第4章 §1 对数的概念(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，从指数式\(a^b=N\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）引入对数定义，系统梳理对数式\(b=\log_aN\)的含义、常用对数（lgN）和自然对数（lnN）的概念，构建指数式与对数式互化的学习支架，为后续对数运算及函数学习奠定基础。 资料通过诊断分析（判断正误）强化概念辨析，设置探究点（指数式与对数式互化、求值等例题及变式）提升数学运算能力，结合数学抽象与数学运算核心素养。课中助力教师引导学生理解概念联系，课后学生可通过例题变式巩固知识，查漏补缺。

第四章　对数运算与对数函数 §1　对数的概念 【学习目标】 1.掌握对数式和对数运算的概念,灵活运用指数式与对数式的互化进行简单的对数运算. 2.掌握常用对数和自然对数的概念. 3.掌握指数式与对数式的联系,理解对数式的含义、熟练进行对数运算,通过对数运算的学习,提升数学抽象、数学运算等核心素养. ◆ 知识点一　对数的概念 1.对数定义 一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,即　　　　,那么数b称为以a为底N的　　　　,记作　　　　　　,其中a叫作对数的底数,N叫作　　　　.  2.两类特殊的对数 当对数的底数a=10时,通常称之为　　　　,并将log10N简记为lg N;以无理数e=2.718 281…为底数的对数叫作　　　　,并将logeN简记为ln N.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)负数和零没有对数. (　 ) (2)loga1=0(a>0且a≠1). (　 ) (3)logaa=1(a>0且a≠1). (　 ) (4)loga=-1(a>0且a≠1). (　 ) (5)lg 10=1. (　 ) (6)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　 ) ◆ 知识点二　指数式与对数式的关系 【诊断分析】 依据指数式与对数式的关系,=N(a>0且a≠1)正确吗? ◆ 探究点一　指数式与对数式 例1 (1)在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a>5或a<2 　B.2<a<5 C.2<a<3或3<a<5 　D.3<a<4 (2)将下列指数式与对数式互化: ①log416=2;②lo9=-2;③lox=3;④44=256;⑤2-3=. 变式 (多选题)[2024·江西抚州金溪一中高一期中] 下列指数式与对数式的互化正确的是 (　 ) A.e0=1与ln 1=0 B.=与log27=- C.log24=2与=2 D.log55=1与51=5 ◆ 探究点二　利用指数式与对数式的关系求值 例2 求下列各式中x的值: (1)logx3=; (2)log64x=-; (3)lo(2x2-4x+1)=1. 变式 (1)若log27x=-,则x=　　　　;  (2)若logx16=-4,则x=　　　　;  (3)若lg =x,则x=　　　　.  [素养小结] 利用指数式与对数式的关系求值时,关键是先根据对数的定义将对数式改为指数式,再利用指数运算得出相应的值. ◆ 探究点三　利用对数性质与对数恒等式求值 例3 求下列各式的值: (1)log464=　　　　;(2)log530=　　　　;  (3)lg 0.01=　　　　;(4)log1212=　　　　;  (5)=　　　　.  变式 (1)①若=x,则x=　　　　.   ②若log3[log4(log5x)]=0,则x=　　　　.  (2)计算:①=　　　　.  ②=　　　　.   [素养小结] 利用对数的性质及恒等式求值时,关键是熟悉性质,如有多重对数式的求值应先由内到外或由外到内逐步脱去“log”后再求解,而对于不能直接利用对数恒等式=N的首先要借助指数幂的运算性质,将其变形为能直接运用对数恒等式的情况求值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章　对数运算与对数函数 §1　对数的概念 【课前预习】 知识点一 1.ab=N　对数　logaN=b　真数　 2.常用对数　自然对数 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 知识点二 诊断分析 解:正确.若ab=N①,则b=logaN②,将②代入①得=N. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　[解析] 由题意得解得2<a<3或3<a<5.故选C. (2)解:①log416=2,化为指数式是42=16. ②lo9=-2,化为指数式是=9. ③lox=3,化为指数式是()3=x. ④44=256,化为对数式是log4256=4. ⑤2-3=,化为对数式是log2=-3. 变式　ABD　[解析] 根据指数式与对数式的互化公式ab=N⇔logaN=b(a>0且a≠1)可知,A,B,D正确;对于C,log24=2化为指数式是22=4,故C错误.故选ABD. 探究点二 例2　解:(1)由logx3=,得=3,所以x=9. (2)由log64x=-,得x==(43=4-2=,所以x=. (3)由lo(2x2-4x+1)=1,得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.当x=1时,x2-2=-1<0,舍去; 当x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意. 综上,x=3. 变式　(1)　(2)　(3)-3　[解析] (1)因为log27x=-,所以x=2=(33=3-2=. (2)因为logx16=-4,所以x-4=16,即x-4=24. 所以=24,又x>0,且x≠1,所以=2,即x=. (3)因为lg =x,所以10x=10-3,所以x=-3. 探究点三 例3　(1)3　(2)0　(3)-2　(4)1　(5)　[解析] (1)设log464=x,则4x=64=43,得x=3,即log464=3. (2)log530=log51=0. (3)设lg 0.01=y,则10y=0.01=10-2,得y=-2,即lg 0.01=-2. (4)设log1212=z,则12z=12,得z=1,即log1212=1. (5)==. 变式　(1)①2　②625　(2)①4　②　[解析] (1)①x==2. ②∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=30=1,∴log5x=4,∴x=54=625. (2)①=(==4. ②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=. 学科网（北京）股份有限公司 $