4.3.3 第1课时 对数函数的图象和性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的图象和性质核心知识点，通过观察具体函数（如y=log₂x,y=log₀.₅x等）的图象，引导学生归纳定义域、值域、定点及单调性，建立与指数函数的反函数关系，为后续解决相关问题搭建学习支架。 该资料以问题驱动图象观察培养直观想象，通过定义域求解、图象识别等题型强化数学运算与逻辑推理，如比较log₃1.9与log₃2体现单调性应用。课中助教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识运用能力。

第一课时　对数函数的图象和性质 课标 要求 1.进一步理解对数函数的图象和性质（直观想象）. 2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题（数学运算）. 　　观察图形： 【问题】　（1）观察图①所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？ （2）函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图②所示，那么a，b，c的大小关系如何？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　（0，＋∞）　 值域：　R　 过定点　（1，0）　，即当x＝1时，y＝0 a＞1 0＜a＜1 性质 当x＞1时，y　＞　0； 当0＜x＜1时，y　＜　0 当x＞1时，y　＜　0； 当0＜x＜1时，y　＞　0 在定义域（0，＋∞）上是　增　函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域（0，＋∞）上是　减　函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 提醒：对数函数图象的再理解：①对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，（1，0），（a，1），且图象都在第一、四象限内；②（ⅰ）若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；（ⅱ）若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.简记为：同区间为正，异区间为负. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0）.（　√　） （2）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是单调函数.（　√　） （3）由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象.（　×　） （4）y＝4x与y＝log4x的图象关于直线y＝x对称.（　√　） 2.函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（　　） A.（1，2） B.（2，1） C.（－2，1） D.（－1，1） 解析：D　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（－1，1）. 3.函数f（x）＝log2（x－1）的定义域是　（1，＋∞）　. 题型一　对数型函数的定义域 求下列函数的定义域： （1）y＝；（2）y＝； （3）y＝log2（16－4x）；（4）y＝log（x－1）（3－x）. 解：（1）要使函数式有意义，需解得x＞1，且x≠2. 故函数y＝的定义域是{x｜x＞1，且x≠2}. （2）要使函数式有意义，需 即解得x≥4. 故函数y＝的定义域是{x｜x≥4}. （3）要使函数式有意义，需16－4x＞0，解得x＜2. 故函数y＝log2（16－4x）的定义域是{x｜x＜2}. （4）要使函数式有意义，需解得1＜x＜3，且x≠2. 故函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域是{x｜1＜x＜3，且x≠2}. 通性通法 求对数型函数定义域的原则 （1）分母不能为0； （2）根指数为偶数时，被开方数非负； （3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 　求下列函数的定义域： （1）y＝ln； 解：要使y＝ln有意义，需＞0，即（x＋2）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－2，即函数y＝ln的定义域是（－∞，－2）∪（1，＋∞）. （2）y＝. 解：要使函数有意义，需 即即－3＜x＜－2或x≥2， 故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）. 题型二　对数型函数的图象 角度1　对数（型）函数图象过定点问题 函数f（x）＝loga（x－1）＋1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（　　） A.（1，1） B.（2，1） C.（1，2） D.（2，2） 解析：B　令x－1＝1，得x＝2，因此f（2）＝1，所以函数f（x）的图象恒过定点（2，1）.故选B. 通性通法 　　涉及与对数（型）函数有关的图象过定点问题的一般规律：若f（x）＝klogag（x）＋b（a＞0且a≠1），且g（m）＝1，则f（x）的图象过定点P（m，b）. 角度2　对数（型）函数图象的识别 （1）〔一题多解〕函数y＝－lg｜x＋1｜的大致图象为（　D　） 解析：法一　函数y＝－lg｜x＋1｜的定义域为{x｜x≠－1}，可排除A、C；当x＝1时，y＝－lg 2＜0，显然只有D符合题意.故选D. 法二　y＝－lg｜x＋1｜＝ 又x∈（－1，＋∞）时，y＝－lg（x＋1）是减函数.故选D. （2）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　A　） 解析：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x可知， ①当0＜a＜1时，此时a－1＜0，对数函数y＝logax为减函数，而二次函数y＝（a－1）x2－x开口向下，且其对称轴为x＝＜0，故排除C与D； ②当a＞1时，此时a－1＞0，对数函数y＝logax为增函数，而二次函数y＝（a－1）x2－x开口向上，且其对称轴为x＝＞0，故B错误，而A符合题意.故选A. 通性通法 1.一般地，函数y＝f（x＋a）＋b（a，b为实数）的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移｜a｜个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移｜b｜个单位长度得到的. 2.含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 角度3　根据图象求解析式中的参数 已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（　　） A.a＞0，b＜－1 B.a＞0，－1＜b＜0 C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0 解析：D　因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. 通性通法 判断与对数函数有关的图象问题的方法 （1）弄清函数单调性； （2）函数图象过定点； （3）特殊值的确定； （4）平移及对称变换. 1.如图是函数y＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，b∈R）的大致图象，则函数y＝ax－b的大致图象是（　　） 解析：C　由函数y＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，b∈R）的图象可知a＞1，0＜b＜1，所以函数y＝ax在定义域R上单调递增，而函数y＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向下平移b个单位长度得到的，结合选项可知只有C选项符合题意.故选C. 2.函数y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），则k＋b＝　4　 . 解析：函数y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以k＋b＝4. 3.画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调区间. 解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示. 由图象知，其值域为[0，＋∞），单调递减区间是（－1，0]，单调递增区间是（0，＋∞）. 题型三　比较对数值的大小 比较下列各组中两个值的大小： （1）log31.9，log32； 解：因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，所以log31.9＜log32. （2）log76，log67； 解：设函数f（x）＝log7x，g（x）＝log6x，则这两个函数在定义域内都是增函数，所以log76＜log77＝1＝log66＜log67.即log76＜log67. （3）logaπ，loga3.14（a＞0，且a≠1）. 解：π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数， 有logaπ＜loga3.14. 综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 通性通法 比较对数值大小常用的4种方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较； （2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论； （3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较； （4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 比较下列各组对数值的大小： （1）lo与lo； 解：因为y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，且＜，所以lo＞lo. （2）3log45，2log23； 解：因为3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，又125＞81， 所以3log45＞2log23. （3）lo0.3与lo3. 解：由对数的性质知lo0.3＞0＞lo3，所以lo0.3＞lo3. 题型四　求解对数不等式 解不等式： （1）log2（x2－2x）＞log2（x＋4）； 解：原不等式等价于解得x＞4或－4＜x＜－1. 所以不等式的解集为{x｜x＞4或－4＜x＜－1}. （2）loga（x－4）－loga（2x－1）＞0（a＞0，且a≠1）. 解：原不等式化为loga（x－4）＞loga（2x－1）. 当a＞1时，不等式等价于 无解. 当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4. 综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x｜x＞4}. 通性通法 常见对数不等式的2种解法 （1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 1.求满足不等式log3x＜1的x的取值集合. 解：∵log3x＜1＝log33， ∴x满足的条件为 即0＜x＜3. ∴x的取值集合为{x｜0＜x＜3}. 2.解不等式lo（2x＋3）＜lo（5x－6）3. 解：易知lo（5x－6）3＝lo（5x－6）3＝lo（5x－6）， 由lo（2x＋3）＜lo（5x－6）3可得lo（2x＋3）＜lo（5x－6）， 又函数y＝lox在（0，＋∞）上单调递减， 所以可得解得＜x＜3. 所以不等式的解集为{x｜＜x＜3}. 1.三个数a＝，b＝，c＝log3的大小顺序为（　　） A.b＜c＜a B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a 解析：D　a＝＞1，0＜b＝＜1，c＝log3＜0，所以a＞b＞c. 2.〔多选〕已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是（　　） 解析：ABD　对于A，由指数函数和对数函数知a＞1，而由一次函数知0＜a＜1，不符合；对于B，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指数函数和对数函数知0＜a＜1，而由一次函数知a＞1，不符合. 3.函数f（x）＝logax在[2，4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为　　. 解析：依题意得 所以3loga2＝6，即loga2＝2，所以a2＝2，所以a＝（－舍去）. 4.若loga＜1，则a的取值范围为　（0，）∪（1，＋∞）　. 解析：当a＞1时，满足条件；当0＜a＜1时，由得0＜a＜，综上，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）. 1.函数y＝loga（x－2）（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（　　） A.（1，0） B.（2，0） C.（3，0） D.（4，0） 解析：C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点（3，0）. 2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：A　a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c. 3.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　） 解析：B　由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误；又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确. 4.函数f（x）＝的定义域为（0，10]，则实数a的值为（　　） A.0 B.10 C.1 D. 解析：C　由已知，得a－lg x≥0的解集为（0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C. 5.〔多选〕函数f（x）＝loga（x＋2）（0＜a＜1）的图象过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：BCD　因为0＜a＜1，所以函数y＝logax是减函数，在y轴右侧，过定点（1，0）.函数f（x）＝loga（x＋2）的图象是把y＝logax的图象向左平移2个单位，所以图象过第二、三、四象限. 6.〔多选〕已知log3a＞log3b，则下列不等式一定成立的是（　　） A.0＜＜ B.log3（a－b）＞0 C.3a－b＜1 D.＜ 解析：AD　因为log3a＞log3b，所以a＞b＞0，所以0＜＜，故选项A正确；当a＝，b＝1时，log3（a－b）＝log3＝－1＜0，故选项B错误；3a－b＞30＝1，故选项C错误；由指数函数和幂函数的单调性得＜＜，故选项D正确.故选A、D. 7.已知m，n∈R，函数f（x）＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是　③　（填序号）. ①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1. 解析：由图象知函数为增函数，故n＞1，又当x＝1时，f（1）＝m＞0，故m＞0. 8.函数f（x）＝lg（2x－b），若x≥1时，f（x）≥0恒成立，则b应满足的条件是　b≤1　. 解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立，又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1. 9.若函数f（x）＝logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x－1）＜f（2－x）的解集是　{x｜1＜x＜2}　. 解析：∵f（2）＞f（3），∴f（x）＝logax是减函数，由f（2x－1）＜f（2－x），得∴ ∴1＜x＜2. 10.解关于x的不等式loga（x＋1）＞loga（3－x2）（a＞0，且a≠1）. 解：当a＞1时，原不等式等价于即解得1＜x＜. 当0＜a＜1时，原不等式等价于即解得－1＜x＜1. 综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜1＜x＜}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 11.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是（　　） 解析：AB　∵g（x）＝－logbx＝lox＝logax，∴f（x）和g（x）的单调性相同，结合选项可知A、B正确. 12.〔多选〕已知实数a，b满足loa＝lob，则下列关系式可能成立的是（　　） A.a＞b＞1 B.0＜b＜a＜1 C.b＞a＞1 D.a＝b 解析：BCD　当a＝b＝1时，显然满足题意，故D可能成立；当a≠1且b≠1时，根据loa＝lob得＝，因此lg a＝lo ·lg b.因为0＜lo＝log32＜1，所以0＜lg a＜lg b或lg b＜lg a＜0，则b＞a＞1或0＜b＜a＜1，故B、C可能成立. 13.已知函数f（x）＝直线y＝a与函数f（x）的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　（0，1]　. 解析：函数f（x）的图象如图所示，要使y＝a与f（x）有两个不同交点，则0＜a≤1. 14.已知a∈R，函数f（x）＝log3（＋a）. （1）当a＝1时，解不等式f（x）＞1； （2）若函数g（x）＝f（x）－log3（ax＋1）的图象与x轴只有一个交点，求a的取值范围. 解：（1）当a＝1时，由f（x）＞1得log3（＋1）＞1，所以＋1＞3，所以0＜x＜，所以不等式的解集为（0，）. （2）当g（x）＝0时，log3（＋a）＝log3（ax＋1）， 所以所以 所以x＝1，所以a＞－1，故a的取值范围是（－1，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $