1.2.2 第2课时 全称量词命题和存在量词命题的否定(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定这一核心知识点，系统梳理全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，¬p(x)”，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，¬p(x)”，明确量词转换与结论否定的规律，作为逻辑推理的基础支架，承接前期量词命题学习，为参数范围问题铺垫。 该资料以“探险家保命”故事引入，用数学眼光发现逻辑矛盾激发兴趣，通过表格对比、通性通法总结培养数学思维中的推理意识，结合判断题、题型示例及母题探究，帮助学生用数学语言精准表达命题否定。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　全称量词命题和存在量词命题的否定 　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.” 【问题】　请问探险家该如何保命？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定 p p的否定 结论 全称量词命题“∀x∈M，p（x）” ∃x∈M，􀱑p（x） 全称量词命题的否定是　存在量词　命题 存在量词命题“∃x∈M，p（x）” ∀x∈M， 􀱑p（x） 存在量词命题的否定是　全称量词　命题 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题与其否定的真假可以相同.（　×　） （2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”.（　×　） （3）“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2＜0”.（　√　） （4）“∃x∈R，｜x｜＝x”是假命题.（　×　） 2.若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（　C　） A.∃x＞0，x2－3x＋2≤0 B.∃x≤0，x2－3x＋2≤0 C.∀x＞0，x2－3x＋2≤0 D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0 3.已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是　∃x＞2，x3－8≤0　. 题型一　全称量词命题的否定 （1）命题“∀x∈A，｜x｜＋1≥1”的否定是　∃x∈A，｜x｜＋1＜1　. 解析：命题“∀x∈A，｜x｜＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是“∃x∈A，｜x｜＋1＜1”. （2）写出下列命题的否定并判断真假： ①等圆的面积相等； ②对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； ③平面内与同一条直线垂直的两条直线平行. 解：①该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. ②该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题. ③命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题. 通性通法 1.对全称量词命题否定的两个步骤 （1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可. 　命题“负数的平方是正数”的否定是（　　） A.负数的平方不是正数 B.有些负数的平方是正数 C.所有负数的平方是正数 D.有些负数的平方不是正数 解析：D　该命题为省略了全称量词的全称量词命题，故其否定：有些负数的平方不是正数. 题型二　存在量词命题的否定 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； 解：该命题的否定为∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以是假命题. （2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； 解：该命题的否定为所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以是假命题. （3）有些三角形是锐角三角形. 解：该命题的否定为所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），所以是假命题. 通性通法 1.对存在量词命题否定的两个步骤 （1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 1.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＞0 B.∃x∈R，｜x｜＞0 C.∀x∈R，｜x｜≤0 D.∃x∈R，｜x｜≤0 解析：C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C. 2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）∃x∈R，x＋1≤0； （2）有的三角形是等腰三角形； （3）有一个偶数是素数. 解：（1）真命题.该命题的否定：∀x∈R，x＋1＞0. （2）真命题.该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形. （3）真命题.该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 题型三　根据命题的真假求参数的取值范围 〔一题多解〕已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围. 解：法一　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 法二　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0， 即4－4m＜0，得m＞1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 【母题探究】 （变条件）本例中，若条件中的“假命题”改为“真命题”，则m的取值范围是　{m｜m≤1}　. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 通性通法 由命题的否定求参数取值范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； （2）求参数取值范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求取值范围. 　已知命题：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围. 解：命题的否定是假命题即原命题是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 1.命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＋x2＜0 B.∀x∈R，｜x｜＋x2≤0 C.∃x∈R，｜x｜＋x2＜0 D.∃x∈R，｜x｜＋x2≥0 解析：C　条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“｜x｜＋x2≥0”的否定是“｜x｜＋x2＜0”. 2.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　） A.对任意实数x，都有x＞1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 解析：C　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C. 3.〔多选〕下列命题是假命题的是（　　） A.∀x∈{－1，1}，2x＋1＞0 B.∃x∈Q，x2＝5 C.∀x∈R，x2－1＞0 D.∃x∈N，｜x｜≤0 解析：ABC　对于A，x＝－1时，不合题意，A是假命题；对于B，x2＝5，x＝±，B是假命题；对于C，比如x＝0时，－1＜0，C是假命题；D是真命题. 4.命题“同位角相等”的否定为　有的同位角不相等　. 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等. 1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A.任意x∈A，2x∉B B.任意x∉A，2x∉B C.存在x∉A，2x∈B D.存在x∈A，2x∉B 解析：D　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 2.命题“存在一个无理数，它的平方是无理数”的否定是（　　） A.任意一个有理数，它的平方是无理数 B.任意一个无理数，它的平方不是无理数 C.存在一个有理数，它的平方是无理数 D.存在一个无理数，它的平方不是无理数 解析：B　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是无理数”否定后为“它的平方不是无理数”，故选B. 3.命题“∀x∈（0，2），x2－2x＋3≤0”的否定是（　C　） A.∀x∈（0，2），x2－2x＋3＞0 B.∀x∉（0，2），x2－2x＋3≤0 C.∃x∈（0，2），x2－2x＋3＞0 D.∃x∉（0，2），x2－2x＋3＞0 4.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　） A.命题p的否定是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析：C　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故命题p的否定是假命题，命题p是全称量词命题，故选C. 5.〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A.p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B.p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，p的否定是假命题 D.p是假命题，p的否定是真命题 解析：AC　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，p的否定是假命题. 6.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C.“∃x∈R，x－2＞”是真命题 D.“∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 解析：ACD　由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确. 7.命题“∀x∈R，＜0”的否定是　∃x∈R，＞0或x－2＝0　. 8.命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题，则x的取值集合M＝　{x｜x≤1或x≥7}　. 解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x｜x≤1或x≥7}. 9.已知命题p：“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　5　. 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 10.写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：不论m取何实数，关于x的方程x2＋mx－1＝0都有实根； （2）r：∃x∈{三角形}，x是等边三角形； （3）s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. 解：（1）p的否定：∃m∈R，关于x的方程x2＋mx－1＝0无实根，假命题. （2）r的否定：∀x∈{三角形}，x不是等边三角形，假命题. （3）s的否定：∀x∈R，x2＋1≠0，真命题. 11.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1} C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1} 解析：D　∵命题p为假命题，∴命题p的否定为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D. 12.〔多选〕若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（　　） A.（－∞，1） B.[－1，3] C.[0，2） D.（－3，3） 解析：AD　由题意∃x∈M，x＜0为真命题，∀x∈M，x＜3为真命题，则满足题意的选项应为集合{x｜x＜3}的子集，且满足∃x∈M，x＜0，A、D选项均满足，B选项当x＝3时不符合∀x∈M，x＜3，故错误，C选项不存在x∈M，x＜0，故错误.故选A、D. 13.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0），集合A＝{x｜－1≤x≤2}，若∀x1∈A，∃x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是　[3，＋∞）　. 解析：由二次函数的性质可得，当－1≤x≤2时，y1∈{y1｜－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知，当－1≤x≤2时，y2∈{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀x1∈A，∃x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3. 14.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0. （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 解：（1）由p为假命题，得􀱑p为真命题， 即∃x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a＜0， 即a＞x2＋x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解， 所以a＞（x2＋x）min，x∈{x｜1≤x≤2}， 易知当x＝1时，（x2＋x）min＝2， 所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}. （2）由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2. 当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2－a）≥0，解得a≥－； 当q为假命题时，a＜－. 所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－；当p为假命题，q为真命题时，a＞2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜－，或a＞2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $