4.1 对数的概念(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、常用对数与自然对数及基本性质，通过细胞分裂情境导入，从指数运算中“已知底数和幂求指数”的问题出发，搭建从指数到对数的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过典例研析（如对数式有意义的判断、指数对数互化）发展数学思维，结合自我诊断和跟踪训练强化数学语言表达。采用分层训练和通性通法总结，助力学生理解概念，教师可高效开展教学。

§1　对数的概念 第四章　对数运算与对数函数 1 课标要求 理解对数的概念，理解常用对数与自然对数（数学抽象）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推， 1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞 个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？ 【问题】　结合该细胞分裂，尝试归纳这类已知底数和幂求指数的运 算特征. 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　对数的概念 1. 对数的概念 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b 称为以 为底 的对数，记作 ，其中 ⁠叫作对 数的底数， 叫作真数. 2. 常用对数与自然对数 a　 N　 logaN＝b　 a　 N　 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 对数的基本性质 （1）负数和0 对数； （2）loga1＝ （a＞0，且a≠1）； （3）logaa＝ （a＞0，且a≠1）； （4） ＝ ⁠. 没有　 0　 1　 N　 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且 a≠1）： ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； ②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【想一想】 1. 式子logmN中，底数m的范围是什么？ 提示：m＞0且m≠1. 2. 对数概念中为什么规定a＞0，且a≠1呢？ 提示：（1）若a＜0，则当N为某些值时，x的值不存在.如：x＝log（－2） 8不存在. （2）若a＝0，则 ①当N≠0时，x的值不存在.如：log03（可理解为0的多少次幂是3）不 存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）若a＝1，则 ①当N≠1时，x的值不存在.如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值. 因此规定a＞0，且a≠1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）因为（－2）2＝4，所以2＝log（－2）4. （　×　） （2）logaN是loga与N的乘积. （　×　） （3）使对数log2（－2a＋1）有意义的a的取值范围是 . （　√　） （4）对数的运算实质是求幂指数. （　√　） × × √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若logx ＝z，则x，y，z之间满足（　　） A. y7＝xz B. y＝x7z C. y＝7xz D. y＝z7x 解析：　由题意得 ＝xz，∴y＝（xz）7＝x7z. 3. 若log2x＝2，则x＝ ⁠. 4　 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 13 题型一　对数的概念 若对数式log（t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. （2，3）∪（3，＋∞） C. （－∞，2） D. （2，＋∞） 解析：　要使对数式log（t－2）3有意义，需 解得t＞2，且 t≠3.所以实数t的取值范围是（2，3）∪（3，＋∞）. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 对数式有意义的判断问题 　　利用式子logab⇒ 求字母的范围. 数学·必修第一册（BSD） 目录 使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（　　） A. a＞ 且a≠1 B. 0＜a＜ C. a＞0且a≠1 D. a＜ 解析：　由对数的概念可知使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足 解得0＜a＜ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　指数式与对数式的互化 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）3－2＝ ； 解：因为3－2＝ ，所以log3 ＝－2. （2）（ ）－2＝16； 解：因为（ ）－2＝16，所以lo 16＝－2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）lo 27＝－3； 解：因为lo 27＝－3，所以（ ）－3＝27. （4）lo 64＝－6. 解：因为lo 64＝－6，所以（ ）－6＝64. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 指数式与对数式互化的方法 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数 不变，写出对数式； （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数 不变，写出指数式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的是（　　） A. e0＝1与ln 1＝0 B. ＝ 与log8 ＝－ C. log39＝2与 ＝3 D. log77＝1与71＝7 解析：A选项，e0＝1⇔ ln 1＝0，正确.B选项， ＝ ⇔ log8 ＝－ ，正确.C选项，log39＝2⇔ 32＝9，C错误.D选项，log77＝1⇔ 71＝7，正确.故选A、B、D. √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　对数的计算 （1）求下列各式的值： ①log981＝ ；②log0.41＝ ；③ln e2＝ ；④10lg 5＝ ⁠； ⑤ ＝ ⁠. 解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2. ②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0. ③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. ④10lg 5＝5. ⑤ ＝51× ＝5×8＝40. 2　 0　 2　 5　 40　 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）求下列各式中x的值. ①log64x＝－ ； ②logx8＝6； ③lg 100＝x. 解：①由log64x＝－ ，得x＝6 ＝ ＝4－2＝ . ②由logx8＝6，得x6＝8，又x＞0且x≠1，即x＝ ＝ ＝ . ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 求对数式logaN的值的步骤 （1）设logaN＝m； （2）将logaN＝m写成指数式am＝N； （3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 求下列各式的值： （1）log28；（2）log9 ；（3）lo （2－ ）. 解：（1）设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3. （2）设log9 ＝x，则9x＝ ＝9－1，∴x＝－1.∴log9 ＝－1. （3）设lo （2－ ）＝x. 则（2＋ ）x＝2－ ＝ ＝（2＋ ）－1.∴x＝－1.∴lo （2－ ）＝－1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值： （1）log2x＝－ ；（2）logx25＝2； （3）log5x2＝2；（4）2log3x＝4. 解：（1）由log2x＝－ ，得 ＝x，∴x＝ . （2）由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. （3）由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. ∵52＝25＞0，（－5）2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5. （4）由2log3x＝4＝2×2，得log3x＝2，∴x＝32＝9. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型四　对数基本性质的应用 求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）＝0； 解：∵log2（log5x）＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. （2）log3（lg x）＝1； 解：∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. （3）log3[log4（log5x）]＝0. 解：由log3[log4（log5x）]＝0可得log4（log5x）＝1，故log5x＝4，∴x＝ 54＝625. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 1. （变条件）本例（3）中若将“log3[log4（log5x）]＝0”改为 “log3[log4（log5x）]＝1”，又如何求解x呢？ 解：由log3[log4（log5x）]＝1可得log4（log5x）＝3，则log5x＝43＝64， 所以x＝564. 2. （变条件）本例（3）中若将“log3[log4（log5x）]＝0”改为 “ ＝1”，又如何求解x呢？ 解：由 ＝1可得log4（log5x）＝1，故log5x＝4，所以x＝ 54＝625. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用对数性质求解的2类问题的解法 （1）求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的 值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值； （2）已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后 再求解. 数学·必修第一册（BSD） 目录 求下列各式中x的值： （1）log8[log7（log2x）]＝0； 解：由log8[log7（log2x）]＝0，得log7（log2x）＝1，即log2x＝7，∴x＝ 27. （2）log2[log3（log2x）]＝1. 解：由log2[log3（log2x）]＝1，得log3（log2x）＝2，∴log2x＝9，∴x＝ 29. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 若7x＝8，则x＝（　　） A. B. log87 C. log78 D. log7x 解析：　由7x＝8⇔x＝log78.故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，2）∪（5，＋∞） B. （2，5） C. （2，3）∪（3，5） D. （3，4） 解析：　由对数的定义知 解得2＜a＜3或3＜a＜5. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知logx16＝2，则x＝ ⁠. 解析：logx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x＞0且 x≠1，所以x＝4. 4. 计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝ ⁠. 解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 4　 0　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 33 1. 有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 其中正确说法的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　①③④正确，②不正确，只有a＞0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若2a＝4，则loga 的值是（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 解析：∵2a＝4＝22，∴a＝2，∴loga ＝log2 ，令log2 ＝x，则2x＝ ＝2－1，∴x＝－1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（　　） A. －3 B. 3 C. －1或3 D. 1或－3 解析：　由lg（x2－1）＝lg（2x＋2），得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3 ＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝ 3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知－ln e2＝x，则x＝（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析：　因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是（　　） A. 15 B. 75 C. 45 D. 225 解析：　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝ （am）2·an＝32×5＝45. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　） A. a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1） B. lo 3＝2与（ ）2＝3 C. 2 ＝ 与lo 27＝－3 D. log2 ＝ 与 ＝ 解析：2 ＝ 化为指数式为log27 ＝－ ，故C错误，A、B、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. －（ ＋lg ＋（ －1）lg 1＝ ⁠. 解析：原式＝ －［（ ）3 ＋lg 10－2＋（ －1）0＝ － －2＋1＝ －3. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 已知log3[log3（log4x）]＝0，则x＝ ⁠. 解析：log3[log3（log4x）]＝0⇒log3（log4x）＝1⇒log4x＝3⇒x＝43⇒x＝ 64. 64　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知log（x＋1）（2x2－2）＝2，则x的值为 ⁠. 解析：由log（x＋1）（2x2－2）＝2，得 解得x ＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 求下列各式中的x的值： （1）logx27＝ ； 解：由logx27＝ ，得 ＝27，∴x＝2 ＝32＝9. （2）log2x＝－ ； 解：由log2x＝－ ，得 ＝x， ∴x＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）x＝log27 ； 解：由x＝log27 ，得27x＝ ， 即33x＝3－2，则3x＝－2， ∴x＝－ . （4）设a＝log32，x＝ . 解：∵a＝log32，∴3a＝2， ∴x＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. ＝（　　） A. 6 B. C. 8 D. 解析：　 ＝ · ＝2×4＝8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕下列各式中正确的有（　　） A. lg（lg 10）＝0 B. lg（ln e）＝0 C. 若10＝lg x，则x＝100 D. 若log25x＝ ，则x＝±5 解析：对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg（lg 10）＝lg 1＝0，故A正确；对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg（ln e）＝lg 1＝0，故B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；对于D，因为log25x＝ ，所以2 ＝x，所以x＝5，故D错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 若x满足（log2x）2－2log2x－3＝0，则x＝ ⁠. 解析：设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1， 所以log2x＝3或log2x＝－1，所以x＝23＝8或x＝2－1＝ . 8或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 若lo x＝m，lo y＝m＋2，求 的值. 解：因为lo x＝m， 所以 ＝x，x2＝ . 因为lo y＝m＋2，所以 ＝y，y＝ . 所以 ＝ ＝ ＝ ＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $