2.4.1 第2课时 奇偶性的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦函数奇偶性的应用这一核心知识点，系统梳理从奇偶性定义到求解析式（定义法、方程组法）、比较大小、解不等式的应用脉络，构建“定义理解—方法总结—综合应用”的学习支架。 该资料通过母题变式探究（如奇函数改偶函数）、通性通法提炼（3步骤求解析式）、一题多解（如求f(2)的两种方法），以具体实例培养逻辑推理与数学运算核心素养。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同题型，帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第二课时　奇偶性的应用 课标 要求 1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式（逻辑推理）. 2.能利用函数的奇偶性与单调性，解决较简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）. 题型一　利用函数的奇偶性求解析式（值） 角度1　定义法求函数解析式 已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1. （1）求f（－1）； 解：因为函数f（x）为奇函数， 所以f（－1）＝－f（1）＝－（－2×12＋3×1＋1）＝－2. （2）求f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f（x）是奇函数，则f（x）＝－f（－x）， 所以f（x）＝2x2＋3x－1. 当x＝0时，f（－0）＝－f（0），则f（0）＝－f（0），即f（0）＝0. 所以f（x）的解析式为f（x）＝ 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇”改为“偶”，“x＞0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，此时f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）＝－2x2－3x＋1， 所以f（x）的解析式为f（x）＝ 通性通法 利用函数奇偶性定义求函数解析式的3个步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（－x）或f（－x），从而解出f（x）. 角度2　方程组法求函数解析式 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式. 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）， 由f（x）＋g（x）＝，　① 用－x代替x，得f（－x）＋g（－x）＝， ∴f（x）－g（x）＝，　② （①＋②）÷2，得f（x）＝； （①－②）÷2，得g（x）＝. 通性通法 　　已知函数f（x），g（x）组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解. 1.〔一题多解〕已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝（　　） A.－26 B.－18 C.－10 D.10 解析：A　法一　令g（x）＝x5＋ax3＋bx，易知g（x）是R上的奇函数，从而g（－2）＝－g（2），又f（x）＝g（x）－8，∴f（－2）＝g（－2）－8＝10，∴g（－2）＝18，∴g（2）＝－g（－2）＝－18，∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26. 法二　由已知条件，得 ①＋②得f（2）＋f（－2）＝－16.又f（－2）＝10，∴f（2）＝－26. 2.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2，求f（x）和g（x）的表达式. 解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数， ∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）， 由f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2，　① 用－x代替上式中的x，得 f（－x）＋2g（－x）＝2（－x）2＋（－x）－2， 即－f（x）＋2g（x）＝2x2－x－2，　② ①②联立，得f（x）＝x，g（x）＝x2－1. 题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　） A.f（π）＞f（－3）＞f（－2） B.f（π）＞f（－2）＞f（－3） C.f（π）＜f（－3）＜f（－2） D.f（π）＜f（－2）＜f（－3） 解析：A　因为函数f（x）为R上的偶函数，所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f（2）.又当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，且π＞3＞2，所以f（π）＞f（3）＞f（2），故f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 通性通法 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 　已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（1），f（2）的大小关系是（　　） A.f（－0.5）＜f（2）＜f（1） B.f（－0.5）＜f（1）＜f（2） C.f（2）＜f（－0.5）＜f（1） D.f（1）＜f（2）＜f（－0.5） 解析：B　∵函数f（x）为奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在R上为增函数，∴f（－0.5）＜f（1）＜f（2）. 题型三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围. 解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f（x）在区间[－2，2]上是减函数. 又f（1－m）＜f（m），所以 即解得－1≤m＜. 故实数m的取值范围是［－1，）. 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜）， 故可得即 解得＜m≤2.故实数m的取值范围为（，2］. 通性通法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤 （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0＝f（1），f（x－1）＜0，则f（x－1）＜f（1）.注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f（｜x｜）的灵活运用. 　已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1，1），且在[0，1）上单调递增.若f（a－2）＋f（3－2a）＜0，试求a的取值范围. 解：∵f（a－2）＋f（3－2a）＜0， ∴f（a－2）＜－f（3－2a）. ∵f（x）为奇函数， ∴－f（3－2a）＝f（2a－3）， ∴f（a－2）＜f（2a－3）. ∵f（x）在[0，1）上单调递增， ∴f（x）在（－1，1）上为增函数， ∴解得1＜a＜2. 故实数a的取值范围为（1，2）. 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝－x2＋1 C.f（x）＝ D.f（x）＝｜x｜－1 解析：D　A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在（0，＋∞）上单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增. 2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（　　） A.f（－x1）＞f（－x2） B.f（－x1）＝f（－x2） C.f（－x1）＜f（－x2） D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定 解析：A　∵x1＜0，x1＋x2＞0，∴x2＞－x1＞0，又f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（x2）＜f（－x1），∵f（x）是偶函数，∴f（－x2）＝f（x2）＜f（－x1）. 3.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f（b），则一定可得（　C　） A.a＜b B.a＞b C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0 4.已知f（x）＝是奇函数，则f（g（－3））＝　－33　. 解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33. 5.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x－x2.则当x＜0时，f（x）＝　2x＋x2　. 解析：当x＜0时，－x＞0，于是f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－x2）＝2x＋x2，即f（x）＝2x＋x2（x＜0）. 1.设函数f（x）＝且f（x）为偶函数，则g（－2）＝（　　） A.6 B.－6 C.2 D.－2 解析：A　g（－2）＝f（－2）＝f（2）＝22＋2＝6. 2.如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1，3]上（　　） A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5 C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5 解析：A　f（x）为奇函数，∴f（x）在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f（1）为最小值，又已知f（－1）＝5，∴f（－1）＝－f（1）＝5，∴f（1）＝－5，故选A. 3.已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上单调递减，若f（a）≥f（－2），则a的取值范围是（　　） A.a≤－2 B.a≥2 C.a≤－2或a≥2 D.－2≤a≤2 解析：D　由f（a）≥f（－2）得f（｜a｜）≥f（2），∴｜a｜≤2，∴－2≤a≤2. 4.已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则下列结论正确的是（　　） A.f（3）＜f（－1）＜f（2） B.f（3）＜f（2）＜f（－1） C.f（－1）＜f（2）＜f（3） D.f（2）＜f（－1）＜f（3） 解析：B　因为f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，0]上也单调递减，所以f（x）在R上为减函数，因为－1＜2＜3，所以f（3）＜f（2）＜f（－1）. 5.〔多选〕已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有（　　） A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C. 6.〔多选〕已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　） A.a＝2 B.f（2）＝2 C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12 解析：ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D. 7.已知函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝　－1　. 解析：根据题意，函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠0}，且为奇函数，则有f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，变形整理得2（a＋1）＝0，解得a＝－1. 8.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，则f（x）＝　x2－2　，g（x）＝　x　. 解析：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x. 9.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是　f（－2）＜f（1）＜f（0）　. 解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），又∵f（x）＝－x2＋2为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.即f（－2）＜f（1）＜f（0）. 10.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3. （1）试求f（x）在R上的解析式； （2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 解：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称， 所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0. 设x＜0，则－x＞0， 因为当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3. 所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3. 于是有f（x）＝ （2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图. 由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1，0），（0，1）. 11.〔一题多解〕若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（　　） A.最大值－ B.最大值 C.最小值－ D.最小值 解析：B　法一（奇函数的图象特征）　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值. 法二（直接法）　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－＋，所以f（x）有最大值.故选B. 12.设f（x）为偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，f（－2）＝0，则xf（x）＜0的解集为（　　） A.（－1，0）∪（2，＋∞） B.（－∞，－2）∪（0，2） C.（－2，0）∪（2，＋∞） D.（－2，0）∪（0，2） 解析：C　根据题意，偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－2）＝0，则函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝0，作出函数f（x）的草图如图所示，又由xf（x）＜0，可得或由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为（－2，0）∪（2，＋∞）.故选C. 13.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）＞0的解集为　（－∞，－2）∪（2，＋∞）　，f（x－1）＞0的解集是　（－∞，－1）∪（3，＋∞）　. 解析：当x≥0时，f（x）＝x2－2x，令f（x）＝x2－2x＞0，得x＞2.又函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x＜0时，f（x）＞0的解集为（－∞，－2）.综上，可得f（x）＞0的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.若f（x－1）＞0，则x－1＜－2或x－1＞2，解得x＜－1或x＞3，即不等式f（x－1）＞0的解集是（－∞，－1）∪（3，＋∞）. 14.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有＞0成立. （1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明； （2）解不等式：f＜f. 解：（1）f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下： 任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]. ∵f（x）为奇函数， ∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）. 由已知得＞0，又x1－x2＜0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在[－1，1]上单调递增. （2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增， ∴∴－≤x＜－1. 故原不等式的解集为{x｜－≤x＜－1}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $