第3章 指数运算与指数函数 章末整合提升〔含真题体验〕(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦指数函数模块，系统梳理指数幂运算、条件求值、函数最值等基础运算，衔接指数函数图象识别、性质判断及比较大小、解不等式等应用，结合高考真题构建从基础到综合的学习支架。 该资料以数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养为导向，通过指数幂化简、条件求值等例题强化运算能力，借助函数图象识别培养直观想象，利用性质应用与比较大小深化逻辑推理。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

一、数学运算 　　数学运算核心素养在本章中主要体现在指数幂的运算、幂的运算及函数求值（最值）等问题中. 培优一　指数与指数幂的运算 （1）化简：1－－－＋（－）0＝　－　； 解析： 1－－－＋（－）0＝1－－－＋1＝1－－2＋－＋1＝－. （2）已知a＝－，b＝，则÷＝　　. 解析：原式＝÷ ＝× ＝＝＝. 由题意得，＝－，∴＝. 培优二　条件求值问题 已知2x＋2－x＝a（常数），求8x＋8－x的值. 解：8x＋8－x＝（2x）3＋（2－x）3＝（2x＋2－x）·[（2x）2－2x·2－x＋（2－x）2]＝（2x＋2－x）[（2x＋2－x）2－3]＝a（a2－3）. 培优三　与指数函数有关的最值问题 已知函数y＝4x－2x＋1＋5的定义域为[－1，3]. （1）求函数在[－1，3]的单调区间； 解：由题意得，y＝4x－2x＋1＋5＝（2x）2－2×2x＋5. （1）令t＝2x，故y＝t2－2t＋5，对称轴为t＝1， 由于－1≤x≤3，所以t∈，根据复合函数单调性可知，函数y＝（2x）2－2×2x＋5在t∈，即x∈[－1，0）上单调递减，在t∈[1，8]，即x∈[0，3]上单调递增. （2）求函数在[－1，3]的最大值和最小值. 解：由（1）知，当x＝0时，函数y＝（2x）2－2×2x＋5有最小值为4；当x＝－1时，y＝；当x＝3时，y＝53.所以函数y＝（2x）2－2×2x＋5的最大值为53. 二、直观想象 　　直观想象核心素养在本章中主要体现在指数函数图象的识别与应用问题中. 培优四　指数函数的图象及应用 （1）函数y＝ 的图象大致为（　A　） 解析：函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减，排除B.故选A. （2）若函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝a－x＋b的图象可能是（　C　） 解析：根据函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象知a＞1，－1＜b＜0，g（x）＝a－x＋b＝＋b，根据函数平移变换知选项C满足条件，故选C. （3）已知f（x）＝｜3x－1｜＋1，若关于x的方程[f（x）]2－（2＋a）f（x）＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是（　A　） A.1＜a＜2　 B.a＞2　 C.2＜a＜3　 D.a＞1 解析：由题得[f（x）－2]·[f（x）－a]＝0，所以f（x）＝2或f（x）＝a，所以｜3x－1｜＋1＝2或｜3x－1｜＋1＝a，所以｜3x－1｜＝1或｜3x－1｜＝a－1，｜3x－1｜＝1有一个根，所以方程｜3x－1｜＝a－1有两个不同的实根，函数y＝｜3x－1｜的图象如图所示，所以0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.故选A. 三、逻辑推理 　　逻辑推理核心素养在本章中主要体现在性质的判断及应用、比较大小和不等式的求解等问题中. 培优五　指数函数的性质及应用 （1）已知函数f（x）＝3x－，则f（x）（　A　） A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数 解析：因为f（x）＝3x－，且定义域为R， 所以f（－x）＝3－x－＝－3x＝－＝－f（x），即函数f（x）是奇函数. 又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f（x）＝3x－在R上是增函数. （2）已知x∈（1，2），a＝，b＝（2x）2，c＝，则a，b，c的大小关系为（　B　） A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.c＞a＞b 解析：因为a＝，b＝（2x）2＝，c＝，所以只需比较x2，2x，2x在x∈（1，2）时的大小即可.令y1＝x2，y2＝2x，y3＝2x，在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在（1，2）上的图象，如图所示，由图可知，当x∈（1，2）时，2x＞2x＞x2.又函数f（t）＝2t在R上是增函数，所以＞＞，即b＞c＞a. 培优六　解不等式 已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，＋∞） 解析：D　函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象（图略），结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞），故选D. 1.（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：A　函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. 2.（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） 解析：D　设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. 3.〔一题多解〕（2021·新高考Ⅰ卷13题）已知函数f（x）＝x3（a·2x－2－x）是偶函数，则a＝　1　. 解析：法一（通解）　因为f（x）＝x3（a·2x－2－x）的定义域为R，且是偶函数，所以f（－x）＝f（x）对任意的x∈R恒成立，所以（－x）3（a·2－x－2x）＝x3（a·2x－2－x）对任意的x∈R恒成立，所以x3（a－1）（2x＋2－x）＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 法二（优解）　因为f（x）＝x3（a·2x－2－x）的定义域为R，且是偶函数，所以f（－1）＝f（1），所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f（x）＝x3（2x－2－x）为偶函数，所以a＝1. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $