1.2.1 第1课时 必要条件与充分条件(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“必要条件与充分条件”核心知识点，从命题的定义及“若p则q”形式切入，通过推出关系引出概念，结合判定定理与性质定理深化理解，构建从基础到应用的学习支架。 以“双刀开关控制灯”生活实例引入，激发兴趣，通过表格对比梳理条件关系，培养数学抽象与逻辑推理素养。题型多样且解析详尽，课中助教师高效授课，课后学生可通过练习巩固，查漏补缺。

2.1　必要条件与充分条件 课标 要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定理与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 第一课时　必要条件与充分条件 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示. 【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？ （2）B灯亮时A开关一定闭合吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　命题 定义 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题 表示 一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式 理解 当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论 符号表示 当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q 知识点二　必要条件与充分条件 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　⇒/　q 条件关系 q是p的　必要　条件 p是q的　充分　条件 q不是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件； 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 提醒：（1）①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式是等价的；（2）一般地，如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件；（3）如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；（4）如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果q是p的必要条件，那么q是唯一的.（　×　） （2）q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，则p一定不成立.（　√　） （3）“xy＞0”是“x，y都大于0”成立的充分条件.（　×　） （4）若p是q的充分条件，则q是p的必要条件.（　√　） 2.下列语句不是命题的是（　　） A.5＞2 B.3＞4 C.x－2＝0 D.方程x2－3x＋4＝0有实根 解析：C　对于A，5＞2为命题且为真命题；对于B，3＞4为命题且为假命题；对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，Δ＝9－4×4＜0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D为假命题.故选C. 3.〔多选〕下列条件中是x2＞4的充分条件的是（　　） A.x＞－2 B.x＜－2 C.x＜－3 D.x＞4 解析：BCD　当x＝0时，x＞－2，但x2＜4，故A错，B、C、D都符合. 4.p：｜x｜＝｜y｜，q：x＝y，则p是q的　必要　条件（填“充分”或“必要”）. 解析：∵x＝y⇒｜x｜＝｜y｜，即q⇒p，∴p是q的必要条件. 题型一　必要条件的判断 指出下列哪些命题中q是p的必要条件： （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解：因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解：因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）p：a＞b，q：ac＞bc. 解：因为p⇒/q，所以q不是p的必要条件. 通性通法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 1.使x＞1成立的一个必要条件是（　　） A.x＞0 B.x＞3 C.x＞2 D.x＜2 解析：A　只有x＞1⇒x＞0，其他选项均不可由x＞1推出. 2.“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的　必要不充分　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 解析：设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知B⫋A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件. 题型二　充分条件的判断 下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ （1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0； 解：由于x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0， ∴p是q的充分条件. （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 解：这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q， ∴p是q的充分条件. （3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解：∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. （4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根. 解：由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0，即m＜－. ∵m＜－1⇒m＜－，即p⇒q. ∴p是q的充分条件. 通性通法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 1.若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的　充分不必要　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件. 2.〔多选〕使0＜x＜3成立的一个充分条件是（　　） A.2＜x≤3 B.0≤x＜1 C.0＜x≤2 D.1＜x＜2 解析：CD　从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x｜0＜x＜3}的子集.由于{x｜0＜x≤2}⊆{x｜0＜x＜3}，{x｜1＜x＜2}⊆{x｜0＜x＜3}，故选C、D. 题型三　根据必要条件、充分条件求参数的取值范围 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}. q：－2≤x≤3，记集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是. 【母题探究】 （变条件）若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}. q：－3≤x≤0，记集合B＝{x｜－3≤x≤0}. 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－1≤a＜0. 所以a的取值范围是[－1，0）. 通性通法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件（p⇒q），q是p的必要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇒/p； （2）若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 已知全集U＝R，非空集合A＝{x｜2＜x＜3a＋1}，B＝{x｜a＜x＜a＋2}.记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 解：∵A≠∅，∴3a＋1＞2，即a＞. ∵q是p的必要条件，∴A⊆B， ∴解得a≤， 又a＞，∴＜a≤， 即实数a的取值范围是. 1.若a∈R，则“a＝1”是“｜a｜＝1”的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断 解析：A　当a＝1时，｜a｜＝1成立，但｜a｜＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.所以“a＝1”是“｜a｜＝1”的充分条件. 2.“x＞2”是“x＞”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析：B　∵2＜，∴“x＞2”是“x＞”的必要不充分条件.故选B. 3.已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的　充分　条件.（用“充分”或“必要”填空） 解析：由图可知，p是q的充分条件. 4.“x2＝2x”是“x＝0”的　必要　条件，“x＝0”是“x2＝2x”的　充分　条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件. 1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.既是充分条件，也是必要条件 解析：A　荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 2.若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜5} B.{a｜a≤5} C.{a｜a＞5} D.{a｜a≥5} 解析：C　由“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件知：x＞a⇒x＞5且x＞5⇒/x＞a，即{x｜x＞a}是{x｜x＞5}的真子集，可得知a＞5.故选C. 3.若p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的（　　） A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析：D　依题意，当四边形ABCD是菱形时，不一定是矩形.当四边形ABCD是矩形时，不一定是菱形.∴p⇒/ q，q⇒/ p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 4.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.必要不充分条件 D.既是充分条件又是必要条件 解析：A　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件. 5.〔多选〕下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x＜0.其中，是－1＜x＜1的充分条件的序号为（　　） A.① B.② C.③ D.④ 解析：BCD　∵－1＜x＜1，∴②③④是－1＜x＜1的充分条件. 6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D.“｜x｜＝1”是“x＝－1”的充分条件 解析：ABC　由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝－1”的必要条件，D错误.故选A、B、C. 7.若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为　1或－　. 解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以m2×22－（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－1）（2m＋1）＝0，解得m＝1或m＝－. 8.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　充分　条件（填“充分”或“必要”）. 解析：若“四边形ABCD”为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 9.设命题p：k＞5，b＜5，命题q：一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　充分　条件；q是p的　必要　条件（用“充分”或“必要”填空）. 解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝（k－4）x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. 10.指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝； （2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； （3）p：x＞4或x＜－1，q：x≥4或x＜0. 解：（1）因为x2＝2x＋1⇒/x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件. （2）因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件. （3）因为p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分条件. 11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是（　　） A.x＋y＝2 B.x＋y＞2 C.x2＋y2＞2 D.xy＞1 解析：B　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立. 12.〔多选〕一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是（　　） A.n＝4 B.n＝－5 C.n＝－1 D.n＝－12 解析：BCD　设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选B、C、D. 13.已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且B≠∅.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是　{a｜a＜－4或1＜a≤3}　. 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，因为B≠∅，所以或解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围是{a｜a＜－4，或1＜a≤3}. 14.在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？ 解：题图①中，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件. 题图②中，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件. 题图③中，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，灯泡B亮也可不闭合开关A，只要闭合开关C即可，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $