精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第五十二中学2025-2026学年下学期八年级期末质量监测数学试题

2025－2026学年度下学期期末质量检测 八年级数学 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误； 选项B：，∴，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，，∴，D错误． 2. 下列根式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 3. 下列各组数据是勾股数的一组是（ ） A. B. 7、24、25 C. 0.3、0.4、0.5 D. 2、3、5 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 4. 变量、有如下关系：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是的函数的个数( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据函数的定义判断，即对于的每一个确定的值，若有且仅有唯一确定的值与之对应，则是的函数，统计符合条件的关系式个数即可得到答案． 【详解】解：根据函数定义：对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，就是的函数，逐个判断如下： ①可变形为，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ②，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ③，当取正数值时，有两个不同的值与之对应，不是的函数． ④，对的每一个非负确定值，都有唯一值对应，是的函数． ⑤，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ⑥，当取正数值时，有两个不同的值与之对应，不是的函数． 综上，符合是的函数的关系式共个． 5. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 6. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7. “百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小雅的速度的变化判断即可． 【详解】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加； 途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行； 最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡． 故选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键． 8. 如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. C. 8cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 9. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差s甲2与s乙2的大小关系是（　　） A. s甲2＜s乙2 B. s甲2＞s乙2 C. s甲2＝s乙2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大， ∴s甲2＞s乙2， 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形性质证，得，由矩形性质得，从而判断①；由全等和矩形性质导角判断③④；根据垂线段最短求最小值判断⑤；根据点运动情况判断②． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ，故①正确； ， ，即， ，故④正确； 延长交于，交于， ， ， ∵， ， ，即，故③正确； 为动点，与不一定相等，故②错误； ∵，即求最小值， 当时，最小，此时为中点， ， ， ， 的最小值为，故⑤错误． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 在中，x的取值范围为______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足以下条件： 且， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 12. 已知平面直角坐标系内两点，， 那么线段的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，  点，，  ，， ∴． 13. 把化去分母中的根号后得______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 14. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断k的符号，得到函数增减性，再结合一次函数与x轴的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系求解不等式的解； 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，y随x的增大而增大， ∵一次函数与x轴交于点， 即时，， ∴不等式，即时，对应的取值范围是， 即不等式的解集为． 15. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 16. 在菱形中，，，点在边上，把沿着折叠得到，点的对应点为点，当垂直于菱形的一边时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：和 ，结合菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 由折叠的性质可知： ，，， ， 分两种情况讨论： ① 当时， 设交于点，则， 在 中，，， ∴， ∴， 设，则 ， 在 中，， ∴，即 ， 解得，即； ② 当 时， ∵， ∴ ，即， ∵ ， ∴， 过点作于点， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在 中，， ∴， ∴，即， 整理得 ，解得，即， 综上所述，的长为或． 17. 如图，四边形是边长为1的正方形，点分别在x，y轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点分别在x，y轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】从各个点到原点的距离变化规律和所在象限的规律进行求解即可． 【详解】解：由图形可知，， ， ， ， 每一个点到原点的距离依次是前一个点到原点的距离的倍，同时，各个点每次旋转，每次旋转一周． 顶点到原点的距离为， ， 顶点恰好在第四象限，则点到坐标轴的距离为， 顶点的坐标是． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 原式； 【小问2详解】 解： 原式    ． 19. 某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（单位：分）如下： 甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班：90 55 80 70 56 70 95 80 65 70 （1）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x/分 甲班 1 3 3 2 1 乙班 2 1 m 2 n 则______，______ （2）分析数据 ①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 72 x 75 乙班 73.1 70 y 则x＝______，y＝______； ②乙班这组数据的四分位数＝______，＝______，＝______； ③若规定80分以上（含80分）的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数． 【答案】（1）， （2）① ，；② ，，；③ 20名 【解析】 【分析】（1）根据所给数据即可得到答案； （2）①根据中位数和众数的定义求解即可；②根据四分位数的定义求解即可；③用50乘以样本中乙班学生中身体素质为优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：①把甲班的成绩按照从低到高的顺序排列为：50 60 65 65 75 75 75 80 85 90， ∴甲班的成绩的中位数为分，即； ∵乙班的成绩中，得分为70分的人数最多， ∴乙班的成绩的众数为70分，即； ②把乙班的成绩按照从低到高的顺序排列为：55 56 65 70 70 70 80 80 90 95， ， ∴； 取排序后的前5个数，55 56 65 70 70，这5个数的中位数为65，则， 取排序后的后5个数，70 80 80 90 95，这5个数的中位数为80，则； ③（名）， 答：估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数为20名． 20. 如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形得到，，然后证明，然后根据一组对边平行且相等可得到结果； （2）先根据勾股定理得到，再根据三角形的面积可得，然后根据勾股定理得到，最后将四边形的面积变为进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 21. 观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ （1）写出第⑥个等式：______． （2）用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． （3）运用上述规律，化简：＝______． 【答案】（1） （2）； 证明： ； （3） 【解析】 【分析】（1）观察规律写出等式即可； （2）利用二次根式的运算进行证明即可； （3）根据规律及二次根式的性质进行计算． 【小问1详解】 解：根据规律可知第个等式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 22. 甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地行驶，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系：折线表示轿车离甲地距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）货车的速度为______千米/时；线段对应的函数解析式为：______； （2）求线段对应的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； （3）在轿车行驶过程中，若两车相距20千米，求的值． 【答案】（1）80；；（2）；（3）3或4 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解；利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据待定系数法求对应函数解析式即可； （3）根据图象，分相遇前和相遇后求解即可． 【详解】解：（1）根据图象货车的速度为400÷5=80千米/时， 设线段OA对应的函数解析式为y=mx， 将（5，400）代入，得：m=80， ∴线段OA对应的函数解析式为y=80x， 故答案为：80；； （2）解：设线段对应的函数解析式为， 将、代入， 得：，解得， ∴线段对应的函数解析式为； （3）当时，， ∴当货车行驶小时时，两车距离大于20千米， ∴两车相距20千米时，应在小时后． 相遇前：，解得； 相遇后：，解得． 答：两车相距20千米时，的值为3或4． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能正确从图象中获取相关信息是解答的关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1）或或或 （2）①15，15； ②，理由如下： （3）cm或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ②略 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 24. 综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作交的延长线于Q，交y轴于点C，连接，． （1）线段的长______． （2）①求证：四边形是平行四边形；②当______，时，四边形是菱形． （3）若点N是上一动点，当有最小值时，点N的坐标是______． 【答案】（1）5； （2）①证明：∵， ∴， ∵M是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）令直线解析式中、，求得，，由勾股定理得．在中，是斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）①由得内错角相等，结合是中点，用证，得．四边形对角线互相平分，故是平行四边形；②菱形需邻边相等，即．设，由勾股定理表示，，列方程，进行求解即可； （3）作点关于直线的对称点，则，当P、N、共线时最小．先由面积法求垂足坐标，再得坐标，求直线解析式后与联立，进行求解即可． 【小问1详解】 解：令， 解得， ∴； 令，， ∴， ∴，， 在中，， ∵M是斜边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②由题意得，且， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：作点关于直线的对称点，连接交于点H，连接交于点N，连接，如图， ∴，是的中点，， ∴， ∴当P，N，三点共线时，线段和最小， 由图可得，， ∴ 解得， 设， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入和， 得， 解得， ∴， 联立直线与的解析式， 得， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期期末质量检测 八年级数学 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据是勾股数的一组是（ ） A. B. 7、24、25 C. 0.3、0.4、0.5 D. 2、3、5 4. 变量、有如下关系：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是的函数的个数( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. “百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A. 13cm B. C. 8cm D. 9. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差s甲2与s乙2的大小关系是（　　） A. s甲2＜s乙2 B. s甲2＞s乙2 C. s甲2＝s乙2 D. 无法确定 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 在中，x的取值范围为______． 12. 已知平面直角坐标系内两点，， 那么线段的长等于______． 13. 把化去分母中的根号后得______． 14. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是______． 15. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 16. 在菱形中，，，点在边上，把沿着折叠得到，点的对应点为点，当垂直于菱形的一边时，的长为_______． 17. 如图，四边形是边长为1的正方形，点分别在x，y轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点分别在x，y轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为______． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1）． （2）． 19. 某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（单位：分）如下： 甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班：90 55 80 70 56 70 95 80 65 70 （1）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x/分 甲班 1 3 3 2 1 乙班 2 1 m 2 n 则______，______ （2）分析数据 ①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 72 x 75 乙班 73.1 70 y 则x＝______，y＝______； ②乙班这组数据的四分位数＝______，＝______，＝______； ③若规定80分以上（含80分）的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数． 20. 如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求四边形的面积． 21. 观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ （1）写出第⑥个等式：______． （2）用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． （3）运用上述规律，化简：＝______． 22. 甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地行驶，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系：折线表示轿车离甲地距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）货车的速度为______千米/时；线段对应的函数解析式为：______； （2）求线段对应的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； （3）在轿车行驶过程中，若两车相距20千米，求的值． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 24. 综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作交的延长线于Q，交y轴于点C，连接，． （1）线段的长______． （2）①求证：四边形是平行四边形；②当______，时，四边形是菱形． （3）若点N是上一动点，当有最小值时，点N的坐标是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $