（第一章）3.2 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

3.2 基本不等式BS 目录 考点一 公式的直接运用 2 考点二 整式分式型 6 考点三 配凑型 12 考点四 求参数 22 知识点01 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点02均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 考点一 公式的直接运用 【例1】已知，，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【详解】因为，， 则由基本不等式可得，所以有， 当且仅当时等号成立.故选：B. 【例2】(1) 已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　） A． B．2 C．4 【答案】B 【详解】， 等号成立条件是，即时取等号，即当且仅当时取等号， 所以的最大值是2. （2）若,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为,由基本不等式得: ,当且仅当,即时等号成立, 即. 典例： 1．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（    ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【详解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=， ∴2x+y=2x+2=3， 当且仅当，即x=1时取等号.故选：B. 变式训练： 1、已知，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】，， 当且仅当时取等号；所以的最小值为； 2．若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】，，，（当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 3．已知，，，且，，则的最小值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由知，，，， 当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B 4．已知函数在时取得最小值，则________． 【答案】 【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得 5、已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 6、如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 7、已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 8、若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 9、已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 10、已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】使用重要不等式即可得解 【详解】因为，又 所以，即，当且仅当时取等号， 故答案为：2. 考点二 整式分式型 【例1】(1)已知实数，则的最小值为( ) A． B． C． D． (2)已知实数，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】(1)D(2)B 【解析】(1)，正确选项为D (2)∵，， 当且仅当，即，时取等号.故选B 典例： 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：D. 2．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时，即时取“”，所以的最小值为. 故选：C. 变式训练： 1．已知,则的最小值是( ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】(当且仅当，即时取等号)的最小值为故选： 2．若正数，满足，则的最小值是( ) A． B． C．5 D．25 【答案】C 【解析】正数，满足，则，当且仅当时取等号．的最小值是5．故选：C． 3．已知，，则的最小值为_______________； 【答案】 【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为． 4．正实数 满足：，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】，当且仅当 时取等号．故答案为：9． 5．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：  对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 6、已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 7、已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：A 8、设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 9、已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 10、已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，，且，可得， 所以(当且仅当时，等号成立)； 所以的最小值为； 故答案为： 11、若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 12、若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 13、已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 14、设为正数，且，求的最小值. 【答案】2 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为为正数，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 15．设m，n为正数，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 16.已知正数、满足，则的最小值为 【答案】 【详解】，所以，， 则， 所以，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为． 考点三 配凑型 【例1】（1）若，则的最大值是( ) A． B． C． D． (2)已知，求函数的最小值是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 (3)已知，则的最小值是________． 【答案】(1)A (2)D (3)5 【解析】 (1)，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A (2)由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D （3）当时，，，当且仅当，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为.故答案为：. 例2．已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________. 【答案】 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 典例： 1．下列结论正确的是（    ）． A．若，则的最大值为 B．若，，则 C．若，，且，则的最大值为9 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确； B选项，由，，可得，即，故B正确； C选项，若，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错； D选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 2．已知，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为9 C．有最小值为 D．有最小值为3 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为 ，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 【详解】由，，且，可知，即， 当且仅当 时取等号，故A正确； ， 当且仅当 即 时取等号，故B正确； 由，，且，可知，故， 当时，取得最小值为 ，故C错误； ，当且仅当，即时取等号， 故D正确， 故选：ABD 3．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．ab最小值为 D．最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，B，C选项，结合基本不等式进行求最值即可；D选项将等式构造变形为与相乘化成能用基本不等式的形式即可. 【详解】对A选项：由 ，，则， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对B选项；， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对C选项；因为，，所以 当且仅当时等号成立，故C不正确； 对D选项；因为，， 所以 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ABD. 4．若，，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值；选项B，可使用“1”的代换，从而构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解；选项C，首先先将扩大，然后再让式子乘以两个分式分母组成的和，构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解，选项D，可直接求解出该式子的最小值，从而完成判断求解. 【详解】选项A，因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项B，因为，， 当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确； 选项C，， 当且仅当，即时等号成立， 故该选项正确； 选项D，，当且仅当， 即时等号成立，故该选项正确； 故选：ACD. 5．已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最小值是3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式可求得，判断A，将变形为结合基本不等式，判断B，由整理得到结合基本不等式可判断CD. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 由， 即，解得， 即，A错误； 对于B， 由，,， 当且仅当时取等号， 得， 所以, 又， 所以，即， 故B正确； 对C选项，因为，,， 得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确， 对于D, C选项知：， 则 ， 当且仅当，即时等号成立,但， 所以．（等号取不到）,故D错误； 故选：BC. 变式训练： 1．若，则的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】则，，当时取“=”，所以正确选项为C 2．已知，函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D. 3．函数的最小值为 ( ) A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A． 4.设，求的最大值 . 【答案】1 【解析】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 5．已知，则有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 【答案】D 【解析】 当且仅当即时取等号，故选：． 6.函数的最小值为______. 【答案】5 【解析】. ，， (当且仅当，即时取等号)， . 故答案为：. 7．已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【解析】， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 8、已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 9、若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式进行求解即可解答． 【详解】， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故答案为：25． 10、已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用配方法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 11、已知，，，求的最大值． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式结合一元二次不等式求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，即， 由，解得， 所以当时，xy取得最大值2. 考点四 求参数 【例1】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 若，则，从而无最小值，不合乎题意； 若，则，. ①当时，无最小值，不合乎题意； ②当时，，则不恒成立； ③当时，， 当且仅当时，等号成立. 所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选：C. 典例： 1．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 因为不等式有解, 所以，解得或， 所以实数的取值范围是．故选：D． 变式训练： 1．若对于任意恒成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以(当且仅当时取等号)， 则，即的最大值为，故.故选： 2．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得当时，恒成立， 又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为， 所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B. 3．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，两个正实数x，y满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又由恒成立，可得，即， 解得，即实数m的取值范围是. 4．设恒成立，则实数的最大值为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为. 故选B. 5．已知，若不等式恒成立，则的最大值为( ) A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【解析】因为，所以，， (当且仅当时，取等号)，要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A. 6．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 ( ) A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，， 在上恒成立，需， ， 当且仅当，即时等号成立， .故选：D. 7．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是( ) A．(0，8] B．(0，10] C．(0，12] D．(0，16] 【答案】D 【解析】∵、为正实数，， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴，要使恒成立，∵为正实数，∴ .故选：D. 8、设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 9、若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 10、若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以.故答案为：. 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 基本不等式BS 目录 考点一 公式的直接运用 2 考点二 整式分式型 4 考点三 配凑型 7 考点四 求参数 10 知识点01 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点02均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 考点一 公式的直接运用 【例1】已知，，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【例2】(1) 已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　） A． B．2 C．4 （2）若,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例： 1．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（    ） A．1 B．3 C．6 D．12 变式训练： 1、已知，则的最小值为_______； 2．若正数满足，则的最小值是 ． 3．已知，，，且，，则的最小值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知函数在时取得最小值，则________． 5、已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 6、如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 7、已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 8、若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9、已知，则的最大值为 ，此时 ． 10、已知实数、满足，则的最大值为 ． 考点二 整式分式型 【例1】(1)已知实数，则的最小值为( ) A． B． C． D． (2)已知实数，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 典例： 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 2．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 变式训练： 1．已知,则的最小值是( ) A．2 B． C．4 D． 2．若正数，满足，则的最小值是( ) A． B． C．5 D．25 3．已知，，则的最小值为_______________； 4．正实数 满足：，则的最小值为_____. 5．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6、已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7、已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 8、设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9、已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10、已知，且，则的最小值是 ． 11、若正数，满足，则的最小值为 ． 12、若实数，，且满足，则的最小值为 . 13、已知，且，则的最小值为 ． 14、设为正数，且，求的最小值. 15．设m，n为正数，且，则的最小值为__________. 16.已知正数、满足，则的最小值为 考点三 配凑型 【例1】（1）若，则的最大值是( ) A． B． C． D． (2)已知，求函数的最小值是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 (3)已知，则的最小值是________． 例2．已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________. 典例： 1．（多选）下列结论正确的是（    ）． A．若，则的最大值为 B．若，，则 C．若，，且，则的最大值为9 D．若，则的最大值为2 2．（多选）已知，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为9 C．有最小值为 D．有最小值为3 3．（多选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．ab最小值为 D．最小值为 4．（多选）若，，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（多选）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最小值是3 变式训练： 1．若，则的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 3．函数的最小值为 ( ) A．3 B．2 C． D． 4.设，求的最大值 . 5．已知，则有　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 6.函数的最小值为______. 7．已知，，且，则最小值为__________． 8、已知，且，则的最小值为 ． 9、若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 10、已知，则的最大值为 ． 11、已知，，，求的最大值． 考点四 求参数 【例1】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为( ) A． B． C． D． 典例： 1．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练： 1．若对于任意恒成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 3．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．设恒成立，则实数的最大值为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知，若不等式恒成立，则的最大值为( ) A．9 B．12 C．16 D．20 6．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 ( ) A．1 B． C．2 D． 7．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是( ) A．(0，8] B．(0，10] C．(0，12] D．(0，16] 8、设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9、若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 10、若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $