培优课 集合的综合问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合的综合问题，涵盖基本概念、关系、运算及创新应用。课堂导入从预备知识衔接集合基础，通过典例研析构建从基础运算到实际应用再到创新问题的递进学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于落实逻辑推理、数学运算和创新迁移核心素养，如用定义法或Venn图解决综合运算问题，结合Venn图分析艺术班学生选课等实际应用，通过新定义运算培养创新思维。通性通法总结提升解题能力，跟踪训练与课时作业分层巩固，助力学生提升数学思维，为教师提供系统教学资源。

培优课　集合的综合问题 第一章　预备知识 1 重点解读 1.掌握集合的基本概念及关系（逻辑推理）. 2.会进行集合的综合运算（数学运算）. 3.能运用所学知识解决集合中的创新性问题（创新迁移）. 目 录 CONTENTS 典例研析 课时作业 典例研析 >> 目录 4 题型一　集合的综合运算 已知全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}，∁U（A∪B）＝{1，5，6}，B ＝{2，4}，则A∩（∁UB）＝（　　） A. {－2，－1，0，3} B. {0，3} C. {0，2，3，4} D. {3} 解析：　全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}＝{0，1，2，3，4，5，6}.又∁U （A∪B）＝{1，5，6}，所以A∪B＝{0，2，3，4}.又B＝{2，4}，所 以A∩（∁UB）＝{0，3}. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 集合的综合运算的常用方法 （1）定义法或Venn图法：若集合是用列举法给出的，运算时可直接借助 定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解； （2）数轴法：若集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等式 （组）在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，C＝ {x｜a≤x≤a＋1，a∈R}. （1）分别求A∩B，A∪（∁UB）； 解：A∩B＝{x｜2＜x≤3}，∁UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（∁UB）＝{x｜x≤3或x≥4}. （2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围. 解：由B∩C＝C可得C⊆B，由题可得C≠∅， 所以 解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　集合的应用 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学唱歌的学 生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，有21人，那么 同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？ 解：设只学舞蹈的学生有x人，只学唱歌的学生有y人，既学舞蹈又学唱歌 的学生有z人，Venn图如图. 解得 所以同时学舞蹈和唱歌的学生有33人. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同 的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实 际问题求解. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参 加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13， 同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则 同时参加数学和化学小组的有 人. 8　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集 合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有 x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得 （26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－ x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小 组的有8人. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　集合中的创新性问题 设集合A＝{－1，0}，集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}，若B中恰有2个 元素，且定义A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子集 个数是 ⁠. 解析：因为集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2， 所以B＝{0，1}，又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0， 1}，又A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{（0，－ 1），（0，0），（0，1）}，所以A*B的子集有23＝8个. 8　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 集合中的创新性问题的解题思路 （1）解决集合新定义问题的关键是要读懂新定义的本质含义，紧扣题目 所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定 义相混淆； （2）有关集合“新运算”问题，要在理解运算法则的基础上，试图去寻 求运算规律，并进行推理. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　设集合M＝{x｜m≤x≤m＋ }，N＝{x｜n－ ≤x≤n}，且M，N 都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b， a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为 ， ，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为 ＋ －1＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 16 1. 已知M＝{x｜x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2， 4，6}，则M＝（　　） A. {1，3，5，6} B. {1，3，5} C. {2，4} D. {6} 解析：　由题得M＝{1，3，5}.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－ 1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元 素共有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 解析：由M＝{x｜－2≤x－1≤2}得M＝{x｜－1≤x≤3}，则M∩N＝{1，3}，有2个元素. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔一题多解〕已知全集U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，集合A＝{0，1，3， 4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　） A. {5，7} B. {－1，5，7，9} C. {5，7，9} D. {－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 解析： 　法一　因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x， x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}.所以∁UA＝{2，5，6，7，8，9}，∁UB＝ {1，3，4，5，7，9}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝{5，7，9}.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6， 7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}， 所以B＝{0，2，6，8}.所以A∪B＝{0，1，2，3，4，6，8}，所以 （∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{5，7，9}.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S， x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合 中，不含“好元素”的集合共有（　　） A. 6个 B. 12个 C. 9个 D. 5个 √ 解析： 　要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，故不含“好 元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5， 6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－ 1，0，1，2}，则下列结论正确的是（　　） A. A∩B＝{0，1，2} B. A∪B＝{x｜x≥0} C. （∁UA）∩B＝{－1} D. A∩B的真子集个数是7 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由题得A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－ ，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝{x｜x＜－ ，x∈Z}，所以（∁UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕对于集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A，x∉B}，A⊕B＝ （A－B）∪（B－A）.设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6， 7，8，9，10}，则M⊕N中可能含有的元素为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M⊕N＝（M－N）∪（N－M）＝{1，2，3，7，8，9，10}.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学 至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10 人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数 小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个小 组都参加的有3人，则该班学生人数为 ⁠. 26　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若 B∪A≠A，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：若B∪A＝A，则B⊆A. 又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}， ∴集合B有以下三种情况.①当B＝∅时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2 ＞16，∴a＜－4或a＞4；②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝ 0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，则B＝{－ 2}⊆A；③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实 根，∴ ∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取 值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}.∴B∪A≠A时，实数a的取值 范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. {a｜－4≤a＜4，且a≠－2}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知集合A＝{x｜1＜x≤4}，B＝{x｜a＋1≤x≤2a}. （1）当a＝2时，求A∪B； 解：当a＝2时，B＝{x｜3≤x≤4}， A∪B＝{x｜1＜x≤4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若B∩（∁RA）＝∅，求实数a的取值范围. 解：∁RA＝{x｜x≤1或x＞4}， 当B＝∅时，B∩（∁RA）＝∅，此时a＋1＞2a，解得a＜1； 当B≠∅时，若B∩（∁RA）＝∅，则 解得1≤a≤2. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x｜x2－5x＋6＝ 0}，集合C＝{x｜x2＋2x－8＝0}. （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； 解：因为集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}， 集合B＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，且A∩B＝{2}，所以2∈A，所以 4－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0，解得a＝－3或a＝5. 当a＝－3时，A＝{x｜x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}，A∩B＝{2}，符合 题意；当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，A∩B＝{2，3}，不符合题意. 综上，实数a的值为－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值. 解：因为A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{x｜x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，且A∩B≠∅，A∩C＝∅，所以3∈A，所以9－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{x｜x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，满足题意；当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不满足题意.综上，实数a的值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（BSD） 目录 $