4.3.3 第2课时 对数函数图象和性质的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数函数图象和性质的应用，承接对数函数基本概念与性质的学习，通过最值与值域、单调性、综合应用三个题型，构建从基础到应用的学习支架，系统梳理解题方法。 资料以“通性通法”总结与“母题探究”变条件设计为亮点，培养逻辑推理和数学运算素养。如单调性问题中结合定义域分析复合函数单调性，课中助教师引导学生掌握方法，课后练习题覆盖不同层次，帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第二课时　对数函数图象和性质的应用 课标 要求 1.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题（数学运算）. 2.掌握对数函数性质的综合应用问题（逻辑推理、数学运算）. 题型一　对数型函数的最值与值域 求下列函数的值域： （1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]； 解：∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1. ∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1]. （2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）. 解：∵f（x）＝log2·log2＝（log2x－2）·（log2x－1）＝－， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴当log2x＝， 即x＝＝2时，f（x）取最小值－； 当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值为2， ∴函数f（x）的值域是. 通性通法 求对数型函数值域的方法 （1）求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解； （2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换元，把复杂问题简单化. 1.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是　[－6，－3]　. 解析：∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3]. 2.函数y＝2x－lo（x＋1）在区间[0，1]上的最大值为　3　，最小值为　1　. 解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝lo（x＋1）在[0，1]上单调递减，所以y＝f（x）＝2x－lo（x＋1）在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f（1）＝21－lo2＝2－（－1）＝3，最小值为f（0）＝20－lo1＝1－0＝1. 题型二　对数型函数的单调性问题 （1）已知函数f（x）＝loga（x2＋2x－3），若f（2）＞0，则此函数的单调递增区间是（　　） A.（－∞，－3） B.（－∞，－3）∪（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（1，＋∞） 解析：D　∵f（2）＝loga5＞0＝loga1，∴a＞1. 由x2＋2x－3＞0得函数f（x）的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）.设u＝x2＋2x－3，则此函数在（1，＋∞）上单调递增.又∵y＝logau（a＞1）在（0，＋∞）上是增函数，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，＋∞），故选D. （2）已知函数f（x）＝lg（x2－2ax－a）在区间（－∞，－3）上单调递减，求实数a的取值范围. 解：设u（x）＝x2－2ax－a. ∵f（x）在（－∞，－3）上单调递减， ∴u（x）在（－∞，－3）上单调递减， 且u（x）＞0在（－∞，－3）上恒成立. 又u（x）＝（x－a）2－a－a2在（－∞，a）上单调递减. ∴∴a≥－. ∴满足条件的实数a的取值范围是. 【母题探究】 1.（变条件）本例（1）中条件变为“f（x）＝lg（x2－2x）”，其他条件不变，试求函数f（x）的单调递增区间. 解：由已知，得x2－2x＞0，解得x＞2或x＜0.因为u＝x2－2x在（2，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，而y＝lg u在（0，＋∞）上是增函数，所以y＝lg（x2－2x）的单调递增区间为（2，＋∞）. 2.（变条件）本例（2）中条件变为“f（x）＝loga（6－ax）在[0，2]上单调递减”，求a的取值范围. 解：若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0，2]上单调递减，则解得1＜a＜3. 故实数a的取值范围为（1，3）. 通性通法 形如y＝logaf（x）（f（x）＞0）的函数的单调性 （1）当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致； （2）当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反. 提醒：研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则. 　若函数f（x）＝lox·log2（ax）在［，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是　[16，＋∞）　. 解析：f（x）＝－log2x·log2（ax）＝－log2x·（log2x＋log2a）＝－－log2a·log2x，令t＝log2x，则t∈[－2，＋∞），且t＝log2x为增函数，所以g（t）＝－t2－（log2a）t，所以g（t）＝－t2－（log2a）t在t∈[－2，＋∞）上单调递减，所以t0＝－≤－2，即log2a≥4，解得a≥16. 题型三　对数函数性质的综合应用 已知f（x）＝log4（4x－1）. （1）求f（x）的定义域； 解：由4x－1＞0，解得x＞0， 因此f（x）的定义域为（0，＋∞）. （2）讨论f（x）的单调性； 解：设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1， 因此log4（－1）＜log4（－1）， 即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（0，＋∞）上是增函数. （3）求f（x）在区间上的值域. 解：因为f（x）在区间上单调递增， 又f＝0，f（2）＝log415， 因此f（x）在上的值域为[0，log415]. 通性通法 解决对数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧； （2）解答问题时应注意定义域优先的原则； （3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论. 　已知函数f（x）＝log2（1＋x），g（x）＝log2（1－x）. （1）求函数f（x）－g（x）的定义域； 解：由题意，得解得－1＜x＜1， 所以函数f（x）－g（x）的定义域是（－1，1）. （2）判断函数f（x）－g（x）的奇偶性，并说明理由； 解：函数f（x）－g（x）是奇函数.理由如下： 因为函数f（x）－g（x）的定义域是（－1，1）， 所以其定义域关于原点对称. 又因为f（－x）－g（－x）＝log2（1－x）－log2（1＋x）＝－[log2（1＋x）－log2（1－x）]＝－[f（x）－g（x）]， 所以函数f（x）－g（x）是奇函数. （3）求使得不等式f（x）－g（x）＞1成立的x的取值范围. 解：因为f（x）－g（x）＞1， 即log2（1＋x）－log2（1－x）＞1， 所以log2＞1＝log22. 所以解得＜x＜1. 所以使得不等式f（x）－g（x）＞1成立的x的取值范围是（，1）. 1.函数f（x）＝lg 是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 解析：A　f（x）的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴f（x）为奇函数，故选A. 2.函数f（x）＝lg x2的单调递减区间是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（1，＋∞） D.（0，＋∞） 解析：A　函数f（x）＝lg x2，可令t＝x2（x≠0），则y＝lg t，由t＝x2在（－∞，0）上单调递减，（0，＋∞）上单调递增，y＝lg t在（0，＋∞）上是增函数，可得函数f（x）＝lg x2的单调递减区间是（－∞，0）. 3.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a＝（　　） A. B. C.2 D.4 解析：B　由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的最大值和最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝. 4.〔多选〕已知f（x）＝lg（10＋x）＋lg（10－x），则f（x）（　　） A.是奇函数 B.是偶函数 C.在（0，10）上单调递增 D.在（0，10）上单调递减 解析：BD　由得x∈（－10，10），故函数f（x）的定义域为（－10，10），因为∀x∈（－10，10）都有－x∈（－10，10），且f（－x）＝lg（10－x）＋lg（10＋x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数.f（x）＝lg（10＋x）＋lg（10－x）＝lg（100－x2），y＝100－x2在（0，10）上单调递减，y＝lg x在（0，10）上单调递增，故函数f（x）在（0，10）上单调递减. 5.已知函数f（x）＝｜lox｜在区间上的值域为[0，1]，则m的取值范围为　[1，2]　. 解析：作出f（x）＝｜lox｜的图象（如图），可知f＝f（2）＝1，f（1）＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2. 1.函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（　　） A.（0，＋∞） B.[0，＋∞） C.（1，＋∞） D.[1，＋∞） 解析：A　∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2（3x＋1）＞0.∴函数f（x）的值域为（0，＋∞）. 2.已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，则k的取值范围是（　　） A.0＜k＜1 B.0≤k＜1 C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1 解析：C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1. 3.函数f（x）＝lg（＋x）的奇偶性为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 解析：A　易知该函数的定义域为R，又f（x）＋f（－x）＝lg（＋x）＋lg（－x）＝lg[（＋x）·（－x）]＝lg 1＝0，∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数. 4.函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间是（　　） A.（－∞，2） B.（2，＋∞） C.（1，2） D.（2，3） 解析：D　由－3＋4x－x2＞0，得x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3.设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.∵函数y＝lot在（0，＋∞）上为减函数，∴要求函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间，即求函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间，∵函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间是（2，3），∴函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间为（2，3），故选D. 5.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（　　） A.（ ，b） B.（10a，1－b） C.（ ，b＋1） D.（a2，2b） 解析：D　因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点（ ，b）不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点（ ，b＋1）不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的图象上，D正确. 6.〔多选〕关于函数f（x）＝lg ，正确的结论是（　　） A.函数f（x）的定义域是（0，＋∞） B.函数f（x）是奇函数 C.函数f（x）的最小值为－lg 2 D.当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；当x＞1时，函数f（x）单调递减 解析：AD　由＞0知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），则函数f（x）是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；f（x）＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f（x）的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，当0＜x＜1时，该函数单调递减；当x＞1时，该函数单调递增.而函数y＝lg x在（0，＋∞）是增函数，所以D正确. 7.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　4　. 解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4. 8.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为　－　. 解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝（log2x＋）2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－. 9.已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f＝0，则不等式f（log4x）＜0的解集是　　. 解析：由题意可知，f（log4x）＜0⇔－＜log4x＜⇔＜x＜⇔＜x＜2. 10.已知函数f（x）＝ln（e－x）－ln（e＋x），e为自然对数的底数. （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）已知f（1＋2m）＋f（－m）≥0，求实数m的取值范围. 解：（1）由题意，可得 解得－e＜x＜e， 所以函数f（x）的定义域为（－e，e）. （2）函数f（x）是奇函数，证明如下： f（x）的定义域（－e，e）关于原点对称， 因为f（x）＝ln（e－x）－ln（e＋x）， 所以f（－x）＝ln（e＋x）－ln（e－x）＝－[ln（e－x）－ln（e＋x）]＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. （3）f（x）＝ln（e－x）－ln（e＋x）＝ln＝ln， 令t＝－1＋， 因为t＝－1＋在区间（－e，e）上单调递减，y＝ln t为增函数， 所以函数f（x）＝ln在定义域（－e，e）上为减函数， 又函数f（x）是奇函数，所以f（1＋2m）≥－f（－m）＝f（m）， 所以 解得－＜m≤－1. 所以实数m的取值范围为. 11.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减 解析：D　由得函数f（x）的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A、C；当x∈时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B；当x∈时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln＝ln（1＋），易知函数f（x）单调递减，故选D. 12.设函数f（x）＝则满足不等式f（x）＋f（x－）＞2的x的取值范围是（　　） A.（，＋∞） B.（，1］ C.（1，］ D.（，＋∞） 解析：D　由已知f（x）是R上的增函数，当x＞1时，f（x）＞2，当x－＞1，即x＞时，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当1＜x≤时，f（x）＝log2（x＋3）＞2，f（x－）＝4（x－）－2＝4x－3＞0，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当x≤1时，f（x）＋f（x－）＝4x－2＋4（x－）－2＞2，解得x＞，所以＜x≤1.综上，满足不等式的x的取值范围为（，＋∞）. 13.已知函数f（x）＝｜lg x｜＋2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是　（3，＋∞）　. 解析：由f（x）的图象可知，0＜a＜1＜b，又f（a）＝f（b），因此｜lg a｜＝｜lg b｜，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，设g（a）＝a＋（0＜a＜1）.因为g（a）在（0，1）上单调递减，所以g（a）＞g（1）＝3，即a＋＞3，所以a＋2b的取值范围是（3，＋∞）. 14.已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵f（1）＝1，∴log4（a＋5）＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1， ∴f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）. 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 即函数f（x）的定义域为（－1，3）. 令g（x）＝－x2＋2x＋3， 则g（x）在（－1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减. 又y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数， ∴f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a，使f（x）的最小值为0， 令h（x）＝ax2＋2x＋3，则h（x）min＝1， ∴解得a＝， ∴存在实数a＝，使f（x）的最小值为0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $