4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦指数函数、幂函数、对数函数增长的比较这一核心知识点，系统梳理三种函数在（0，+∞）上的增减性、图象趋势及增长速度差异，通过“课标要求-实例引入-理论讲解-题型应用”的脉络构建学习支架。 以澳大利亚兔子数量增长实例创设情境，引导学生用数学眼光观察现实规律，通过表格对比培养逻辑推理能力，设计函数模型构建问题提升数学建模素养，课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课标 要求 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型（数学抽象）. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义（逻辑推理）. 3.能根据具体问题选择合适的函数模型（数学建模）. 1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气. 【问题】　想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 三种函数的增长趋势 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xα（x＞0，α＞0） 在（0，＋∞）上的增减性 增函数 图象的变化趋势 随x增大，近似与y轴平行 随x增大，近似与x轴平行 α值较小（α＜1）时，增长较慢；α值较大（α＞1）时，增长较快 增长速度 ①随x增大，y＝ax增长速度　越来越快　，并且当a越大时，y＝ax增长速度　越快　.随x增大，y＝ax增长速度会超过并远远大于y＝xα（α＞0）的增长速度； ②随x增大，y＝logax增长速度　越来越慢　，并且当a越大时，y＝logax增长速度　越慢　； ③存在一个x0，当x＞x0时，有　ax＞xα＞logax　 提醒：三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.（　√　） （2）对任意的x＞0，kx＞logax.（　×　） （3）对任意的x＞0，ax＞logax.（　×　） （4）函数y＝log2x增长的速度越来越慢.（　√　） 2.某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用（　D　） A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数型函数变化的变量是　y2　. 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 题型一　几类函数模型的比较 下面对函数f（x）＝lox，g（x）＝与h（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是（　　） A.f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速度越来越慢 B.f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速度越来越快 C.f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速度越来越慢 D.f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速度越来越快 解析：C　画出三个函数的图象如图，由图象可知选C. 通性通法 　　一般地，在（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（0＜a＜1），y＝xn（n＜0），y＝logax（0＜a＜1）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上. 　　随着x的增大，函数y＝ax（0＜a＜1）的衰减速度会越来越慢，并且一开始远远大于函数y＝xn（n＜0）的衰减速度，但是它们的函数值始终大于0；而对于函数y＝logax（0＜a＜1），衰减速度也是越来越慢，并且当x＞1时，函数值小于0，会越来越小. 　　因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜ax＜xn（0＜a＜1，n＜0）. 提醒：由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在一个x0，使得当x＞x0时，若a＞1，n＞0，则logax＜xn＜ax；若0＜a＜1，n＜0，则logax＜ax＜xn.而当x＜x0时，ax，logax与xn（n≠0）的大小关系不确定. 　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（　　） A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 解析：C　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数，y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C. 题型二　几种函数模型增长的差异 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2. （1）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； 解： C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x. （2）结合函数图象，判断f（6），g（6），f（2 026），g（2 026）的大小. 解：因为f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10）， 所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 026＞x2， 从图象上可以看出当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），所以f（6）＜g（6）； 当x＞x2时，f（x）＞g（x）， 所以f（2 026）＞g（2 026）. 又因为g（2 026）＞g（6）， 所以f（2 026）＞g（2 026）＞g（6）＞f（6）. 通性通法 常见的函数模型及增长特点 （1）线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变； （2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”； （3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓； （4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x＞1）的函数关系是f1（x）＝x2，f2（x）＝2x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（　　） A.f1（x）＝x2 B.f2（x）＝2x C.f3（x）＝log2x D.f4（x）＝2x 解析：D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 题型三　函数模型的构建 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N＋）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N＋），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解：根据题意可列方程组解得 所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70.　① 同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140.　② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130， g（4）＝－80×0.54＋140＝135. 与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函数较好. 通性通法 函数模型构建的一般步骤 （1）收集数据； （2）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； （3）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； （4）选择其中的几组数据求出函数模型； （5）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤（3）；若符合实际，则进入下一步； （6）用所得函数模型解析实际问题. 　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20％.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求. 1.下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（　　） A.y＝2 025ln x B.y＝x2 025 C.y＝ D.y＝2 025·2x 解析：D　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 025·2x的函数值的增长速度最快.故选D. 2.在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是（　　） A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x 解析：D　将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D. 3.已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为　f（x）＞g（x）　. 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图象，如图所示，由于函数f（x）＝3x的图象在函数g（x）＝2x图象的上方，则f（x）＞g（x）. 4.随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2026年年底该地区的农民人均年收入为　4 770　元.（精确到个位）（附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59） 解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2018年年底到2026年年底经过了8年，故把x＝8代入，即可求得y＝3 000×1.068≈4 770. 1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（　　） A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x） C.y＝ D.y＝0.2＋log16x 解析：C　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C. 2.某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份（　　） A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析：A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝.因为－＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高. 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4％，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　） 解析：D　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），∴y＝f（x）的图象大致为D中图象. 4.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　） A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1 解析：B　由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3. 5.〔多选〕以下四种说法中，正确的是（　　） A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax C.对任意的x＞0，xa＞logax D.不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 解析：BD　对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于选项B，因为a＞1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax＞logax，故B正确；对于选项C，当0＜a＜1时，结合图象易知xa＞logax不恒成立，故C错；对于选项D，当a＞1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立，故D正确.故选B、D. 6.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是　①　.（填序号） ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50. 7.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应（4）；B对应（1）；C对应（3）；D对应（2）. 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应. 8.今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律：①v＝log2t；②v＝lot；③v＝；④v＝2t－2.则其中最接近的一个是　③　.（填上代表函数的序号） 解析：对于①，当t＝4时，v＝2，可知①不适合，应排除.对于②，当t＝4时，v＝－2，可知②不适合，应排除.对于④，当t＝5.1时，v＝8.2；当t＝6.12时，v＝10.24.数据有较大差异，应排除.③最接近. 9.若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是　ax＞xn＞logax　. 解析：由于a ＞1，则函数y＝ax为增函数，而xn在n＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数y＝ax的增长速度小，根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，可知当x足够大时， ax，xn，logax的大小关系是ax＞xn＞logax. 10.函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示. （1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； （2）以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较. 解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x. （2）当0＜x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）. 11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是（　　） A.投资3天以内（含3天），采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 解析：D　若投资3天以内（含3天），由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一；若投资4天，方案三回报最小，故不采用；若投资6天，方案一为40×6＝240（元），方案二为10＋20＋…＋60＝210（元），故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最大. 12.〔多选〕已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（　　） A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3 D.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度有时快于y2 解析：BD　如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D. 13.三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是　y3　，符合指数函数模型的变量是　y2　，符合幂函数模型的变量是　y1　. 解析：由题中表格，可知三个变量y1，y2，y3随着x的增大都是越来越大的，其中y2的增长速度最快，符合指数函数模型，y3的增长速度最慢，符合对数函数模型，y1符合幂函数模型. 14.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且不超过投资收益的20％. （1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函数模型是否符合公司要求； （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 解：（1）由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且∀x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤. 对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜100，不符合要求； 对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； 对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增， 且当x＝3 000时，f（3 000）＝100log203 000＋50＞100， 又因为f（x）max＝f（9 000）＝100log209 000＋50＜100log20160 000＋50＝450，而（）min＝＝600， 所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤（）min，所以f（x）≤恒成立. 因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型. （2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000， 所以要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $