4.2.2 换底公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数换底公式，通过计算器仅有常用对数和自然对数键的情境导入，引导学生思考一般对数的转化方法，衔接对数定义与运算性质，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以“数学运算”“逻辑推理”素养为核心，通过基础落实、典例研析（如多底对数转换、已知对数式求值）和一题多解（如题型三两种解法）培养思维，通性通法总结助学生掌握化归思想。学生能提升运算能力，教师可借跟踪训练与随堂检测及时反馈，优化教学效果。

2.2　换底公式 第四章　对数运算与对数函数 1 课标要求 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 计算器上，只有常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，要计算logab必须 将它转换成常用对数或自然对数. 【问题】　你知道如何转换吗？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　换底公式 一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝ .这 个结论称为对数的换底公式. 提醒：换底公式的推论：①lo bn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0； n≠0）；②lo bn＝ logab（a＞0，a≠1；b＞0；m≠0；n∈R）； ③logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）. 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 【想一想】 1. 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：logab＝ ，logab＝ . 2. 你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论lo Mm＝ logNM吗？ 提示：lo Mm＝ ＝ ＝ · ＝ logNM. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对数log39和log93的意义一样. （　×　） （2）由换底公式可得logab＝ . （　×　） （3）log2M＋log3N＝log6（MN）. （　×　） （4）log23·log32＝1. （　√　） × × × √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（　　） A. B. C. D. 解析：　log36＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值. 解：利用换底公式，得 · · ＝2， ∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9. 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　对数换底公式的应用 计算：（1）（log43＋log83）（log32＋log92）； 解：原式＝（ ＋ ）（ ＋ ） ＝（ ＋ ）（ ＋ ） ＝ × ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2） . 解：原式＝ × ＝lo ×lo 9 ＝ × ＝ × ＝－ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用换底公式求值的思想与注意点 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 若log2x·log34·log59＝8，则x＝（　　） A. 8 B. 25 C. 16 D. 4 解析：∵log2x·log34·log59＝ · · ＝ × × ＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔一题多解〕计算（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋ log1258）的值. 解：法一　原式＝（log253＋ ＋ ）·（log52＋ ＋ ） ＝（3log25＋ ＋ ）（log52＋ ＋ ） ＝（3＋1＋ ）log25·3log52＝13log25· ＝13. 法二　原式＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ · ＝13. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　用已知对数式求值 已知log189＝a，18b＝5，求log3645.（用a，b表示） 解：因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，如何求log1845（用a，b表示）？ 解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b. 2. （变条件）若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝ 5”，则又如何求解呢？ 解：因为9b＝5，所以log95＝b. 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 求解与对数有关的各种求值问题应注意三点 （1）利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； （2）两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法； （3）对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转 化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　由换底公式得log27＝log23·log37＝mn，log72＝ ，log4256＝ log42（7×8）＝log427＋log428，其中log427＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，log428＝3log422＝ ＝ ＝ ， 故log4256＝ ＋ ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　有附加条件的对数式求值问题 （1）〔一题多解〕已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc的值为 ⁠； 解析：法一　设ax＝by＝cz＝t，由条件知t＞0且t≠1，则x＝logat，y＝ logbt，z＝logct，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝logta＋logtb＋logtc ＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1. 1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t ＞0，由条件知t≠1，∴x＝ ，y＝ ，z＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .∵ ＋ ＋ ＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg （abc）＝0，∴abc＝1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知5x＝2y＝（ ）z，且x，y，z≠0，则 ＋ 的值为 ⁠. 解析：令5x＝2y＝（ ）z＝k，则x＝log5k，y＝log2k， z＝lg k，z ＝2lg k，∴ ＋ ＝ ＋ ＝2lg k（logk5＋logk2）＝2lg k·logk10＝ 2·log10k·logk10＝2. 2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所 求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性 质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则（abcd） 2 026＝ ⁠. 解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，得a＝log54＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，所以（abcd）2 026＝ ＝12 026＝1. 1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 计算：log927＝（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 解析：　log927＝ ＝ ＝ ，故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log475＝（　　） A. B. C. D. 解析：　log475＝ ＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知logab·log3a＝5，则b＝ ⁠. 解析：∵ ·log3a＝log3b＝5＝log335，∴b＝35＝243. 4. log23·log34·log42＝ ⁠. 解析：由对数的换底公式可得：log23·log34·log42＝ · · ＝1. 243　 1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. log52·log425＝（　　） A. －1 B. C. 1 D. 2 解析：　log52·log425＝ · ＝ · ＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝（　　） A. B. C. D. 解析：由log89＝a，得log23＝ a，所以 ＝ a.又log35＝ ＝b，所以 × ＝ ab，所以 ＝ ab，所以lg 2＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. ＋ ＝（　　） A. lg 3 B. －lg 3 C. D. － 解析：　原式＝lo ＋lo ＝lo ＋lo ＝lo ＝log310＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 化简：（log43＋log83）·（log32＋log92）＝（　　） A. B. C. 1 D. 2 解析：　原式＝ ＝（ ＋ ） ＝ × × × ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与logab相等的 有（　　） A. B. C. lo D. lo bn 解析：　 ＝logab， ＝logba，lo ＝logba，lo bn＝logab.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 （　　） A. logab·logcb＝logca B. logab·logca＝logcb C. 2lg a＋2lg b＝2lg ab D. 2lg ab＝2lg a·2lg b 解析：log24·log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A错误；logab·logca＝ · ＝ ＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 若ln 3＝a，则log9e＝ ⁠. 解析：因为ln 3＝a，所以log9e＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 若a＝log23，b＝log32，则a·b＝ ，lg a＋lg b＝ ⁠. 解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝ · ＝1，lg a＋lg b＝lg （ab）＝lg 1＝0. 1　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 设log23·log36·log6m＝log4（2m＋8），则实数m＝ ⁠. 解析：左边＝ × × ＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m ＝4或m＝－2（负值舍去）. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证： ＋ ＝ . 证明：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞1. ∴a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36＝2logk6， 而 ＝ ＝2logk6， ∴ ＋ ＝ ，得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则（　　） A. y∈（0，1） B. y∈（1，2） C. y∈（2，3） D. y∈（3，4） 解析：　y＝ × × × × ＝log510＝1＋log52，因为0＜log52 ＜1，所以1＜y＜2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知2a＝3，b＝log32，则（　　） A. a＋b＞2 B. ab＝1 C. 3b＋3－b＝ D. ＝log912 解析：∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2 ＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋ ＝ ，故C错误； ＝ ＝ ＝ ＋ ＝log32＋log3 ＝log32 ＝ ＝2log9 ＝log912，故D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知log32＝a，log37＝b，则log28 ＝ 　 　（用含a，b的式子 表示）. 解析：∵log32＝a，log37＝b，∴log28 ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 设a＞0且a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示 logay，并求当x取何值时，logay取得最小值. 解：由换底公式，得logax＋ － ＝3， 整理，得（logax）2＋3－logay＝3logax， ∴logay＝（logax）2－3logax＋3＝（logax－ ）2＋ . ∴当logax＝ ，即x＝ 时，logay取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $