1.4.1 一元二次函数(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦一元二次函数核心知识点，系统梳理其图象变换（平移规律）和性质（开口方向、对称轴、顶点、单调性、最值），前承函数基本概念，后为方程与不等式应用奠基，构建从定义到变换、性质再到应用的完整学习支架。 该资料以掷铅球实际情境引入，契合课标直观想象与数学运算素养，通过一题多解（如图象变换两种方法）和通性通法总结培养数学思维。课中辅助教师引导探究，课后分层练习助学生巩固知识，有效查漏补缺。

4.1　一元二次函数 课标 要求 1.掌握一元二次函数的图象及图象变换（直观想象）. 2.会求一元二次函数的最值及相关问题（数学运算）. 　　某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋. 【问题】　（1）此函数是一元二次函数吗？ （2）当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次函数的图象变换 1.抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 2.一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左（或向右）平移　｜h｜　个单位长度，再向上（或向下）平移　｜k｜　个单位长度而得到. 提醒：一元二次函数图象变换：一元二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”. 知识点二　一元二次函数的性质 一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有如下性质： （1）函数y＝a（x－h）2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h； （2）当a＞0时，抛物线开口向　上　；在区间（－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而　减小　；在区间[h，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而　增大　；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝　k　. 当a＜0时，抛物线开口向　下　；在区间（－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而　增大　；在区间[h，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而　减小　；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝　k　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）y＝ax2＋bx＋c是一元二次函数.（　×　） （2）函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交.（　√　） （3）二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反.（　√　） 2.已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为（－1，3），则此函数的解析式为（　　） A.y＝2（x－1）2＋3 B.y＝2（x＋1）2＋3 C.y＝－2（x－1）2＋3 D.y＝－2（x＋1）2＋3 解析：D　设所求函数的解析式为y＝－2（x＋h）2＋k，根据顶点为（－1，3），可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2（x＋1）2＋3，故选D. 3.将函数y＝2（x＋1）2－2向右平移　1　个单位长度，再向　上　平移　2　个单位长度可得到函数y＝2x2的图象. 解析：通过y＝2x2→y＝2（x＋1）2－2反向分析，也可借助顶点分析. 题型一　一元二次函数图象与变换 〔一题多解〕在同一坐标系中作出下列函数的图象： （1）y＝x2；（2）y＝x2－2；（3）y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象. 解：列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点，连线即得相应函数的图象，如图所示. 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下. 法一　先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2的图象，然后把y＝（x－1）2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2（x－1）2的图象，最后把y＝2（x－1）2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象. 法二　先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2－1的图象，最后把y＝（x－1）2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2（x－1）2－2，即y＝2x2－4x的图象. 通性通法 　　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可转化为y＝a（x＋h）2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 　　上述平移规律：“h值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”. 1.将一元二次函数y＝5x2＋1的图象平移，得到一元二次函数y＝5（x＋2）2－1的图象，下列平移方式中，正确的是（　　） A.先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 解析：B　将一元二次函数y＝5x2＋1图象向左平移2个单位长度，得到一元二次函数y＝5（x＋2）2＋1的图象，再向下平移2个单位长度得到y＝5（x＋2）2－1的图象. 2.画出一元二次函数y＝x2－6x＋21的图象. 解：y＝x2－6x＋21通过配方可化为y＝（x－6）2＋3，利用一元二次函数图象的对称性列表： x … 4 5 6 7 8 … y … 5 3.5 3 3.5 5 … 描点，连线即得函数y＝x2－6x＋21的图象，如图所示. 题型二　一元二次函数图象的识别 〔多选〕如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象的对称轴为直线x＝－1.则下面四个结论正确的是（　　） A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 解析：AD　易知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；函数图象的对称轴为直线x＝－1，则－＝－1，即2a－b＝0，B错误；结合图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由函数图象的对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，因为5＞2，a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 通性通法 有关一元二次函数图象识别问题的解题思路 （1）对于一元二次函数图象的识别问题可以采用排除法，即抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等作出判断； （2）对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题，当函数中含有一个变量时，常通过讨论变量对函数图象作出判断；当函数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误. 　如图是一元二次函数：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2的图象，则a，b，c，d的大小关系为（　　） A.a＜b＜0＜c＜d B.d＜c＜0＜a＜b C.0＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜c＜d＜0 解析：B　当二次项系数大于0时，一元二次函数的图象开口向上，当二次项系数小于0时，一元二次函数的图象开口向下，所以由图象可知a和b都大于0，c和d都小于0，再根据二次项系数的绝对值越大，开口越小可知d＜c＜0＜a＜b. 题型三　一元二次函数的图象与性质 已知一元二次函数y＝－2x2＋4x＋3，请回答下列问题： （1）试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：∵y＝－2x2＋4x＋3＝－2（x－1）2＋5， ∴该一元二次函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，5）. （2）指出函数y＝－2x2＋4x＋3的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的变换得到的； 解：由（1）可知，将函数y＝－2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数y＝－2x2＋4x＋3的图象. （3）求函数值的变化趋势及函数的最值. 解：由（1）知，函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，则可得在区间（－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[1，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而减小.故函数在x＝1处取得最大值5，即ymax＝5，无最小值. 通性通法 　　“配方法”是研究一元二次函数的主要方法，对一个具体的一元二次函数，我们对它进行配方，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，图象更精确. 1.已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过原点且关于直线x＝2对称，在[0，2]上y随x的增大而增大，则y≥0的解集是（　　） A.[0，＋∞） B.（－∞，0） C.[0，4] D.（－∞，0）∪[4，＋∞） 解析：C　由已知得在[2，4]上，y随x的增大而减小，且x＝4时，y＝0，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，y≥0. 2.已知二次函数y＝ax2－x＋2a－1在区间[1，2]上单调递减，则a的取值范围为　（－∞，0）∪（0，］　. 解析：由题意知a≠0.当a＞0时，y＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，所以在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，又a＞0，所以0＜a≤；当a＜0时，y＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0，所以在区间[1，2]上单调递减恒成立.综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（0，］. 1.将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（　　） A.y＝（x＋2）2＋4 B.y＝（x－2）2－2 C.y＝（x－2）2＋4 D.y＝（x＋2）2－2 解析：D　∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，∴顶点坐标为（0，1）.将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为（－2，－2），可设新函数的解析式为y＝（x－h）2＋k，代入新的顶点坐标得y＝（x＋2）2－2. 2.下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是（　　） A.y＝2x2－x＋1 B.y＝x2＋2x＋1 C.y＝x2－2x－1 D.y＝x2＋2x＋1 解析：B　∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意. 3.一元一次函数y＝ax＋b与一元二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） 解析：C　对于选项A，一元一次函数中的a＞0与一元二次函数中的a＜0矛盾；对于选项B，一元一次函数中的a＞0，b＞0与一元二次函数中的x＝－＞0矛盾；对于选项D，一元一次函数中的a＜0与一元二次函数中的a＞0矛盾. 4.已知函数y＝x2＋mx＋1，在区间[1，＋∞）上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为　[－2，＋∞）　. 解析：y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，由题意，可得－≤1，解得m≥－2. 1.二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（　　） A.y＝2（x＋1）2＋2 B.y＝2（x－1）2＋2 C.y＝2（x＋1）2－2 D.y＝2（x－1）2－2 解析：B　将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2（x－1）2＋2的图象，故选B. 2.已知函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A（－1，7），则a，b的值分别是（　　） A.2，4 B.－2，4 C.2，－4 D.－2，－4 解析：C　由题意，可得⇒故选C. 3.（2026·淮安模拟）若函数y＝4x2－kx－8在[4，5]上是单调函数，则k的取值范围是（　　） A.[32，40] B.（－∞，32]∪[40，＋∞） C.（－∞，32] D.[40，＋∞） 解析：B　因为y＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，且其图象开口向上，所以≤4或≥5，解得k≥40或k≤32，所以k的取值范围是（－∞，32]∪[40，＋∞），故选B. 4.（2026·宣城模拟）已知y＝（x－m）（x－n）＋2 026（m＜n），且α，β（α＜β）是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是（　　） A.α＜m＜n＜β B.m＜α＜n＜β C.m＜α＜β＜n D.α＜m＜β＜n 解析：C　y＝（x－m）（x－n）＋2 026（m＜n）为二次函数，图象开口向上，因为α，β（α＜β）是方程y＝0的两根，故α，β（α＜β）为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f（m）＝f（n）＝2 026，画出大致图象如图所示，显然m＜α＜β＜n. 5.将函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为（　　） A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7 C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5 解析：C　原函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到y＝2x2＋7x＋4的图象，那么将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到原函数的图象，所以原函数y＝2（x－1）2＋7（x－1）＋4＋2，化简可得y＝2x2＋3x＋1，故选C. 6.〔多选〕在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝（x－2）2＋1，下列说法中正确的是（　　） A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 解析：ABD　一元二次函数y＝（x－2）2＋1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x－2）2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝（x－2）2＋1的图象，故选项D的说法正确. 7.将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，则a＝　1　，b＝　－6　，c＝　6　. 解析：∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝（x－1）2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为（1，0）.根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点（1，0）平移至（3，－3）处.∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是（3，－3），即y＝（x－3）2－3＝x2－6x＋6，∴a＝1，b＝－6，c＝6. 8.已知x∈（－2，5），则y＝（2＋x）（5－x）的最大值为　　. 解析：由题意，函数y＝（2＋x）（5－x）图象开口向下，且对称轴为x＝＝，所以当x＝时，ymax＝＝. 9.已知函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则实数t的值是　－4　. 解析：因为函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝16－4×（－1）×t＝0，得t＝－4. 10.已知函数y＝（x－2）（x＋a），其中a∈R. （1）若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值； （2）试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值. 解：（1）因为y＝（x－2）（x＋a）＝x2＋（a－2）x－2a， 所以函数的图象的对称轴为直线x＝. 由＝1，得a＝0. （2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝， 在区间（－∞，］上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间［，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而增大， 所以函数在x＝处取得最小值－（）2，即ymin＝－（）2. 11.已知函数y＝ax2＋bx＋3，在（－∞，－1]上函数值y随自变量x的增大而增大，在[－1，＋∞）上函数值y随自变量x的增大而减小，则（　　） A.b＞0且a＜0 B.b＝2a＜0 C.b＝2a＞0 D.a，b的正负不定 解析：B　由函数值的变化趋势，可知函数为一元二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴∴b＝2a＜0. 12.（2026·宿迁调研）已知函数y＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞），其函数图象关于直线x＝1对称，若函数在[m，n]上的值域为[2，6]，则n－m的最大值为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：B　由题意，函数的对称轴为直线x＝1.由函数y＝x2＋ax＋b，得－＝1，a＝－2，所以y＝x2－2x＋b.因为函数的值域为[2，＋∞），所以12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，故y＝x2－2x＋3.若函数在[m，n]上的值域为[2，6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.所以m最小为－1，n最大为3，则n－m的最大值为4. 13.若函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是　　. 解析：当a＝0时，函数y＝2x－4表示一条直线，不满足题意；当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则需满足a＜0且Δ＝22－4a×（－4）＜0，解得a＜－.综上，实数a的取值范围是. 14.〔一题多解〕已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式. 解：法一　将A（－3，0）代入函数y＝ax2＋bx＋c中，有9a－3b＋c＝0，　① 由对称轴为直线x＝－1，得－＝－1，　② 顶点M到x轴的距离为｜a－b＋c－0｜＝2，　③ 联立①②③解得或 所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 法二　因为一元二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点坐标为（－1，2）或（－1，－2）， 故可得一元二次函数的解析式为y＝a（x＋1）2＋2或y＝a（x＋1）2－2. 因为图象过点A（－3，0）， 所以0＝a（－3＋1）2＋2或0＝a（－3＋1）2－2， 解得a＝－或a＝， 故所求一元二次函数的解析式为y＝－（x＋1）2＋2＝－x2－x＋或y＝（x＋1）2－2＝x2＋x－. 法三　因为一元二次函数图象的对称轴为直线x＝－1， 又图象过点A（－3，0），所以点A关于对称轴的对称点A'（1，0）也在图象上，所以可得一元二次函数的解析式为y＝a（x＋3）（x－1）. 由题意得，顶点坐标为（－1，2）或（－1，－2）， 分别代入上式，解得a＝－或a＝， 故所求一元二次函数的解析式为y＝－（x＋3）·（x－1）＝－x2－x＋或y＝（x＋3）（x－1）＝x2＋x－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $