1.3.1 第2课时 不等式性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“不等式性质”核心知识点，从生活实例（糖水变甜）引入，系统梳理传递性、可加性、可乘性等7个基本性质，通过判断正误、证明、求范围等题型构建“引入-性质-应用-巩固”的学习支架。 资料亮点在于以生活情境培养数学眼光，如糖水浓度问题抽象数量关系，题型设计强化数学思维，通过证明和范围求解训练逻辑推理，通性通法总结助力数学语言表达。课中辅助教师引导教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第二课时　不等式性质 课标要求 掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题（逻辑推理）. 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象. 【问题】　你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 2 可加性 a＞b⇔ a＋c　＞　b＋c 可逆 3 可乘性 ⇒ac　＞　bc c的符号 ⇒ac　＜　bc 性质 别名 性质内容 注意 4 同向可加性 ⇒a＋c　＞　b＋d 同向 5 同向同正可乘性 ⇒ac　＞　bd 同向 异向异号可乘性 ⇒ac　＜　bd 异向 6 同正同向可开方性 a＞b＞0⇒＞（n∈N＋，n≥2） 同向 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N＋，n≥2） 同正 【想一想】 　同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ 提示：不一致. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＞b，则a－c＞b－c.（　√　） （2）＞1⇒a＞b.（　×　） （3）a＞b⇔a＋c＞b＋c.（　√　） （4）⇔ac＞bd.（　×　） 2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　） A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析：B　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，即＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，从而有＜. 3.已知a＞b，则下列关系中正确的是（　　） A.a－c＞b－c B.ac＞bc C.｜a｜＞｜b｜ D.a2＞b2 解析：A　对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误；对于C、D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，则a2＜b2，故D错误. 4.若－1＜m＜1，－1＜n＜1，则m－n的取值范围为　（－2，2）　. 解析：依题意－1＜m＜1，－1＜－n＜1，所以－2＜m－n＜2，即m－n的取值范围是（－2，2）. 题型一　利用不等式的性质判断命题的真假 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A.若a＞b，c＞d则a－d＞b－c B.a2＞b2⇒a＞b＞0 C.若a＞b，c＞d＞0，则＞ D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 解析：AD　对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，取a＝－2，b＝－1满足a2＞b2，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而＝－1，＝－1，＝，故C为假命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 通性通法 利用不等式的性质判断正误的2种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 1.下列命题中，正确的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ac＞bc，则a＜b C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若＜，则a＜b 解析：D　选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确.故选D. 2.〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　　） A.若a＞b且ab＞0，则＜ B.若＜且c＞0，则a＞b C.若a＞b＞0，c＜d＜0，则＞ D.若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞ 解析：AD　由ab＞0，得＞0.又a＞b，所以·a＞·b，即＜，A正确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足＜且c＞0，但a＜b，B错误；由c＜d＜0，得－c＞－d＞0，＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，＜，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以＞＞0，所以＞，D正确. 题型二　利用不等式的性质证明不等式 （1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； 证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc， 即－ac＜－bc. 又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc. （2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 又a＞b＞0， 所以a＋（－c）＞b＋（－d）＞0， 即a－c＞b－d＞0， 所以0＜＜， 又e＜0，所以＞. 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 　已知a＞b＞0，求证：＞. 证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0.　① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0.　② 由①②得＞. 题型三　利用不等式的性质求范围 已知12＜a＜60，15＜b＜36.求a－b和的取值范围. 解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15， ∴12－36＜a－b＜60－15，即－24＜a－b＜45. ∵＜＜，∴＜＜，即＜＜4. 故－24＜a－b＜45，＜＜4. 【母题探究】 　（变条件，变设问）已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围. 解：令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4，1≤ν≤2. 由解得 ∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν. 而2≤μ≤4，3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4a－2b≤10. 通性通法 　　解这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎.通常要先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，这是避免犯错误的一条重要途径. 　已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围. 解：因为－＜α＜，－＜β＜， 所以－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π. 又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π， 又2α－β＝α＋（α－β），所以－＜2α－β＜. 1.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（　　） A.a＞b＞－b＞－a B.a＞－b＞－a＞b C.a＞－b＞b＞－a D.a＞b＞－a＞－b 解析：C　由a＋b＞0知，a＞－b，∴－a＜b＜0.又b＜0，∴－b＞0，∴a＞－b＞b＞－a. 2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　） A.a＞b⇒ac2＞bc2 B.＞⇒a＞b C.⇒＞ D.⇒＞ 解析：C　当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；当ab＜0时，a＞b⇒＜，即＞，C成立.同理可证D不成立. 3.若a＞b＞c，则下列不等式成立的是（　　） A.＞ B.＜ C.ac＞bc D.ac＜bc 解析：B　∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴＜，故选B. 4.〔多选〕若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋c＞b＋c B.ac＜bc C.a2＞b2 D.＜ 解析：ACD　∵a＞b＞0，∴a2＞b2，＜， a＋c＞b＋c，即A、C、D正确；当c＝0时，ac＝bc＝0，故B错误. 5.已知1＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是　＜＜2　，2a－b的取值范围为　－2＜2a－b＜9　. 解析：因为3＜b＜4，所以＜＜，所以＜＜2.因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即－2＜2a－b＜9. 1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是（　　） A.＜ B.＜ C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜ 解析：A　∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜，故选A. 2.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A.a＋c≥b－c B.ac＞bc C.＞0 D.（a－b）c2≥0 解析：D　∵a＞b，∴a－b＞0，∴（a－b）c2≥0，故选D. 3.下列命题中正确的是（　　） A.若a＞b，则ac4＞bc4 B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk D.若a＞b＞0，则＞ 解析：D　A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，ak＜bk，故C不正确.D项，因为a＞b＞0，所以＞＞0　①，＞＞0　②，由①②得＞，故D正确. 4.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（　　） A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b 解析：B　＞⇒－＞0⇒－＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. 5.〔多选〕已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D.若a＞b，c＞d＞0，则＞ 解析：BC　若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误.故选B、C. 6.〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　） A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3 C.3≤ab≤10 D.≤≤ 解析：AC　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为≤≤，所以≤≤，故D错误.故选A、C. 7.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的　充分不必要　条件. 解析：∵－＞0，∴＞，∴（）2＞（）2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出－＞0. 8.已知三个不等式①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成　3　个正确命题. 解析：①②⇒③，③①⇒②（证明略）.由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0⇒①.所以可以组成3个正确命题. 9.给出下列命题： ①若a＜b，c＜0，则＜； ②若ac－3＞bc－3，则a＞b； ③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk； ④若c＞a＞b＞0，则＞. 其中真命题的序号是　④　. 解析：①当ab＜0时，＜不成立，故①是假命题；②当c＜0时，a＜b，故②是假命题；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③是假命题；④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，两边同乘，得0＜＜，又a＞b＞0，∴＞，故④是真命题. 10.（1）若a＜b＜0，求证：＜； （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 证明：（1）由于－＝＝. ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. （2）∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0， ∴＞0，两边同乘以得，≤. 11.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（　　） A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b 解析：A　∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），即a＞c.∴b＜d.又a＋c＜b，∴a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c. 12.〔多选〕若＜＜0，则下列结论中正确的是（　　） A.a2＜b2 B.ab＜b2 C.a＋b＜0 D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜ 解析：ABC　因为＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A、B、C均正确，因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D错误.故选A、B、C. 13.若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围为　－1＜x＋2y＜6　. 解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜4＋2，即－1＜x＋2y＜6. 14.〔一题多解〕已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围. 解：法一（待定系数法）　设4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（－m＋n）b， 所以解得 所以4a－2b＝3（a－b）＋（a＋b）. 因为1≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6. 又因为2≤a＋b≤4， 所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，即5≤4a－2b≤10. 所以4a－2b的取值范围为[5，10]. 法二（换元法）　设x＝a－b，y＝a＋b， 则a＝，b＝. 所以4a－2b＝2（x＋y）－（y－x）＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2，2≤y＝a＋b≤4， 所以5≤4a－2b≤10. 所以4a－2b的取值范围为[5，10]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $