1.4.2 一元二次不等式及其解法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式及其解法核心知识点，从实际情境抽象概念，系统梳理定义、解集及“三个二次”关系，通过不含参数、含参数解法及应用题型构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料以交通车距问题引入培养数学建模，用表格直观呈现“三个二次”关系提升直观想象，分题型训练强化数学运算，课中辅助教师授课，课后助力学生回顾练习，有效查漏补缺。

4.2　一元二次不等式及其解法 课标 要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数（数学抽象、直观想象、逻辑推理）. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学抽象、数学运算）. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（直观想象、数学建模）. 城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长. 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次不等式的概念 1.定义：形如　ax2＋bx＋c＞0　，或　ax2＋bx＋c＜0　，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0（其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0）的不等式叫作一元二次不等式. 2.解集：使一元二次不等式成立的　所有未知数　的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 提醒：一元二次不等式概念中的关键词：①一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；②二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 知识点二　“三个二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的实数根 有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝　－　 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≠－} R 提醒：一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根. 【想一想】 当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0（a＞0）与ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的解集分别是什么？ 提示：R，. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）mx2－5x＜0是一元二次不等式.（　×　） （2）若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解.（　×　） （3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2}.（　×　） （4）不等式x2－2x＋3＞0的解集为R.（　√　） 2.不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为（　　） A.{x｜x≤－} B.{x｜－≤x≤3} C.{x｜x≤－或x≥3} D.{x｜x≥3} 解析：C　因为（2x＋1）（x－3）≥0，解得x≤－或x≥3，所以不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为{x｜x≤－或x≥3}.故选C. 3.不等式x2－2x－5＞2x的解集是　{x｜x＞5或x＜－1}　. 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集： （1）2x2＋7x＋3＞0； 解：因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. （2）－4x2＋18x－≥0； 解：原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. （3）－2x2＋3x－2＜0. 解：原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； （2）判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 1.不等式x（x－9）＜x－21的解集为（　　） A.（3，7） B.（－∞，3）∪（7，＋∞） C.（－7，－3） D.（－∞，－7）∪（－3，＋∞） 解析：A　x（x－9）＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即（x－3）（x－7）＜0，解得3＜x＜7.故选A. 2.不等式2x2＜x－1的解集为　∅　. 解析：原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，作出函数y＝2x2－x＋1的图象，如图所示.根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅. 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式（ax－2）（x＋1）≥0（x∈R，a≥0）. 解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式化为（x－）（x＋1）≥0， 解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x｜x≥或x≤－1}. 【母题探究】 （变条件）若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集. 解：当a＜0时，原不等式化为（x－）（x＋1）≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x｜≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－1≤x≤}. 通性通法 含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上， 则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 题型三　三个“二次”之间的关系及应用 已知二次函数y＝ax2＋（b－8）x－a－ab，且y＞0的解集为{x｜－3＜x ＜2}. （1）求二次函数的解析式； 解：因为y＞0的解集为{x｜－3＜x＜2}，所以a＜0， 且－3，2是方程ax2＋（b－8）x－a－ab＝0的两根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. （2）当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围. 解：因为a＝－3＜0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 通性通法 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题. 提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式. 　已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜＜x＜}. （1）求a，c的值； 解：由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得解得 （2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0. 解：由a＝－6，c＝－1知，不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为. 1.若∀x∈R，式子都有意义，则实数a的取值范围为（　　） A.{a｜－2＜a＜2} B.{a｜a＞2或a＜－2} C.{a｜a≤－2或a≥2} D.{a｜－2≤a≤2} 解析：D　由题意得不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2. 2.不等式x2－2x＞0的解集是（　　） A.{x｜x≥2或x≤0} B.{x｜x＞2或x＜0} C.{x｜0≤x≤2} D.{x｜0＜x＜2} 解析：B　解x2－2x＞0，即x（x－2）＞0，得x＞2或x＜0，故选B. 3.如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x｜1＜x＜3}，那么ba＝（　　） A.－81 B.81 C.－64 D.64 解析：B　不等式x2＜ax＋b可化为x2－ax－b＜0，其解集是{x｜1＜x＜3}，由根与系数的关系得解得所以ba＝（－3）4＝81.故选B. 4.若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－）＜0的解集为　{x｜m＜x＜}　. 解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜}. 5.二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是　{x｜x＜－2或x＞3}　. 解析：根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）图象的草图，如图.由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2或x＞3}. 1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（　　） A. B. C.∅ D. 解析：D　原不等式可化为（3x＋1）2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－. 2.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜－n或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m} C.{x｜x＜－m或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n} 解析：B　∵m＋n＞0，∴m＞－n，∴（m－x）（n＋x）＞0化为（x－m）（x＋n）＜0，解得－n＜x＜m.故选B. 3.二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，如果a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为（　　） A.{x｜x＞3或x＜－2} B.{x｜x＞2或x＜－3} C.{x｜－2＜x＜3} D.{x｜－3＜x＜2} 解析：C　由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2＋bx＋c＞0可化为ax2－ax－6a＞0，又a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3，故选C. 4.若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（　　） 解析：B　因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，图象开口向下，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B. 5.〔多选〕下列四个不等式中，解集为∅的是（　　） A.－x2＋x＋1≤0 B.2x2－3x＋4＜0 C.x2＋3x＋10≤0 D.－x2＋4x－＞0（a＞0） 解析：BCD　对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；对于D，－x2＋4x－＞0（a＞0）对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4×2＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为∅.故选B、C、D. 6.〔多选〕下列关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＞0的解集讨论正确的是（　　） A.当a＝1时，解集为∅ B.当a＞1时，解集为{x｜x＞a} C.当a＜1时，解集为{x｜x＜a或x＞1} D.无论a取何值，解集均不为空集 解析：CD　原不等式可化为（x－1）（x－a）＞0.当a＝1时，原不等式为（x－1）2＞0，解得x≠1，A错误；当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜1或x＞a}，B错误；当a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＞1或x＜a}，C正确；对于一元二次方程x2－（a＋1）x＋a＝0，Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，D正确. 7.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为　{x｜－≤x≤1}　. 解析：不等式（x＋5）（3－2x）≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即（x－1）（2x＋9）≤0，解得－≤x≤1. 8.若A＝（－2，5），则以A为解集的一个一元二次不等式可以是　x2－3x－10＜0（答案不唯一）　. 解析：设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－2，5）.则－2和5是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0.即不妨设a＝1，解得b＝－3，c＝－10.所以以A为解集的一个一元二次不等式可以是x2－3x－10＜0. 9.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　{m｜m＜0}　. 解析：∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m｜m＜0}. 10.解下列不等式： （1）x2＋2x－15＜0； （2）－x2＋3x＋2＜6x－2； （3）x2＋2x＋4＞0； （4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）. 解：（1）x2＋2x－15＝（x＋5）（x－3）＜0， 解得－5＜x＜3， 所以原不等式的解集为{x｜－5＜x＜3}. （2）－x2＋3x＋2＜6x－2⇒x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－4， 所以原不等式的解集为{x｜x＜－4或x＞1}. （3）x2＋2x＋4＞0，Δ＝4－4××4＝0， 故x≠－4，所以原不等式的解集为{x｜x≠－4}. （4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）⇒x2＋5x＋9＜0， Δ＝25－36＝－11＜0，无解， 所以原不等式的解集为∅. 11.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－63[x]＋45＜0成立的x的取值范围是（　　） A.[1，15） B.[2，8] C.[2，8） D.[2，15） 解析：A　不等式4[x]2－63[x]＋45＜0，即为（4[x]－3）（[x]－15）＜0，解得＜[x]＜15，则[x]∈{1，2，3，…，14}，因此1≤x＜15.故选A. 12.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，则（　　） A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－4} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞} 解析：ABD　关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，所以a＞0，A项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a＜0，C项错误；不等式bx＋c＞0即－2ax－8a＞0，解得x＜－4，B项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即－8ax2＋2ax＋a＜0，即8x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞，D项正确.故选A、B、D. 13.若关于x的不等式x2－mx＜0恰有一个整数解1，则m的取值范围为　{m｜1＜m≤2}　. 解析：由x2－mx＜0可知x（x－m）＜0，∵x2－mx＜0恰有一个整数解1，∴0＜x＜m中只有一个整数解1，∴1＜m≤2. 14.求关于x的不等式3ax2－（3a＋2）x＋2＜0（a∈R）的解集. 解：3ax2－（3a＋2）x＋2＝（3ax－2）（x－1）＜0（a∈R）. 当a＝0时，不等式为－2（x－1）＜0，所以x＞1，解集为{x｜x＞1}. 当a≠0时，方程（3ax－2）（x－1）＝0的两根为x1＝，x2＝1. ①当a＝时，x1＝x2＝1，则不等式（2x－2）（x－1）＜0的解集为∅； ②当a＞时，＜1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为{x｜＜x＜1}； ③当0＜a＜时，＞1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为{x｜1＜x＜}； ④当a＜0时，＜1，则不等式（3ax－2）（x－1）＜0的解集为{x｜x＜或x＞1}. 综上，当a＝0时，解得为{x｜x＞1}； 当a＝时，解集为∅； 当a＞时，解集为{x｜＜x＜1}； 当0＜a＜时，解集为{x｜1＜x＜}； 当a＜0时，解集为{x｜x＜或x＞1}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $