1.3.2 第2课时 基本不等式的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦基本不等式的应用这一核心知识点，衔接基本不等式的概念与公式，通过实际问题引入，系统讲解利用基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）、条件最值及实际问题应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以鸡舍面积、公园设计等实际问题驱动，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过题型分类与通性通法总结，培养数学思维中的推理与运算能力，一题多解和母题探究助力掌握技巧。课中辅助分层教学，课后练习题与技巧总结帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第二课时　基本不等式的应用 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ 【问题】　实例中问题的实质是什么？如何求解？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　基本不等式与最值 　当x，y均为正数时，下面的命题均成立： （1）若x＋y＝s （s为定值），则当且仅当x＝y时，xy取得最大值　　； （2）若xy＝p （p为定值），则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 　2　. 提醒：利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x＞2y B.x＜2y C.x＝2y D.x＋2y＞0 解析：A　因为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y.故选A. 2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是（　　） A.10 B.20 C. D.2 解析：D　a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立.故选D. 3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为　　，此时x＝　　. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值. 题型一　利用基本不等式求最值 （1）已知x＞3，求y＝2x＋的最小值； 解：因为x＞3，所以2x－6＞0， 所以y＝2x＋＝（2x－6）＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号， 所以y＝2x＋的最小值是10. （2）已知0＜x＜，求y＝x（1－3x）的最大值； 解：因为0＜x＜，所以1－3x＞0， 所以y＝·3x（1－3x）≤（）2＝×＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时取等号. 所以y＝x（1－3x）的最大值为. （3）当x＞0时，求函数y＝的最大值. 解：∵x＞0，∴＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.故函数y＝的最大值为1. 通性通法 利用基本不等式求最值的方法 　　利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 1.已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋ 的最小值是（　　） A.2　　 　 B.2 C.4　　 　 D.5 解析：C　∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋取得最小值4. 2.已知x＜0，则＋4x的最大值为　－8　. 解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以＋（－4x）≥2＝8，当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号，所以＋4x≤－8，所以当x＜0时，＋4x的最大值为－8. 题型二　利用基本不等式求条件最值 〔一题多解〕已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 解：法一　因为x＞0，y＞0，＋＝1， 所以x＋y＝（x＋y）（＋）＝1＋＋＋9＝10＋＋≥10＋2＝16. 当且仅当即时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 法二　由x＞0，y＞0，＋＝1，得x＝，且y＞9，所以x＋y＝＋y＝1＋＋y＝（y－9）＋＋10.因为y＞9，所以y－9＞0，所以（y－9）＋＋10≥2＋10＝16. 当且仅当y－9＝，即y＝12时，取等号，此时x＝4. 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 【母题探究】 1.（变条件）本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值. 解：由2x＋8y－xy＝0，得y（x－8）＝2x. ∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝（x－8）＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立， ∴x＋y的最小值是18. 2.（变条件，变设问）本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值. 解：由＋＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当9x2＝y2，即y＝3x， 得x＝，y＝时，取“＝”， ∴＋的最小值为16. 通性通法 1.常值代换法求最值的方法步骤 常值代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 2.若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 1.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为（　　） A.3　　　 　B.4 C.5　　　 　D.6 解析：C　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立. 2.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为　3　. 解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道（阴影部分）组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m（如图所示）. （1）若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x（x＞1），求公园ABCD所占面积y（单位：m2）关于x的表达式； 解：设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝. 所以y＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋160 ＝4 000＋（8x＋20）·＋160 ＝80＋4 160（x＞1）. （2）要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 解：y≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2＝，即x＝时取等号，此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m. 通性通法 求实际问题中最值的步骤 （1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； （4）正确写出答案. 某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为　10　. 解析：由题得nx＝6 000，x＝.设总费用为y元，则y＝300n＋×10＝300n＋5x＝300n＋.因为n＞0，所以300n＋≥2＝6 000，当且仅当300n＝，即n＝10时，y取最小值，即总费用最低. 1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，则ab的最大值是（　　） A. B.2 C.2 D.4 解析：B　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤（）2＝×（）2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立.∴ab的最大值为2. 2.〔多选〕已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋（　　） A.取得最值时a＝ B.最大值是5 C.取得最值时b＝ D.最小值是 解析：AD　因为a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时，取“＝”. 3.（x＞1）的最小值为　8　. 解析：令y＝，则y＝＝x＋1＋＝（x－1）＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立.故（x＞1）的最小值为8. 4.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过多长时间后池水中该药品的浓度达到最大. 解：C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2＝4（当且仅当t＝，即t＝2时等号成立）. 所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，C取得最大值. 故经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大. 　基本不等式的应用技巧 技巧一　巧用“1”的代换或乘“1”法求最值 （1）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值是（　B　） A.4 B.5 C.6 D.9 解析：由x＋3y－5xy＝0，得＋＝5，所以3x＋4y＝（＋）（3x＋4y）＝（13＋＋）≥（13＋2）＝5，当且仅当x＝1，y＝时，取等号.故选B. （2）已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式＋－m≥0恒成立，则m的范围为　{m｜m≤＋}　. 解析：因为a＋2b＝1，所以＋＝（＋）（a＋b＋b）＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝（－1）b时，取等号，因为不等式＋－m≥0恒成立，所以m小于等于＋最小值，所以m≤＋. 通性通法 　　1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 【迁移应用】 1.已知a＞0，b＞0，＋＝2，则a＋b的最小值为（　　） A. B. C.3－2 D.3＋2 解析：B　因为a＞0，b＞0，且＋＝2，所以a＋b＝（＋）·（a＋b）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝，当且仅当b＝a即a＝，b＝时，a＋b有最小值.故选B. 2.若a，b是正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为　2＋3　. 解析：因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋＋＋1≥2＋3＝2＋3，当且仅当时等号成立. 技巧二　分离消元法求最值 若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），则＋的最小值为　8　. 解析：因为xy＋3x＝3，所以x＝，所以0＜＜，解得y＞3，所以＝y＋3，因此＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号. 通性通法 含有多个变量的最值问题的解决方法 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 【迁移应用】 1.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为　5＋2　. 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2（b－2）＋4＝2（b－2）＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2（b－2）＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2. 2.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.所以x＋2y的最小值为4. 技巧三　双换元法求最值 若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为　＋　. 解析：设则所以＋＝1，因为a＋2b＝＋2y－2＝，又因为x＋3y＝（x＋3y）（＋）＝1＋＋＋3≥2＋4＝4＋2，所以a＋2b≥＝＝＋. 通性通法 　　若题目是求含有两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元法，分别用两个分式的分母作为两个参数，转化为这两个参数的不等关系. 【迁移应用】 　已知x，y＞0，则＋的最大值为　　. 解析：设则因此＋＝＋＝－＋－＝－（＋），因为＋≥2＝，所以＋≤－＝. 1.已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 解析：B　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B. 2.已知函数y＝x＋－2（x＜0），则函数有（　　） A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为－4 D.最小值为－4 解析：C　∵x＜0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号. 3.若0＜x＜4，则有（　　） A.最小值0 B.最大值2 C.最大值 D.不能确定 解析：B　由基本不等式≤＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立，故最大值为2. 4.已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是（　　） A.18 B.16 C.8 D.10 解析：A　x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立. 5.若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（　　） A. B. C. D. 解析：B　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.又x＞0，所以x＋y＝＋≥2＝. 6.〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A.车辆运营年数越多，利润越高 B.车辆在第6年时，总利润最高 C.车辆在前5年的平均利润最高 D.车辆每年都能盈利 解析：BC　由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－（x＋）＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 7.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是　4　. 解析：＋＋2≥2＋2≥2＝4（当且仅当a＝b＝1时取等号）. 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园边长x为　20　m. 解析：设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）≤＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20 m时，面积最大. 9.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站　5　 km处. 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 10.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0， ∴2x＋5y≥2，∴2≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. （2）＋＝·（2x＋5y）＝＝≥（7＋2）， 当且仅当x＝y时，等号成立. ∴＋的最小值为（7＋2）. 11.“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为（　　） A. B.2 C.3 D.4 解析：C　因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝＝7.又由三角形边长关系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝≤×＝×＝3，当且仅当7－b＝7－c即b＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3. 12.〔多选〕已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则（　　） A.ab的最大值为2 B.2a＋b的最小值为4 C.a＋b的最小值为3 D.＋的最小值为 解析：ABD　因为6＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，解得≤，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确；由6＝ab＋2a＋b得b＝＝－2，所以2a＋b＝2a＋＝2（a＋1）＋－4≥2－4＝4，当且仅当2（a＋1）＝，即a＝1时取等号，此时2a＋b取得最小值4，B正确；a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥4－3，当且仅当a＋1＝，即a＝2－1时取等号，C错误；＋≥2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时＋取得最小值，D正确.故选A、B、D. 13.〔一题多解〕若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则： （1）ab的取值范围是　[9，＋∞）　； （2）a＋b的取值范围是　[6，＋∞）　. 解析：（1）法一（基本不等式法）　ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b时取等号，所以（）2－2－3≥0，得≥3或≤－1（舍），所以≥3，故有ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号，即ab的取值范围是[9，＋∞）. 法二（判别式法）　令ab＝t（t＞3），则b＝，代入原式得，t＝a＋＋3，整理得a2＋（3－t）a＋t＝0.Δ＝（3－t）2－4t≥0，得t≥9或t≤1（舍）.即ab的取值范围是[9，＋∞）. （2）法一（基本不等式法）　ab＝a＋b＋3≤（）2，当且仅当a＝b时取等号.令S＝a＋b＞0，则S＋3≤，整理得S2－4S－12≥0，所以S≥6或S≤－2（舍），即a＋b的取值范围是[6，＋∞）. 法二（判别式法）　令a＋b＝t（t＞0），则b＝t－a，代入原式得a（t－a）＝t＋3，整理得a2－at＋t＋3＝0.Δ＝t2－4（t＋3）≥0，得t≥6或t≤－2（舍）.即a＋b的取值范围是[6，＋∞）. 14.某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0，单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2026年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数； （2）该厂家2026年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m ＝4＋8－m ＝－＋29（m≥0）. （2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8， 当且仅当＝m＋1， 即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2026年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $