4.2.2 换底公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“换底公式”核心知识点，衔接对数运算性质，通过计算器使用需求引入问题，系统讲解公式推导、推论及应用，结合判断题、例题构建从概念到应用的学习支架。 以问题驱动培养数学眼光，通过一题多解和母题探究发展数学思维，分层练习题覆盖基础与拓展，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

2.2　换底公式 课标要求 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算（数学运算）. 计算器上，只有常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数. 【问题】　你知道如何转换吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　换底公式 一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝　　.这个结论称为对数的换底公式. 提醒：换底公式的推论：①lobn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0；n≠0）；②lobn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0；m≠0；n∈R）；③logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）. 【想一想】 1.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：logab＝，logab＝. 2.你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论loMm＝logNM吗？ 提示：loMm＝＝＝·＝logNM. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对数log39和log93的意义一样.（　×　） （2）由换底公式可得logab＝.（　×　） （3）log2M＋log3N＝log6（MN）.（　×　） （4）log23·log32＝1.（　√　） 2.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　log36＝＝＝. 3.已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值. 解：利用换底公式，得··＝2， ∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9. 　　 题型一　对数换底公式的应用 计算：（1）（log43＋log83）（log32＋log92）； 解：原式＝（＋）（＋） ＝（＋）（＋） ＝×＝. （2）. 解：原式＝×＝lo×lo9 ＝×＝×＝－. 通性通法 利用换底公式求值的思想与注意点 1.若log2x·log34·log59＝8，则x＝（　　） A.8 B.25 C.16 D.4 解析：B　∵log2x·log34·log59＝··＝××＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25. 2.〔一题多解〕计算（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）的值. 解：法一　原式＝（log253＋＋）·（log52＋＋）＝（3log25＋＋）（log52＋＋） ＝（3＋1＋）log25·3log52＝13log25·＝13. 法二　原式＝（＋＋）·（＋＋）＝（＋＋）·（＋＋）＝·＝13. 题型二　用已知对数式求值 已知log189＝a，18b＝5，求log3645.（用a，b表示） 解：因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝. 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，如何求log1845（用a，b表示）？ 解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b. 2.（变条件）若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？ 解：因为9b＝5，所以log95＝b. 所以log3645＝＝ ＝＝. 通性通法 求解与对数有关的各种求值问题应注意三点 （1）利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； （2）两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法； （3）对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题. 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由换底公式得log27＝log23·log37＝mn，log72＝，log4256＝log42（7×8）＝log427＋log428，其中log427＝＝＝＝＝，log428＝3log422＝＝＝，故log4256＝＋＝. 题型三　有附加条件的对数式求值问题 （1）〔一题多解〕已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为　1　； 解析：法一　设ax＝by＝cz＝t，由条件知t＞0且t≠1，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1. 法二　∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t＞0，由条件知t≠1，∴x＝，y＝，z＝，∴＋＋＝＋＋＝.∵＋＋＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg（abc）＝0，∴abc＝1. （2）已知5x＝2y＝（）z，且x，y，z≠0，则＋的值为　2　. 解析：令5x＝2y＝（）z＝k，则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k，∴＋＝＋＝2lg k（logk5＋logk2）＝2lg k·logk10＝2·log10k·logk10＝2. 通性通法 　　与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化. 　已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则（abcd）2 026＝　1　. 解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，得a＝log54＝，b＝，c＝，d＝，所以（abcd）2 026＝＝12 026＝1. 1.计算：log927＝（　　） A.2　　　　 B.4 C.3　　 　　D. 解析：D　log927＝＝＝，故选D. 2.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log475＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　log475＝＝＝＝. 3.已知logab·log3a＝5，则b＝　243　. 解析：∵·log3a＝log3b＝5＝log335，∴b＝35＝243. 4.log23·log34·log42＝　1　. 解析：由对数的换底公式可得：log23·log34·log42＝··＝1. 1.log52·log425＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 解析：C　log52·log425＝·＝·＝1. 2.设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由log89＝a，得log23＝a，所以＝a.又log35＝＝b，所以×＝ab，所以＝ab，所以lg 2＝. 3.＋＝（　　） A.lg 3　　 　B.－lg 3 C.　　　 D.－ 解析：C　原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝. 4.化简：（log43＋log83）·（log32＋log92）＝（　　） A.　　 　 B. C.1　　 　 D.2 解析：B　原式＝＝（＋）＝×××＝.故选B. 5.〔多选〕已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与logab相等的有（　　） A. B. C.lo D.lobn 解析：AD　＝logab，＝logba，lo＝logba，lobn＝logab.故选A、D. 6.〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b 解析：BD　log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误. 7.若ln 3＝a，则log9e＝　　. 解析：因为ln 3＝a，所以log9e＝＝＝. 8.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝　1　，lg a＋lg b＝　0　. 解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg （ab）＝lg 1＝0. 9.设log23·log36·log6m＝log4（2m＋8），则实数m＝　4　. 解析：左边＝××＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2（负值舍去）. 10.已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝. 证明：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞1. ∴a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， ∴＋＝＋＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36＝2logk6， 而＝＝2logk6， ∴＋＝，得证. 11.若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则（　　） A.y∈（0，1） B.y∈（1，2） C.y∈（2，3） D.y∈（3，4） 解析：B　y＝××××＝log510＝1＋log52，因为0＜log52＜1，所以1＜y＜2.故选B. 12.〔多选〕已知2a＝3，b＝log32，则（　　） A.a＋b＞2 B.ab＝1 C.3b＋3－b＝ D.＝log912 解析：ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确. 13.已知log32＝a，log37＝b，则log28＝　　（用含a，b的式子表示）. 解析：∵log32＝a，log37＝b，∴log28＝＝＝＝. 14.设a＞0且a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值. 解：由换底公式，得logax＋－＝3， 整理，得（logax）2＋3－logay＝3logax， ∴logay＝（logax）2－3logax＋3＝（logax－）2＋. ∴当logax＝，即x＝时，logay取得最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $