4.3.1 对数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.3.1 对数函数的概念 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的对应关系，初步理解对数函数的概念及意义． 理解对数函数的概念. 理解对数函数与指数函数的联系 新课引入 假设老师给每位同学1元启动资金，每天的钱数都会变成前一天的2倍，请问：多少天后，你的财富能变成8元？多少天后它能变成10元呢？ 财富翻倍小游戏： 设计意图：利用“财富翻倍”游戏引入，用学生易感知的“翻倍次数求解”场景，已知底数和幂，求解指数问题引入对数函数这一概念，破解对数“逆运算难理解、概念太抽象”的教学痛点，同时体现了数学来源于生活。 新知探究 y=2x 是指数函数，那么 x 是 y 的函数吗？ 由于指数函数y=2x 是定义在R上、值域为(0，)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y=2x ． 由函数的定义，x是y的函数，记作 抽象概括 对数函数 （且）叫做对数函数，其中是底数，是自变量. 两个特殊的对数函数: ①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作 y=lg x ;  ②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作 y=ln x. 由定义可知，对数函数（且）具有以下基本性质： （1）定义域是（0，+∞)，值域是R. （2）图象过定点（1，0) 牛刀小试 1.给出下列函数： ①y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ②y＝log2x－1；③y＝2log8x； ④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5 x. 其中所有对数函数的序号是( ) 解：①真数不是自变量x，不是对数函数． ②对数式后减1，∴不是对数函数． ③log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数． ④底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． ⑤是对数函数． ⑤ 牛刀小试 1.给出下列函数： ①y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ②y＝log2x－1；③y＝2log8x； ④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5 x. 其中所有对数函数的序号是( ) 方法总结:判断一个函数是不是对数函数 ⑤ ①对数符号前面的系数为1 ②对数的底数 ③对数的真数仅有自变量 新知探究 指数函数和对数函数有什么关系呢？ 联系： 指数函数和对数函数刻画的是同一对变量，之间的关系． 区别： 在指数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是R； 在对数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是(0，)﹒ 我们称对数函数 是指数函数 同底的指数函数和对数函数互为反函数 典例分析 例1（1）当时，求对数函数的函数值 （2）当时，求对数函数的函数值 解：(1)由，得; 由，得 由，得2﹒ (2)由，得 由，得 由，得﹒ 典例分析 写出下列对数函数的反函数：（1）；（2）﹒ 解： (1)因为对数函数的底数是10，所以它的反函数是指数函数 ； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒ 特别注意：中的 要加括号 解： (1)由，得； 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； 由，得﹒ (2)由，得； 由，得4﹒ (1)计算对数函数 当0.25，0.5，1，2，4，8时的函数值； (2)计算常用对数函数 当0.00001，10000时的函数值﹒ 新知运用 写出下列对数函数的反函数： （1）；（2）；﹒ (1)计算对数函数 当0.25，0.5，1，2，4，8时的函数值； (2)计算常用对数函数 当0.00001，10000时的函数值﹒ 新知运用 写出下列对数函数的反函数： （1）；（2）；﹒ 解： (1)因为对数函数的底数是2.5，所以它的反函数是指数函数 ； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数； 小结作业 对数函数的概念 (1)一般地，函数 (，且)叫作对数函数，其中称为底数； 对数函数具有以下基本性质：①定义域是；②图象过定点 (2)指数函数(，且)与对数函数 (，且)互 为反函数﹒两者的定义域与值域正好互换． 两种特殊的对数函数 以10为底的对数函数为常用对数函数，记作； 以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作． 作业：教材第113页习题4-3A 组第1-2题． $