1.2.1 第2课时 充要条件(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦“充要条件”核心知识点，先通过逆命题过渡，明确“若p则q”与“若q则p”的关系，进而定义充要条件为p⇒q且q⇒p（记作p⇔q），强调等价关系及双向性。学习支架涵盖生活情境引入、知识点解析、题型示例（判断、证明、应用）和分层练习，构建从概念到应用的完整脉络。 该资料以“主人请客”生活情境引入，用数学眼光发现逻辑问题，激发学习兴趣。通过充要条件证明（如等边三角形）和含参数应用，培养推理能力与逻辑思维。课中助力教师引导探究，课后练习题与通性通法总结帮助学生巩固，提升数学语言表达与问题解决能力。

第二课时　充要条件 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起身一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去. 【问题】　（1）张三为什么走了？ （2）李四为什么也走了？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　逆命题 　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 知识点二　充要条件 1.一般地，如果　p⇒q　，且　q⇒p　，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作　p⇔q　. 2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q　等价　”. 3.当p是q的充要条件时，q也是p的　充要　条件. 提醒：符号“⇔”表示“等价”，如“A⇔B”指的是“由A推出B”，且“由B推出A”. 【想一想】 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）△ABC是直角三角形的充要条件是两边的平方之和等于第三边的平方.（　√　） （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，等价于两直线平行.（　√　） （3）ax2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件是b2－4ac＞0.（　×　） 2.已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.∴“x＝1或x＝－1”⇔“x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C. 3.设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是　a＝b＝0　. 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”. 4.设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的　充要　条件，q是p的　充要　条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）. 解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件. 题型一　充要条件的判断 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ （1）若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； 解：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件. （2）p：｜x｜＞3，q：x2＞9. 解：由于p：｜x｜＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件. 通性通法 1.判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件. 2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集. 1.以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：D　对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件.故选D. 2.设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A⊆（A∩B）的充要条件为　a≤9　；一个充分不必要条件可为　6≤a≤9（答案不唯一）　. 解析：A⊆（A∩B）⇔A⊆B，B＝{x｜3≤x≤22}. 若A＝∅，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6； 若A≠∅，由A⊆B⇔⇔ 6≤a≤9. 综上可知，A⊆（A∩B）的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 题型二　充要条件的证明 求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长） 证明：必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得， 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 通性通法 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真命题且命题“若q，则p”为真命题； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即（x－1）（ax＋a＋b）＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 综上所述，关于x的方程ax2＋bc＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型三　充分、必要及充要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 【母题探究】 （变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 通性通法 充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 　若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的充要条件； 解：集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}， 若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R. 故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. （2）A∪B＝R的一个充分不必要条件； 解：由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.（答案不唯一） （3）A∪B＝R的一个必要不充分条件. 解：由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.（答案不唯一） 1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件. 2.已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　由q：“x－2＝”，解得x＝2，由q可推出p，必要性成立，反之，由p可推出q，即充分性成立.所以p是q的充要条件.故选C. 3.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件，得A⫋B，由乙是丙的充要条件，得B＝C，由丁是丙的必要不充分条件，得C⫋D，所以A⫋D，故甲是丁的充分不必要条件.故选A. 4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝　－2　. 解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2. 1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当x＝1时，x3＝x成立.若x3＝x，即x（x2－1）＝0，得x＝－1，0，1. 2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（　　） A.ab＝0 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 解析：D　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0. 3.“x＜2”是“＜0”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件. 4.已知p：{x｜x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}.若p是q的充要条件，则实数m的值为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：C　由已知得p：{x｜－2≤x≤10}.由p是q的充要条件得{x｜－2≤x≤10}＝{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C. 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件 D.“a＜6”是“a＜8”的充分条件 解析：BD　对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件，故C为假命题；易知D为真命题. 6.〔多选〕已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则（　　） A.x∈A是x∈B的充分不必要条件 B.x∈A是x∈B的必要不充分条件 C.x∈（∁RA）是x∈（∁RB）的充分不必要条件 D.x∈（∁RA）是x∈（∁RB）的必要不充分条件 解析：AD　由题意可得A⫋B，且（∁RB）⫋（∁RA），所以x∈A是x∈B的充分不必要条件，且x∈（∁RA）是x∈（∁RB）的必要不充分条件. 7.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　m＝±2　. 解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条件. 8.若“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为　－1　. 解析：“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x≤－1，或x≥1”，但由“x≤－1，或x≥1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空： （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　充要条件　； （2）“x＜9”是“x＜6”的　必要不充分条件　. 解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. （2）设A＝{x｜x＜9}，B＝{x｜x＜6}，因为B⫋A，所以“x＜9”是“x＜6”的必要不充分条件. 10.已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明：充分性： 若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝（a2－b2）（a2＋b2）－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立，故充分性成立. 必要性： 若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－（b4＋2b2＋1）＝0， 所以a4－（b2＋1）2＝0，即（a2＋b2＋1）（a2－b2－1）＝0， 又a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1，故必要性成立. 综上，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 11.已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（　　） A.－1≤x＜3 B.－1≤x＜2 C.x＜3 D.－2≤x＜0 解析：C　p是q的充分不必要条件，只需找一个集合使{x｜－1≤x＜3}是其真子集即可，结合选项可知{x｜－1≤x＜3}是{x｜x＜3}的真子集.故选C. 12.〔多选〕已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，下列结论正确的是（　　） A.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m｜m＜1或m＞9} B.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1} C.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1} D.方程x2＋（m－3）x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m｜m＞1} 解析：CD　在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ＝（m－3）2－4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m｜m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正根一负根，等价于解得m＜0，方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜m＜0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于解得0＜m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ＝（m－3）2－4m＜0得1＜m＜9，而{m｜1＜m＜9}⊆{m｜m＞1}，故m∈{m｜m＞1}是方程无实数根的必要条件，故D正确.故选C、D. 13.已知“p：x＞m＋3或x＜m”是“q：－4＜x＜1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　（－∞，－7]∪[1，＋∞）　. 解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 14.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2. 请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 解：已知a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，△ABC为锐角三角形的充要条件是a2＋b2＞c2. 证明如下：必要性：在△ABC中，∠C是锐角，如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 显然AB2＝AD2＋DB2 ＝AC2－CD2＋（BC－CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2－2BC·CD ＝AC2＋BC2－2BC·CD＜AC2＋BC2， 即a2＋b2＞c2. 充分性：在△ABC中，a2＋b2＞c2， 所以∠C不是直角. 假设∠C为钝角，如图②，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋（BC＋CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2＋2BC·CD ＝AC2＋BC2＋2BC·CD＞AC2＋BC2， 即c2＞b2＋a2，与“a2＋b2＞c2”矛盾. 故∠C必为锐角，即△ABC为锐角三角形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $