培优课 集合的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的综合问题，以集合基本概念及关系（逻辑推理）为基础，系统梳理集合的综合运算（数学运算），进而延伸至集合的应用及创新性问题（创新迁移），构建从基础到综合再到创新的学习支架。 资料通过题型分层设计，结合Venn图、数轴等直观工具总结通性通法，如用艺术班学生人数问题培养数学语言表达现实世界的能力，以新定义运算、“长度”概念等创新性问题发展数学眼光中的创新意识和数学思维中的推理能力。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

培优课　集合的综合问题 1.掌握集合的基本概念及关系（逻辑推理）. 2.会进行集合的综合运算（数学运算）. 3.能运用所学知识解决集合中的创新性问题（创新迁移）. 题型一　集合的综合运算 已知全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}，∁U（A∪B）＝{1，5，6}，B＝{2，4}，则A∩（∁UB）＝（　　） A.{－2，－1，0，3} B.{0，3} C.{0，2，3，4} D.{3} 解析：B　全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}＝{0，1，2，3，4，5，6}.又∁U（A∪B）＝{1，5，6}，所以A∪B＝{0，2，3，4}.又B＝{2，4}，所以A∩（∁UB）＝{0，3}. 通性通法 集合的综合运算的常用方法 （1）定义法或Venn图法：若集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解； （2）数轴法：若集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等式（组）在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 　设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}. （1）分别求A∩B，A∪（∁UB）； （2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围. 解：（1）A∩B＝{x｜2＜x≤3}，∁UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（∁UB）＝{x｜x≤3或x≥4}. （2）由B∩C＝C可得C⊆B，由题可得C≠∅， 所以解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}. 题型二　集合的应用 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学唱歌的学生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，有21人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？ 解：设只学舞蹈的学生有x人，只学唱歌的学生有y人，既学舞蹈又学唱歌的学生有z人，Venn图如图. 解得 所以同时学舞蹈和唱歌的学生有33人. 通性通法 　　解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实际问题求解. 　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　8　人. 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得（26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人. 题型三　集合中的创新性问题 设集合A＝{－1，0}，集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}，若B中恰有2个元素，且定义A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子集个数是　8　. 解析：因为集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2，所以B＝{0，1}，又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，1}，又A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{（0，－1），（0，0），（0，1）}，所以A*B的子集有23＝8个. 通性通法 集合中的创新性问题的解题思路 （1）解决集合新定义问题的关键是要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆； （2）有关集合“新运算”问题，要在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理. 　设集合M＝{x｜m≤x≤m＋}，N＝{x｜n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝. 1.已知M＝{x｜x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则M＝（　　） A.{1，3，5，6} B.{1，3，5} C.{2，4} D.{6} 解析：B　由题得M＝{1，3，5}.故选B. 2.已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 解析：B　由M＝{x｜－2≤x－1≤2}得M＝{x｜－1≤x≤3}，则M∩N＝{1，3}，有2个元素. 3.〔一题多解〕已知全集U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　） A.{5，7} B.{－1，5，7，9} C.{5，7，9} D.{－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 解析：C　法一　因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}.所以∁UA＝{2，5，6，7，8，9}，∁UB＝{1，3，4，5，7，9}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝{5，7，9}.故选C. 法二　因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}.所以A∪B＝{0，1，2，3，4，6，8}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{5，7，9}.故选C. 4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　） A.6个 B.12个 C.9个 D.5个 解析：A　要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A. 5.〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则下列结论正确的是（　　） A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0} C.（∁UA）∩B＝{－1} D.A∩B的真子集个数是7 解析：ACD　由题得A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝{x｜x＜－，x∈Z}，所以（∁UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确. 6.〔多选〕对于集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A－B）∪（B－A）.设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中可能含有的元素为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：CD　因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M⊕N＝（M－N）∪（N－M）＝{1，2，3，7，8，9，10}.故选C、D. 7.某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为　26　. 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26. 8.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，则实数a的取值范围为　{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}　. 解析：若B∪A＝A，则B⊆A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况.①当B＝∅时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A；③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}.∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. 9.已知集合A＝{x｜1＜x≤4}，B＝{x｜a＋1≤x≤2a}. （1）当a＝2时，求A∪B； （2）若B∩（∁RA）＝∅，求实数a的取值范围. 解：（1）当a＝2时，B＝{x｜3≤x≤4}， A∪B＝{x｜1＜x≤4}. （2）∁RA＝{x｜x≤1或x＞4}， 当B＝∅时，B∩（∁RA）＝∅，此时a＋1＞2a，解得a＜1； 当B≠∅时，若B∩（∁RA）＝∅，则解得1≤a≤2. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤2}. 10.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，集合C＝{x｜x2＋2x－8＝0}. （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值. 解：（1）因为集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}， 集合B＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，且A∩B＝{2}，所以2∈A，所以4－2a＋a2－19＝0， 即a2－2a－15＝0，解得a＝－3或a＝5. 当a＝－3时，A＝{x｜x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}，A∩B＝{2}，符合题意； 当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，A∩B＝{2，3}，不符合题意. 综上，实数a的值为－3. （2）因为A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{x｜x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，且A∩B≠∅，A∩C＝∅，所以3∈A，所以9－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{x｜x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，满足题意；当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不满足题意.综上，实数a的值为－2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $