2.1 生活中的变量关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦生活中的变量关系核心知识点，基于初中函数认识，系统梳理依赖关系（变量变化另一个随之变化）、函数关系（自变量每值因变量唯一确定）与非依赖关系（变量变化另一个不受影响），搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合降雨量统计、体温变化等生活实例，通过观察分析现实情境培养数学抽象，借助气温变化图、口香糖黏附力表格等问题驱动培养数学建模。课中助力教师引导学生直观理解，课后练习题覆盖不同题型，帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§1　生活中的变量关系 课标 要求 1.能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别（数学抽象）. 2.通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力（数学建模）. 　　如图，这是我国2025年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位： mm）. 【问题】　（1）由上图中曲线可判断该地2025年的降雨量与时间具有依赖关系吗？ （2）由上图中曲线可判断该地2025年的降雨量与时间是函数关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　依赖关系和函数关系 1.依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系. 2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有　唯一确定　的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 知识点二　非依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系. 【想一想】 1.人的身高和年龄之间的关系是函数关系吗？ 提示：人的身高和年龄之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因为人的身高并不单纯由人的年龄而定，还受环境、饮食等条件的影响. 2.两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？ 提示：不一定.只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系. 1.一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.下面各图能反映出亮亮这一天（0～24时）体温的变化情况的是（　　） 解析：C　根据题意，可知C正确. 2.如图，这是某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题. （1）全天的最高气温是多少？在什么时刻达到？ （2）在什么时刻，气温为0 ℃？ （3）在哪段时间内，气温在0 ℃以上？ （4）变量Q是变量t的函数吗？ 解：（1）全天最高气温是9 ℃，在14时达到. （2）在0时、8时和22时，气温为0 ℃. （3）在8时到22时之间，气温在0 ℃以上. （4）由图象可知，对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数. 3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？ 解：在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在函数关系，理由为对于所加蔗糖的每一质量，都有唯一的糖水质量与之对应. 题型一　变量间关系的判断 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ （1）日期与天气情况； 解：中日期与天气情况之间无确定依赖关系，不是函数关系； （2）家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； 解：中家庭收入与其消费支出之间存在关系，但具有不确定性； （3）正三角形的面积和它的边长. 解：中正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系. 综上可知，（1）中两个变量间不存在依赖关系，（2）（3）中两个变量间存在依赖关系，其中（3）是函数关系. 通性通法 　　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应. 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ （1）将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； 解：冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； （2）家庭的食品支出与电视价格之间的关系； 解：家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系； （3）正方形的周长与边长之间的关系. 解：正方形的周长C与边长l之间存在C＝4l的关系. 综上可知，（1）（3）中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；（2）中两个变量间不存在依赖关系. 题型二　利用图象反映两个变量之间的关系 〔多选〕甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（　　） A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲同学从家到公园的时间是30 min C.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 解析：BD　在A中，甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k＝，D正确.故选B、D. 通性通法 1.结合图象分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图象中蕴含的数据信息，特别注意发现图象中的关键点，如图象与横轴、纵轴的交点，图象的最高点、最低点等. 2.由图象判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应. 有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y的关系图象如图，图中PQ为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（　　） 解析：C　开始水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快，最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是先逐渐变大，然后逐渐变小，最后面积不变，只有C相符.故选C. 题型三　利用表格反映两个变量之间的关系 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据： 　　次序 项目　　 1 2 3 4 5 6 7 8 温度（℃） 15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力（N） 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4 （1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象； 解： （2）根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的实验结论呢？ 解：实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 ℃时，口香糖的黏附力最大. 通性通法 　　对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量对应的数据，分析其变化情况，即可做出判断. 从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表： K数 含金量（％） 24K 99以上 22K 91.7 21K 87.5 18K 75 14K 58.5 12K 50 K数 含金量（％） 10K 41.66 9K 37.5 8K 33.34 6K 25 饰用K金的K数与含金量之间是 　函数　关系，K数越大含金量　越高　. 解析：通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高. 1.下列说法不正确的是（　　） A.圆的周长与其直径的比值是常量 B.任意四边形的内角和的度数是常量 C.发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系 D.某商品的广告费用与销售量之间是函数关系 解析：D　A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系. 2.下列两个变量具有依赖关系但不是函数关系的是（　　） A.正方体的体积与棱长 B.汽车匀速行驶时的路程与时间 C.举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 D.出租车费与行驶的里程 解析：C　正方体的体积与棱长是函数关系，故选项A不符合题意；汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故选项B不符合题意；举重运动员所能举起的最大重量与他的体重之间具有依赖关系，但不是函数关系，故选项C符合题意；出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故D不符合题意.故选C. 3.一人骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是（其中x轴表示时间，y轴表示路程）（　　 ） 解析：A　开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A. 4.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？ 解：坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在函数关系，因为对于任意给定的时间，电梯都有唯一的高度和它对应. 1.张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A.x，y之间有依赖关系 B.x，y之间有函数关系 C.y是x的函数 D.x是y的函数 解析：A　小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系.故选A. 2.一辆汽车在公路上正常行驶，其中有这样一些量：①行驶的速度v；②汽车的重量y；③车上乘坐的人数x；④行驶的时间t. 其中有函数对应关系的两个量是（　　） A.t与v B.x与v C.v与y D.x与t 解析：A　由题意，公路上行驶的汽车，每个行驶的时间t，都有唯一的速度v对应，所以两个变量“时间t”与“速度v”之间是函数关系.故选A. 3.如图，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数（有刻度），则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是（　　） A.9％　 　 B.23％ C.30％　 　D.36％ 解析：C　由图知，百分比＝×100％＝30％. 4.我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性.若将给定的HCl溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映HCl溶液的pH值与所加水的体积V的变化关系的图象是（　　） 解析：A　由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7. 5.〔多选〕下面选项中，变量y是变量x的函数的是（　　） A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP（国内生产总值） C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 解析：ABD　A、B、D均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误.故选A、B、D. 6.〔多选〕将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图象中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（　　） 解析：AC　对于A中，容器为圆柱形，水的高度的变化速度应为直线型，所以A正确；对于B中，容器下粗上细，水的高度的变化速度先慢后快，所以B不正确；对于C中，容器上粗下细，水的高度的变化速度应先快后慢，所以C正确；对于D中，容器下部为球形，水的高度的变化为快—慢—快，所以D不正确.故选A、C. 7.在国内投寄平信应付邮资如表： 信件质量x/克 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 邮资y/元 0.80 1.60 2.40 根据表格可知当信件的质量为50克时，应付邮资　2.40　元. 解析：由题表可知当质量x∈（40，60]时，应付邮资2.40元，结合50∈（40，60]可知，应付邮资2.40元. 8.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处. 年龄/岁 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压/mmHg 110 115 120 125 130 135 140 145 舒张压/mmHg 70 73 75 78 80 83 85 88 解析：每增长5岁，收缩压增加5 mmHg，舒张压每增长5岁按增长3，2，3，2，…的规律变化. 9.下列关系不是函数关系的是　②③　（填序号）. ①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系； ②某同学学习时间与其学习成绩的关系； ③人的睡眠质量与身体状况的关系. 解析：对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系. 10.如图所示的曲线表示一人骑自行车离家的距离s（单位：km）与时间t的关系.已知骑车者9：00离开家，15：00回家.根据曲线图，请回答下列问题. （1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）他在11：00～12：00骑了多少千米？ （5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ 解：（1）最初到达离家最远的地方的时间是12：00，离家30 km. （2）10：30开始第一次休息，休息了0.5 h. （3）第一次休息时，离家17 km. （4）他在11：00～12：00骑了13 km. （5）9：00～10：00的平均速度是10 km/h； 10：00～10：30的平均速度是14 km/h. 11.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额： ①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设一次性购买A，B两件商品，则应付款（　　） A.413.7元 B.513.7元 C.546.6元 D.548.7元 解析：C　由题意可知，购买A商品并没有优惠，实际支付为168元，购买B商品时，按商品标价的9折优惠，故为实际价格.∴（168＋－500）×0.7＋500×0.9＝546.6（元）. 12.〔多选〕某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（　　） A.当打车里程为8 km时，乘客选择甲方案更省钱 B.当打车里程为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C.打车里程在3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D.甲方案3 km内（含3 km）付费5元，打车里程大于3 km时每增加1 km费用增加0.7元 解析：ABC　对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8 km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；对于B，当打车里程为10 km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，打车里程在3 km以上时，甲方案每千米增加的费用为＝1（元），乙方案每千米增加的费用为＝（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由图可知，甲方案3 km内（含3 km）付费5元，3 km以上时，甲方案每千米增加的费用为1元，故D错误，故选A、B、C. 13.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有　①②④　（填序号）. ①这几年人民生活水平逐年提高；②人民生活消费增长最快的一年是2020年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2021年；④虽然2022年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善. 解析：由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活消费指数”在2020～2021年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2021～2022年最平缓，故③不正确；由于2022年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确. 14.某地2024年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436 你从以上提供的表格中会得到哪些信息？请你对就业形势作一下预测. 解：从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业.机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三个行业看，营销行业就业形势较好.另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易行业应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $