，， ∴， ∴乙的射击成绩波动最小，成绩最稳定． 故答案为：乙． 14．（3分）若点（m，n）在函数的图象上，则代数式2m﹣4n﹣1的值是　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】将点（m，n）代入yx+1得到m、n的关系式，即可求解． 【解答】解：将点（m，n）代入yx+1得：nm+1， 即m﹣2n＝﹣2， 则2m﹣4n﹣1＝2（m﹣2n）﹣1＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5． 故答案为：﹣5． 15．（3分）已知，则代数式x2+y2﹣2xy的值等于　4　 ． 【答案】4． 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算x﹣y的值，整体代入求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴原式＝（x﹣y）2＝22＝4． 故答案为：4． 16．（3分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　8　 cm． 【答案】8． 【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴CD是△AOB的中位线， ∴AB＝2CD， ∵CD＝4cm， ∴AB＝2CD＝8（cm）， 故答案为：8． 17．（3分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把橡皮筋的中点C向上拉升3cm到点D，拉伸过程中满足CD⊥AB于点C，则橡皮筋被拉长了　2　 cm． 【答案】2． 【分析】根据题意求出AD+BD，再减去AB即可． 【解答】解：由题意可得：AB＝8cm，AC＝BCAB＝4cm，CD＝3cm， ∵CD⊥AB，即∠ACD＝90°， ∴CD垂直平分AB， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AD＝BD5（cm）， ∴橡皮筋被拉长了AD+BD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）， 故答案为：2． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，F是AC的中点，E为AD上的动点，则EC+EF的最小值为 　　 ． 【答案】EC+EF的最小值为． 【分析】作CG⊥AD于G，并延长交AB于H，连接HF交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值＝FH，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：作CG⊥AD于G，并延长交AB于H，连接HF交AD于E， ∵AD平分∠CAB， ∴C，H关于AD对称， 则此时，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值＝FH， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．AB＝4， ∴sinB， ∴∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠ACB， ∴AC＝AHAB， ∵点F是AC的中点， ∴FHBC， ∵BC2， ∴FH， 即EC+EF的最小值为． 19．（3分）矩形ABCD中，P为AD上一个动点，将△APB沿PB折叠得到△EPB，点A的对应点为点E，射线BE交矩形ABCD的边于点F，若AB＝12，AD＝18，当F为矩形ABCD边的中点时，AP的长为　4或44　 ． 【答案】4或44． 【分析】分两种情形：如图1中，当点F是AD的中点时．如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H．分别求解即可． 【解答】解：如图1中，当点F是AD的中点时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AB＝12，AF＝9， ∴BF15， 由翻折可知：AB＝BE＝12， 设PA＝PE＝x，则PF＝9﹣x，EF＝15﹣12＝3， 在Rt△PEF中， ∵PE2+EF2＝PF2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， ∴x＝4， ∴PA＝4， 如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H． ∵∠C＝90°，BC＝18，CF＝DF＝6， ∴BF6， ∵DH∥BC， ∴∠H＝∠FBC， ∵∠DFH＝∠BFC，DF＝FC， ∴△DHF≌△CBF（AAS）， ∴DH＝BC＝18，FH＝BF＝6， ∵AB＝BE＝12， ∴EF＝612，EH＝612+61212， 设PA＝PE＝y， 则PD＝18﹣y，PH＝18﹣y+18＝36﹣y， 在Rt△PEH中， ∵PE2+EH2＝PH2， ∴y2+（1212）2＝（36﹣y）2， ∴y＝44， ∴PA＝44， 综上所述，PA的长为4或44． 故答案为：4或44． 20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…An都在x轴上，点B1，B2，B3…Bn都在直线y＝x上，并且A1B1，A2B2，A3B3…分别与x轴垂直，A2B1，A3B2，A4B3…分别与直线y＝x垂直，若，则△B2025A2025A2026的面积为　24048 ． 【答案】24048． 【分析】根据题意可求出，则可证明△OA1B1是等腰直角三角形，得到∠A1OB1＝45°，进而可证明△A2B1O是等腰直角三角形，OA2＝2OA1，则可推出，据此求出A2025A2026的长，证明△OA2025B2025是等腰直角三角形，得到A2025B2025＝OA2025，据此根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…An都在x轴上，点B1，B2，B3…Bn都在直线y＝x上，并且A1B1，A2B2，A3B3…分别与x轴垂直， 在y＝x中，当时，， ∵，A1B1⊥x轴， ∴， ∴， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， ∴∠A1OB1＝45°， ∵A2B1与直线y＝x垂直， ∴△A2B1O是等腰直角三角形， ∴OA2＝2OA1， 同理可得OA3＝2OA2＝4OA1， OA4＝2OA3＝8OA1， …， 以此类推可知，， ∴， 同理可得△OA2025B2025是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：24048． 三、解答题（满分60分） 21．（12分）计算： （1）2； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）； （3）化简结果为，值为． 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用完全平方公式展开计算，再算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可； （3）先通分计算括号内的分式运算，将除法转化为乘法约分化简，再代入数值计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式＝[]• • • ， 当时，原式． 22．（8分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 a 7 合格率 b 85% 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a、b、c的值； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 【答案】（1）8；80%；7.5； （2）510人． 【分析】（1）根据七年级扇形统计图中8分占的百分比最大，即可求得a的值；求出不合格率，即可求得合格率b；由八年级学生成绩统计图知，5分、6分、7分的学生共有10人，而中间位置的两个数是按从小到大排列后的第10、11两个分数的平均数，由此可求得c； （2）600乘合格率即可． 【解答】解：（1）∵七年级扇形统计图中8分占的百分比最大，即8分出现的次数最多， ∴a＝8； ∴6分及6分以上的合格率b＝1﹣20%＝80%； 由八年级学生成绩统计图知，5分、6分、7分的学生分别为3人、2人、5人，共有10人，而中间位置的两个数是按从小到大排列后的第10、11两个分数，分别是7分、8分， ∴； （2）∵该校八年级有600名学生， ∴600×85%＝510（人）， 答：估计该校八年级学生成绩合格的人数是510人． 23．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE+DF成立． （1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，，探究线段EF，BE，DF之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得，猜想线段EF，BE，DF又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）结论EF＝BE+DF． 证明：如图，延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠1＝∠2 ∴， ∴∠GAE＝∠EAF 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF ∴EF＝EG＝BE+BG＝BE+DF． （2）EF＝BE﹣DF． 【分析】（1）如图，延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，证出△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得出AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF得EG＝EF，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，利用（1）的思路解答即可． 【解答】解：（1）结论EF＝BE+DF． 证明：如图，延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠1＝∠2 ∴， ∴∠GAE＝∠EAF 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF ∴EF＝EG＝BE+BG＝BE+DF． （2）EF＝BE﹣DF，理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴， ∴∠GAE＝∠EAF， ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣DF． 24．（10分）在A，B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1（单位：千米），y2（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是　70　 千米/时； （2）求图象中线段DF所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 【答案】（1）70； （2）y2＝60x﹣120； （3）小时或6小时． 【分析】（1）根据函数图象，结合路程、速度与时间的关系，即可求解； （2）先求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）先得出y1，y2的关系式，再分：当乙车到达C地之前与乙车从C地到达A地前两种情况，根据两车之间的距离为240千米建立方程求解 【解答】解：（1）甲车的速度是420÷6＝70千米/时； 故答案为：70； （2）乙车的速度是120÷2＝60千米/时； ∴乙车从C地到达A地所用的时间为小时， ∴乙车从B地到达A地所用的时间为2+7＝9小时， ∴点F的坐标是（9，420）， 设线段DF所在直线的函数解析式为y2＝kx+b， 由题意可得：， ∴， ∴y2＝60x﹣120； （3）y1＝﹣70x+420（0≤x≤6）， ， 若两车之间的距离为240千米， 则当乙车到达C地之前时，y1﹣y2＝240，即﹣70x+420﹣（﹣60x+120）＝240， 解得：x＝6（不合题意，舍去）， 当乙车从C地到达A地前，|y1﹣y2|＝240，即|﹣70x+420﹣（60x﹣120）|＝240， 解得：或x＝6， 答：乙车行驶小时或6小时时，两车之间的距离为240千米． 25．（10分）“北国好风光，美在黑龙江”冰糖葫芦是冰雪旅游的特色网红小吃，种类十分丰富，有经典传统的山楂款，还有创意十足的水果混搭款．某研学小组去雪乡旅游打卡，准备购买一些冰糖葫芦品尝．已知买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元． （1）求经典款冰糖葫芦和混搭款冰糖葫芦的单价； （2）该研学小组计划购买经典款和混搭款冰糖葫芦共50串，且经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，最多可以买多少串经典款冰糖葫芦？求该研学小组最少需要花费多少元？ 【答案】（1）经典款冰糖葫芦为的单价为5元，混搭款冰糖葫芦的单价为6元； （2）最多可以买20串经典款冰糖葫芦，该研学小组最少需要花费280元． 【分析】（1）设经典款冰糖葫芦为的单价为x元，混搭款冰糖葫芦的单价为y元，根据买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设买m串经典款冰糖葫芦，则买（50﹣m）混搭款冰糖葫芦，根据经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，列出一元一次不等式，解得m≤20，再设总花费为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设经典款冰糖葫芦为的单价为x元，混搭款冰糖葫芦的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：经典款冰糖葫芦为的单价为5元，混搭款冰糖葫芦的单价为6元； （2）设买m串经典款冰糖葫芦，则买（50﹣m）混搭款冰糖葫芦， 根据题意得：m（50﹣m）， 解得：m≤20， 设总花费为w元， 根据题意得：w＝5m+6×（50﹣m）＝﹣m+300， ∵﹣1＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最小值，w最小值＝﹣1×20+300＝280， 答：最多可以买20串经典款冰糖葫芦，该研学小组最少需要花费280元． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是直线MD在第四象限内的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）在（2）的条件下，当S＝20时，在平面直角坐标系内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1）B（0，4），D（0，﹣1）； （2）Sx（x≥0）， （3）满足条件的点E的坐标为（8，）、（﹣8，）、（﹣2，）． 【分析】（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点B是直线AB：yx+4与y轴的交点坐标， ∴B（0，4）， ∵点D是直线CD：yx﹣1与y轴的交点坐标， ∴D（0，﹣1）； （2）如图1，∵直线AB与CD相交于M， ∴M（﹣5，）， ∵B（0，4），D（0，﹣1）， ∴BD＝5， ∵点P是直线MD在第四象限内的一个动点， ∴x≥0， S＝S△BDM+S△BDP5（5+x）x（x≥0）， （3）如图2， 由（2）知，Sx， 当S＝20时，x20， ∴x＝3， ∴P（3，﹣2）， ①当BP是对角线时，取BP的中点G，连接MG并延长取一点E'使GE'＝GM， 设E'（m，n）， ∵B（0，4），P（3，﹣2）， ∴BP的中点坐标为（，1）， ∵M（﹣5，）， ∴，1， ∴m＝8，n， ∴E'（8，）， ②当AB为对角线时，同①的方法得，E（﹣8，）； ③当MP为对角线时，同①的方法得，E''（﹣2，）； 即：满足条件的点E的坐标为（8，）、（﹣8，）、（﹣2，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $