培优课 不等式的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学不等式综合问题，系统梳理基本不等式的综合应用（含求最值的“拆、拼、凑”技巧及“正、定、等”条件）和一元高次不等式的解法（不等式组法、穿根引线法），构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料以题型为纲，例题解析结合通性通法，如基本不等式通过“拆、拼、凑”培养数学建模与运算能力，高次不等式解法通过逻辑推理实现转化。练习题涵盖模拟题与应用题，课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

培优课　不等式的综合问题 1.掌握基本不等式的综合应用，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（数学建模）. 2.掌握一元高次不等式的解法（逻辑推理，数学运算）. 题型一　基本不等式的综合应用 已知实数x，y满足x＞y＞0，且x＋y＝2，则＋的最小值为（　　） A.3＋2 B. C.3－2 D. 解析：B　∵x＋y＝2，＝＝1，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴＋＝（＋）＝［3＋＋］≥［3＋2］＝.当且仅当x＋3y＝（x－y）时，等号成立，因此，＋的最小值为. 通性通法 　　在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 1.（2025·成都模拟）已知实数x，y满足5x＞y＞0，则＋的最小值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　因为5x＞y＞0，所以＞，所以＋＝＋＝＋－＋≥2＋＝，当且仅当＝－，即＝时等号成立，所以＋的最小值为.故选C. 2.已知a，b，c＞0时，有＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启示，求当a，b，c＞0时，＋＋的最小值. 解：由于＋＋＋3 ＝（＋1）＋（＋1）＋（＋1） ＝＋＋ ＝[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（＋＋） ＝［3＋＋＋］ ＝［3＋（＋）＋（＋）＋（＋）］≥， 从而＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，原式取得最小值. 题型二　一元高次不等式的解法 角度1　不等式组法解一元高次不等式 解不等式（x＋2）（x2－x－12）＞0. 解：原不等式可化为或即或解得x＞4或－3＜x＜－2.故原不等式的解集为{x｜x＞4或－3＜x＜－2}. 通性通法 　　将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集. 角度2　穿根引线法解一元高次不等式 解不等式≤0. 解：原不等式可化为（x2－3x－4）（x2－1）＜0或即（x－1）·（x＋1）2（x－4）＜0或x＝4.令（x－1）（x＋1）2·（x－4）＝0，可得x＝1或x＝4或x＝－1（偶次根），结合图象可得不等式（x－1）（x＋1）2（x－4）＜0的解集为{x｜1＜x＜4}，故原不等式的解集为{x｜1＜x≤4}. 通性通法 穿根引线法解一元高次不等式的步骤 （1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数化为“＋”； （2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来； （3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）.简称“奇过偶不过”； （4）若不等式（x最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式“＜0”，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围. 已知不等式（ax2＋bx＋c）（x＋d）＞0的解集是{x｜x＜－3或1＜x＜4}.则不等式ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd≤0的解集为　{x｜－4≤x≤－1或x≥3}　. 解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ax2＋bx＋c）·（x＋d）＝0的根，且a＜0.而ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd＝ax3－bx2＋cx－d（ax2－bx＋c）＝（ax2－bx＋c）（x－d）.∴原不等式可化为（ax2－bx＋c）（x－d）≤0.而（ax2－bx＋c）（x－d）＝－[a（－x）2＋b（－x）＋c][（－x）＋d].∴（ax2－bx＋c）（x－d）＝0的根与（ax2＋bx＋c）（x＋d）＝0的根互为相反数，所以（ax2－bx＋c）（x－d）＝0的根为3，－1，－4.由图可知，所求不等式的解集为{x｜－4≤x≤－1或x≥3}. 1.若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为∅，则实数k的取值范围是（　　 ） A.（－，0） B.［－，0） C.［－，0］ D.（－，0］ 解析：C　当k＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足题意；当k≠0时，要满足题意，只需解得－≤k＜0，综上，实数k的取值范围为［－，0］，故选C. 2.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，则该厂每月处理量应为（　　） A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨 解析：B　由题意，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系为y＝x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低.故选B. 3.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则函数y＝ax2－bx＋2的图象为（　　） 解析：D　不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则－1，2是ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，则－1＋2＝－，－1×2＝，故a＝－1，b＝1，所以y＝ax2－bx＋2＝－x2－x＋2，则函数y＝ax2－bx＋2的图象为开口向下，对称轴为x＝－的抛物线，只有D选项中图象符合题意，故选D. 4.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为{x｜－6＜x＜2}；乙写错了常数c，得到的解集为{x｜－3＜x＜2}.那么原不等式的解集为（　　） A.{x｜2＜x＜6} B.{x｜－4＜x＜3} C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜－2＜x＜6} 解析：B　由根与系数的关系得则则原不等式为x2＋x－12＜0，解得－4＜x＜3，即原不等式的解集为{x｜－4＜x＜3}，故选B. 5.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），则（　　） A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞） 解析：ABD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），所以a＞0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误；不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确.故选A、B、D. 6.〔多选〕若m＞0，n＞0，且3m＋n＝1，下列结论正确的是（　　） A.mn的最大值为 B.＋的最小值为6 C.＋的最小值为（5＋2） D.9m2＋n2的最小值为 解析：ACD　选项A，因为m＞0，n＞0，3m＋n＝1≥2，所以mn≤，当且仅当3m＝n＝，即m＝，n＝时等号成立，故选项A正确；选项B，因为3m＋n＝1，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n，即m＝，n＝时等号成立，故选项B不正确；选项C，＋＝（＋）[（3m＋3）＋（n＋2）]＝［3＋2＋＋］≥（5＋2）＝（5＋2），当且仅当＝且3m＋n＝1，即m＝5－2，n＝6－14时等号成立，故选项C正确；选项D，9m2＋n2≥（3m＋n）2＝，当且仅当3m＝n＝，即m＝，n＝时等号成立，故选项D正确.故选A、C、D. 7.不等式≥1的解集为　{x｜－2≤x＜－1或≤x＜3}　. 解析：原不等式可化为≤0，即≤0， 则如图所示，则不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1或≤x＜3}. 8.函数y＝在（1，＋∞）上的最大值为　　. 解析：因为y＝，x∈（1，＋∞），令x－1＝t，则t＞0， 则y＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立.故函数在（1，＋∞）上的最大值为. 9.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求： （1）xy的最大值； （2）2x＋y的最小值. 解：（1）因为x＞0，y＞0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy（当且仅当x＝2y＝6时取等号）， 令＝t（t＞0），则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t＞0， 所以0＜t≤3，即0＜≤3， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. （2）由x＋2y＋xy＝30可知， y＝＞0，0＜x＜30， 2x＋y＝2x＋＝2（x＋2）＋－5 ≥2－5＝11， 当且仅当2（x＋2）＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 10.已知函数y＝ax2－（2a＋3）x＋6（a∈R）. （1）若y＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围； （2）当a＝1时，函数y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解，求m2＋3的取值范围. 解：（1）若y＋2＞0恒成立，则y＋2＞0⇒ax2－（2a＋3）x＋8＞0恒成立. 当a＝0时，ax2－（2a＋3）x＋8＝－3x＋8＞0不恒成立； 当a≠0时，解得＜a＜. 故实数a的取值范围为（，）. （2）当a＝1时，y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解， 即x2＋mx＋3－m≤0在[－2，2]有解， 因为y＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴x＝－， ①－≤－2即m≥4，x＝－2时，函数取得最小值，此时4－2m＋3－m≤0， 即m≥，∴m≥4. ②－2＜－＜2即－4＜m＜4时，当x＝－取得最小值， 此时－＋3－m≤0，解得2≤m＜4. ③当－≥2即m≤－4时，当x＝2时取得最小值，此时4＋2m＋3－m≤0， 解得m≤－7，综上，m≥2或m≤－7，所以m2＋3的范围为[7，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $