2.4.2 简单幂函数的图象和性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦简单幂函数的图象和性质，从商品价格与需求量的实例引入，系统讲解幂函数概念，通过五个常见幂函数（y=x, y=x², y=x³, y=x⁻¹, y=x^(1/2)）的图象对比与性质表格归纳，构建从概念到应用的学习支架。 资料以实例驱动概念生成，通过图象观察与性质归纳培养直观想象和逻辑推理素养。课中教师可利用实例和表格引导学生探究，课后学生通过题型训练（如比较幂值大小、解不等式）巩固知识，拓展对勾函数内容助力查漏补缺。

4.2　简单幂函数的图象和性质 课标 要求 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式（数学抽象、直观想象、逻辑推理）. 　　经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 　　根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38. 【问题】　（1）这是一类怎样的函数？ （2）这类函数有什么一般性质？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　幂函数的概念 一般地，形如　y＝xα　（α为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 提醒：幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项. 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1.五个常见幂函数的图象 2.五个常见幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 图象 定义域 R R R {x｜x≠0} [0，＋∞） 值域 R [0，＋∞） R {y｜y≠0} [0，＋∞） 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 奇偶性 奇函数 偶　函数 奇　函数 奇　函数 非奇非偶　函数 单调性 在（－∞，＋∞）上单调 　递增　 在（－∞，0]上单调　递减　，在（0，＋∞）上单调　递增　 在（－∞， ＋∞）上单调　递增　 在（－∞，0）上单调　递减　，在（0，＋∞）上单调　递减　 在[0，＋∞）上 单调　递增　 公共点 都经过点　（1，1）　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）幂函数的图象必过点（1，1）.（　√　） （2）幂函数的图象都不过第二、四象限.（　×　） （3）当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数.（　√　） （4）若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大.（　×　） 2.下列函数中是幂函数的有（　　） A.y＝ B.y＝2x2 C.y＝x2＋x D.y＝1 解析：A　因为y＝＝，所以A项是幂函数；y＝2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；y＝1≠x0，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点（0，1），所以D项不是幂函数. 3.若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝（　　） A. B. C.3 D.9 解析：B　设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点（2，），则2α＝，解得α＝.∴f（x）＝＝，∴f（3）＝.故选B. 4.已知f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，则m＝　0　. 解析：∵函数f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，∴m＋1＝1，即m＝0. 题型一　幂函数的概念 （1）在函数y＝x－2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（　　） A.0　　　 　B.1 C.2　　　　 D.3 解析：B　根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. （2）已知y＝（m2＋2m－2）＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解：由题意得 解得或 所以m＝－3或m＝1，n＝. 通性通法 判断一个函数是否为幂函数的方法 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1. 若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）＝4，则f（－4）＝　16　. 解析：设f（x）＝xα，∵f（2）＝4，∴2α＝4，解得α＝2，∴f（x）＝x2，∴f（－4）＝（－4）2＝16. 题型二　幂函数的图象及应用 点（，2）与点（－2，－）分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问当x为何值时，有： （1）f（x）＞g（x）；（2）f（x）＝g（x）；（3）f（x）＜g（x）. 解：设f（x）＝xα，g（x）＝xβ. ∵（）α＝2，（－2）β＝－，∴α＝2，β＝－1， ∴f（x）＝x2，g（x）＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示. 由图象知， （1）当x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时，f（x）＞g（x）； （2）当x＝1时，f（x）＝g（x）； （3）当x∈（0，1）时，f（x）＜g（x）. 通性通法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）； （2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝或y＝x3）来判断. 　〔一题多解〕如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为（　　） A.2，，－，－2 B.－2，－，，2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 解析：A　法一　曲线C1，C2过点（0，0），（1，1），且在第一象限内单调递增，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝.C3，C4过点（1，1），且在第一象限内单调递减，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝，C4对应y＝x－2. 法二　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2. 题型三　幂函数的性质及应用 角度1　比较幂值的大小 试比较下列各组数的大小： （1）1.13，0.893； 解：因为函数y＝x3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893. （2）2.，，1.； 解：因为函数y＝在区间[0，＋∞）上是增函数，又2.1＞2＞1.8，所以2.＞＞1.. （3），1，； 解：因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1＝11.3，＜1，所以＜11.3＝1. 因为函数y＝在区间[0，＋∞）上单调递增，又＝1，3＞1，所以＞＝1.于是＜1＜. （4），. 解：＝＝， 因为幂函数y＝在[0，＋∞）上单调递增，又2＜，所以＜，即＜. 通性通法 比较幂值大小的2种方法 角度2　解简单不等式 若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是　（2，＋∞）　. 解析：设幂函数为f（x）＝xα，因为其图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以f（x）＝x3.因为f（x）＝x3在R上为增函数，所以由f（a－3）＞f（1－a），得a－3＞1－a，解得a＞2.所以满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是（2，＋∞）. 通性通法 利用幂函数的性质解不等式的步骤 （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 1.把下列各数按由小到大的顺序排列：，（ ，（ －）3，（ . 解：（ －）3＜0，0＜（ ＜1，＞1，（ ＞1，而函数y＝在区间（0，＋∞）上单调递增，所以＞（ ，所以把所给各数按由小到大的顺序排列为（ －）3＜（ ＜（ ＜. 2.已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）的图象关于原点对称，求满足（a＋1）m＞（3－2a）m的实数a的取值范围. 解：因为函数f（x）＝（m2－3m＋3）是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2. 当m＝1时，f（x）＝x2，是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意； 当m＝2时，f（x）＝x3，是奇函数，其图象关于原点对称，符合题意，所以m＝2， 不等式（a＋1）m＞（3－2a）m即（a＋1）2＞（3－2a）2， 解得＜a＜4，所以实数a的取值范围为. 1.在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x中，幂函数的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：B　函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数. 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　　） A.y＝x－2 B.y＝x－1 C.y＝x2 D.y＝ 解析：A　所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意.故选A. 3.若a＝（－1.2，b＝1.，c＝0.，它们的大小关系是（　　） A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a 解析：D　a＝（－1.2＝1.，又＞0，∴y＝在（0，＋∞）上单调递增，∴1.＞1.＞0.，即a＞b＞c. 4.若幂函数y＝（2a2＋a）xa在（0，＋∞）上单调递减，则a＝　－1　. 解析：由幂函数的定义得2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝.当a＝时，y＝在（0，＋∞）上单调递增，与已知不符，舍去；当a＝－1时，y＝x－1在（0，＋∞）上单调递减，与已知相符，综上所述，a＝－1. 　对勾函数的图象和性质 　　 　学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f（x）＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图. 参考幂函数的性质，探究函数f（x）＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质. 解：（1）定义域：∵x≠0， ∴函数f（x）＝x＋的定义域为{x｜x≠0}； （2）函数f（x）＝x＋的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）； （3）奇偶性：∵f（－x）＝－x－＝－（x＋）＝－f（x）， ∴函数f（x）＝x＋为奇函数； （4）单调性：由函数f（x）＝x＋的图象可知， 函数f（x）＝x＋在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，0），（0，1）上单调递减. 【迁移应用】 　试探究函数f（x）＝x＋（a＜0）的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图. 解：（1）定义域：{x｜x≠0}； （2）值域：R； （3）奇偶性：奇函数； （4）函数f（x）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增. 证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋） ＝（x1－x2）（1－）， 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0， 又a＜0，所以1－＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增； 同理可证，函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增. 其简图如图所示. 1.下列函数为幂函数的是（　　） A.y＝2x4 B.y＝2x3－1 C.y＝ D.y＝x2 解析：D　结合幂函数的特征可知D正确.故选D. 2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　） A.R B.（－∞，） C.［，＋∞） D.（，＋∞） 解析：D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈（，＋∞），故选D. 3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　） A.－1 B.1 C.2 D.3 解析：A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　） A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 解析：A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0. 5.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（　　） A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：CD　A.f（x）＝x2为偶函数，排除；B.f（x）＝x，值域为R，排除；C.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足；D.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足.故选C、D. 6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（　　） A.m＝1 B.f（x）的定义域为R C.f（－x）＝－f（x） D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象 解析：BC　由幂函数的定义可知m－2＝1，所以m＝3，所以f（x）＝x3，A错误；由f（x）＝x3可知其定义域为R，B正确；f（x）＝x3为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），C正确；将f（x）＝x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）3的图象，D错误. 7.幂函数y＝的定义域为　（－∞，＋∞）　；其是　偶　函数（填“奇”或“偶”）. 解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数. 8.若x3＜，则x的取值范围是　（0，1）　. 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x3和y＝的图象，如图所示.由图知，若x3＜，则0＜x＜1. 9.若幂函数y＝（m2－2m－2）x－4m－2在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值是　3　. 解析：由题意可知m2－2m－2＝1，得m＝3或m＝－1.当m＝3时，－4m－2＝－14，幂函数y＝x－14在（0，＋∞）上单调递减，满足题意；当m＝－1时，－4m－2＝2，幂函数y＝x2在（0，＋∞）上单调递增，不满足题意，所以m＝－1舍去.故m＝3. 10.比较下列各组数的大小： （1）（－2）－3，（－2.5）－3； （2）（，（，（； （3）4.，3.，（－1.9. 解：（1）因为幂函数y＝x－3在（－∞，0）上单调递减，且－2＞－2.5， 所以（－2）－3＜（－2.5）－3. （2）因为幂函数y＝在[0，＋∞）上单调递增，（＝（，（＝（，且＜＜， 所以（＜（＜（. （3）因为幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增， 所以4.＞1.＞（， 又（1.9＝（－1.9， 所以4.＞（－1.9＞3.. 11.已知f（x）＝（m2＋m－5）xm为幂函数，则（　　） A.f（x）在（－∞，0）上单调递增 B.f（x）在（－∞，0）上单调递减 C.f（x）在（0，＋∞）上单调递增 D.f（x）在（0，＋∞）上单调递减 解析：B　因为f（x）＝（m2＋m－5）xm是幂函数，所以m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3，所以f（x）＝x2或f（x）＝x－3，对于f（x）＝x2，函数在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减；对于f（x）＝x－3，函数在（0，＋∞）上单调递减，且为奇函数，故在（－∞，0）上单调递减.只有B选项“f（x）在（－∞，0）上单调递减”符合这两个函数的性质.故选B. 12.〔多选〕下列不等式在a＜b＜0的条件下成立的是（　　） A.a－1＞b－1 B.＜ C.b2＜a2 D.＞ 解析：ABC　分别构造函数y＝x－1，y＝，y＝x2，y＝，其中函数y＝x－1，y＝x2在（－∞，0）上单调递减，而y＝，y＝在（－∞，0）上单调递增，故D不成立，其余都成立.故选A、B、C. 13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝　1　. 解析：由题意知AB＝（m2）a－（m2）b，CD＝ma－mb.根据题图可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，ma＞mb.因为AB＝CD，所以m2a－m2b＝（ma＋mb）（ma－mb）＝ma－mb.因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 14.已知幂函数f（x）＝（m∈N＋）. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 解：（1）∵m∈N＋，∴m2＋m＝m（m＋1）为偶数. 令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f（x）＝， ∴f（x）的定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数. （2）由题意可得＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去）， ∴f（x）＝， 由（1）知f（x）在[0，＋∞）上是增函数， ∴f（2－a）＞f（a－1）等价于2－a＞a－1≥0，解得1≤a＜，故实数a的取值范围为［1，）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $