第1章 预备知识 章末整合提升〔含真题体验〕(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的概念与运算、不等式的求解与应用，以数学抽象为起点，通过集合基本概念理解过渡到数学运算（交并补、解不等式），再到逻辑推理（集合关系、充要条件、量词命题），最终落脚于数学建模的实际应用，构建完整知识脉络。 特色在于以核心素养为统领，每个“培优”专题对应素养表现，如集合概念培养数学抽象，解不等式提升数学运算，充要条件判断强化逻辑推理。例题典型且解析详尽，含一题多解，结合高考真题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

一、数学抽象 　　数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系.在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中. 培优一　集合的基本概念 （1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　C　） A.1 B.3 C.5 D.9 解析：①当x＝0，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. （2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为（　A　） A.－2 B.±2 C.2或4 D.±2或4 解析：由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 二、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不等式的求解问题中. 培优二　集合的运算 （1）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜－5＜x3＜5，x∈Z}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则（∁UA）∩B＝（　B　） A.{－1，0} B.{－3，2，3} C.{－3，2} D.{－1，0，3} 解析：易知A＝{－1，0，1}，所以∁UA＝{…，－3，－2，2，3，…}，故（∁UA）∩B＝{－3，2，3}.故选B. （2）已知集合A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，B＝{x｜－3＜x＜3}，若A∪B＝B，则实数m的取值范围为　{m｜m≥－}　. 解析：∵B＝{x｜－3＜x＜3}，A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，由A∪B＝B，得A⊆B.①当A＝∅时，满足A⊆B，此时2m≥m＋1，即m≥1；②当A≠∅时，∵A⊆B，则即－≤m＜1.综上，m的取值范围为{m｜m≥－}. 培优三　解一元二次不等式 解下列关于x的不等式： （1）－1＜x2＋2x－1≤2； 解：原不等式等价于 即 由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0. 由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图. 求其交集得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. （2）m2x2＋2mx－3＜0. 解：当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为（mx＋3）（mx－1）＜0. 当m＞0时，解集为； 当m＜0时，解集为. 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题、不等式的证明及应用中. 培优四　集合间的关系 （1）已知集合A＝{0，1}，B＝{x｜x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（　D　） A.A⊆B　　 B.A⫋B　 　C.B⫋A　 　D.A∈B 解析：因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B. （2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　C　） A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4} C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4} 解析：在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4. 培优五　充分条件与必要条件的判断 （1）设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由x∈M或x∈P可得x∈（M∪P），而（M∩P）⫋（M∪P），所以“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分条件.故选B. （2）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：a2＞36等价于｜a｜＞6⇔a＞6或a＜－6，故a＞6⇒｜a｜＞6，即a2＞36，但｜a｜＞6⇒/ a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件. 培优六　全称量词命题与存在量词命题 （1）命题：“∀x＞1，2x＋1＞5”的否定为（　C　） A.∃x＞1，2x＋1＜5 B.∃x＜1，2x＋1＜5 C.∃x＞1，2x＋1≤5 D.∃x＜1，2x＋1≤5 解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题得“∀x＞1，2x＋1＞5”的否定为：∃x＞1，2x＋1≤5.故选C. （2）命题p：∃x∈R，x＋2≤0，则命题p的否定是（　D　） A.∃x∈R，x＋2＞0 B.∀x∈R，x＋2≤0 C.∃x∈R，x＋2≥0 D.∀x∈R，x＋2＞0 解析：因为命题p：∃x∈R，x＋2≤0是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即∀x∈R，x＋2＞0，故选D. 培优七　不等式的性质及应用 〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A.＞ B.ab＜b2 C.a｜c｜＞b｜c｜ D.a（c2＋1）＜b（c2＋1） 解析：AD　对于A，因为a＜b＜0，所以－＝＞0，则＞，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋1）＜b（c2＋1），故D正确. 培优八　不等式的证明 已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：·≥8. 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0， 当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式等号同时成立. ∴（＋）（＋）（＋）≥ ＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立. 培优九　利用基本不等式求最值 （1）〔一题多解〕若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为　2　； 解析：法一　∵≥ ， ∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值. 法二　∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2.当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立. （2）〔一题多解〕已知a∈R，b＞0，且（a＋b）b＝1，则a＋的最小值是　2　. 解析：法一　∵b＞0，且（a＋b）b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，故a＋的最小值为2. 法二　∵（a＋b）b＝1，∴a＋＝a＋2b＝（a＋b）＋b≥2＝2，当且仅当a＝0，b＝1时等号成立. 四、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合、不等式的实际应用中. 培优十　集合的应用 现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（　　） A.最多人数是55 B.最少人数是55 C.最少人数是75 D.最多人数是80 解析：B　设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.作出Venn图，由图可知，x＋card（A）＋card（B）－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55. 培优十一　不等式的实际应用 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费） （1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围； 解：设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝×60＋1 000＋2x. 令×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜40≤x≤90}. （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解：由（1）得y＝×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝，即x＝60时取等号，∴若要使运输的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 1.（2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A.0　　 　　B.3 C.5　　 　　D.8 解析：C　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 2.（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3＝x}，则A∩B＝（　　） A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} 解析：D　由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D. 3.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 解析：C　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C. 4.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　） A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 解析：A　法一　因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. 5.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $