1.1.1 第2课时 集合的表示(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“集合的表示”核心知识点，从生活实例引入集合表示方法的多样性，系统讲解列举法（元素一一列举及注意事项）、描述法（元素满足的条件及代表符号规范），通过“想一想”辨析{0}与∅的区别，延伸至区间表示（闭、开、半开半闭区间及无穷大符号应用），构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活化情境（不同语言祝福）培养“数学眼光”，通过题型分类（列举法、描述法等）及“通性通法”总结发展“数学思维”，结合方程根、函数交点等实例强化“数学语言”表达。课中辅助教师系统授课，课后练习题与母题探究助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

第二课时　集合的表示 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”…… 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 知识点一　列举法 列举法是把集合中的元素　一一列举　出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 提醒：用列举法表示集合时的注意点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复. 知识点二　描述法 　通过描述元素　满足的条件　表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围｜　x满足的条件　}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写出集合中元素所具有的　共同特征　. 提醒：用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应为{x∈Z｜x＝2m，m∈N＋}；⑤多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x｜x＜－1，或x＞1}. 知识点三　集合的分类 　集合 【想一想】 {0}与∅相同吗？ 提示：不相同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同. 知识点四　区间及相关概念 1.区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b） {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b） {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b] 2.无穷大 符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为　（－∞，＋∞）　. 3.特殊区间的表示 集合表示 符号表示 数轴表示 {x｜x≥a} [a，＋∞） {x｜x＞a} （a，＋∞） {x｜x≤b} （－∞，b] {x｜x＜b} （－∞，b） 提醒：区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点必须小于右端点；③开或闭不能混淆. 1.方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A.{1，3} B.{1} C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3} 解析：A　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实根的集合为{1，3}. 2.不等式4x－5＜3的解集用集合表示为　{x｜x＜2}　. 解析：由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集用集合表示为{x｜x＜2}. 3.用区间表示下列数集： （1）{x｜x≥1}＝　[1，＋∞）　； （2）{x｜2＜x≤3}＝　（2，3]　； （3）{x｜x＞－1且x≠2}＝　（－1，2）∪（2，＋∞）　. 4.用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体； （3）二次函数y＝x2＋1的函数值. 解：（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}. （3）函数值y的取值集合为{y｜y＝x2＋1，x∈R}. 题型一　用列举法表示集合 用列举法表示下列集合： （1）36与60的公约数组成的集合； 解： 36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}. （2）方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； 解：方程x2＋x＝0的所有实数根为0或－1，所求集合为{0，－1}. （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），所求集合为{（0，1）}. 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{（2，3），（5，－1）}. 1.若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数是（　　） A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析：B　集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）. 2.用列举法表示下列给定的集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合A； （2）小于8的质数组成的集合B； （3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； （4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}. （2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}. （3）方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝{－1，}. （4）由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为（1，4），所以D＝{（1，4）}. 题型二　用描述法表示集合 用描述法表示下列集合： （1）正偶数集； 解：偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数集可表示为{x｜x＝2n，n∈N＋}. （2）被3除余2的正整数的集合； 解：设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x｜x＝3n＋2，n∈N}. （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解：坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）｜xy＝0}. 通性通法 描述法表示集合的2个步骤 　用描述法表示下列集合： （1）满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合； 解：解不等式3x＋2＞2x＋1，可得x＞－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x｜x＞－1}，或直接写成{x｜3x＋2＞2x＋1}. （2）平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； 解：因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{（x，y）｜x＞0，y＞0，且x，y∈R}. （3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合. 解：二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点（x，y），其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）｜y＝x2＋2x－10}. 题型三　用区间表示集合 用区间表示下列集合： （1）{x｜x＞－1}＝　（－1，＋∞）　； （2）{x｜2＜x≤5}＝　（2，5]　； （3）{x｜x≤－3}＝　（－∞，－3]　； （4）{x｜2≤x≤4}＝　[2，4]　. 解析：（1）集合{x｜x＞－1}可用开区间表示为（－1，＋∞）；（2）集合{x｜2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为（2，5]；（3）集合{x｜x≤－3}可用半开半闭区间表示为（－∞，－3]；（4）集合{x｜2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]. 通性通法 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值； （2）区间两端点之间用“，”隔开； （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 1.区间（－3，2]用集合可表示为（　　） A.{－2，－1，0，1，2} B.{x｜－3＜x＜2} C.{x｜－3＜x≤2} D.{x｜－3≤x≤2} 解析：C　由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为{x｜－3＜x≤2}，故选C. 2.已知区间（4p－1，2p＋1）为一确定区间，则p的取值范围为　（－∞，1）　. 解析：由题意，得4p－1＜2p＋1，所以p＜1. 题型四　集合与方程的综合问题 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}. 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}. 【母题探究】 1.（变条件）若集合A中有2个元素，求k的取值集合. 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0.故实数k的取值集合为{k｜k＜1，且k≠0}. 2.（变条件）若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合. 解：①当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1； ②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解， 即解得k＞1. 综上，实数k的取值集合为{k｜k＝0或k≥1}. 通性通法 集合与方程的综合问题的解题策略 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论； （3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 设y＝x2－ax＋b，A＝{x｜y－x＝0}，若A＝{－3，1}，求实数a，b的值. 解：由y＝x2－ax＋b，得A＝{x｜y－x＝0}＝{x｜x2－（a＋1）x＋b＝0}. 又A＝{－3，1}，所以关于x的方程x2－（a＋1）x＋b＝0的两个根为－3，1. 由根与系数的关系，得解得 1.集合{x∈N｜x－2＜2}用列举法可表示为（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4} D.{0，1，2，3} 解析：D　{x∈N｜x－2＜2}＝{x∈N｜x＜4}＝{0，1，2，3}. 2.下列集合的表示方法正确的是（　　） A.第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）｜xy≤0，x∈R，y∈R} B.不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 解析：D　选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复. 3.〔多选〕下列说法错误的是（　　） A.0∈∅ B.∅＝{0} C.∅中元素的个数为0 D.∅∈{0} 解析：ABD　空集是不含任何元素的集合，∅中元素的个数为0，其他表述都不正确. 4.若（a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是　　. 解析：∵（a，3a－1]为一确定区间，∴a＜3a－1.解得a＞，∴实数a的取值范围是. 5.用描述法表示图中阴影部分（包含边界）的点构成的集合为　{（x，y）｜0≤x≤2且0≤y≤1}　. 解析：由题意得，图中的阴影部分（包含边界）的点构成的集合是点集，即{（x，y）｜0≤x≤2且0≤y≤1}. 1.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A.（2，＋∞） B.[2，＋∞） C.（－∞，2） D.（－∞，2] 解析：B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞）. 2.集合{x∈N｜x－2＜3}用列举法表示是（　　） A.{1，2，3，4} B.{1，2，3，4，5} C.{0，1，2，3，4，5} D.{0，1，2，3，4} 解析：D　由题知{x∈N｜x－2＜3}＝{x∈N｜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，故选D. 3.已知集合A＝{x｜3x＋2＞m}，若－1∈A，则（　　） A.m＜－1 B.m＞－1 C.m≤－1 D.m≥－1 解析：A　因为集合A＝{x｜3x＋2＞m}，－1∈A，所以－3＋2＞m，即m＜－1. 4.集合A＝，则集合A中的元素个数为（　　） A.4　　　　B.5 C.6　　　 　D.7 解析：C　因为∈N＋，所以5－n为12的正约数，故A＝{－7，－1，1，2，3，4}，故集合A中的元素有6个，故选C. 5.〔多选〕大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（　　） A.{x｜x＝2k－1，k∈N} B.{x｜x＝2k＋1，k∈N，k≥2} C.{x｜x＝2k＋3，k∈N} D.{x｜x＝2k＋5，k∈N} 解析：BD　对于A：{x｜x＝2k－1，k∈N}＝{－1，1，3，…}；对于B：{x｜x＝2k＋1，k∈N，k≥2}＝{5，7，9，…}；对于C：{x｜x＝2k＋3，k∈N}＝{3，5，7，…}；对于D：{x｜x＝2k＋5，k∈N}＝{5，7，9，…}，故选B、D. 6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.M＝{x｜x＞2}，N＝{t｜t＞2}是同一个集合 B.在平面直角坐标系内，第一、第三象限的点的集合为{（x，y）｜xy＞0} C.集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}是相等的 D.若集合A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A 解析：AB　对于A，根据两个集合相等的定义知M与N是同一个集合，故A正确；对于B，因为xy＞0，所以或所以集合{（x，y）｜xy＞0}表示平面直角坐标系内第一、第三象限的点的集合，故B正确；对于C，集合{（x，y）｜y＝1－x}表示直线y＝1－x上的点，集合{x｜y＝1－x}表示函数y＝1－x中x的取值范围，故集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}不相等，故C错误；对于D，A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误.故选A、B. 7.反比例函数y＝的自变量组成的集合为　{x｜x≠0}　. 解析：∵反比例函数y＝的自变量为x，∴反比例函数y＝的自变量组成的集合为{x｜x≠0}. 8.集合{x｜x＝2m－3，m＜5，m∈N＋}，用列举法表示为　{－1，1，3，5}　. 解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m＜5，m∈N＋，则m可取值为1，2，3，4，则满足条件的x值为－1，1，3，5.则集合用列举法表示为{－1，1，3，5}.　 9.两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为　{3，4，5，6，7}　，用描述法表示为　{x｜2＜x＜8，x∈Z}　. 解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x＞5－3，x＞2；x＜5＋3，x＜8，所以x的取值范围为：2＜x＜8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x｜2＜x＜8，x∈Z}. 10.选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于6的有理数； （3）图中阴影部分的点（含边界）的集合. 解：（1）方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}. （2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}. （3）题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为. 11.集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x｜x＝4n＋1，n∈Z}，若a∈A，b∈B，则必有（　　） A.a＋b∈A B.a＋b∈B C.a＋b∈C D.a＋b不属于集合A，B，C中的任何一个 解析：B　因为a∈A，b∈B，所以a为偶数，b为奇数，所以a＋b为奇数，所以a＋b∈B.注意C选项，0∈A，3∈B，但0＋3∉C. 12.〔多选〕已知a∈Z，A＝{（x，y）｜ax－y≤3}，且（2，1）∈A，（1，－4）∉A，则a取值可能为（　　） A.－1　 　　 B.0 C.1　 　 　D.2 解析：BCD　选项A：当a＝－1时，－2－1≤3，－1－（－4）≤3，故（2，1）∈A，（1，－4）∈A，A错误；选项B：当a＝0时，－1≤3，－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4）∉A，B正确；选项C：当a＝1时，2－1≤3，1－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4）∉A，C正确；选项D：当a＝2时，2×2－1≤3，2×1－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4）∉A，D正确.故选B、C、D. 13.若区间[a－1，a]关于原点对称，则a＝　　，此时区间为　　. 解析：由已知得a－1＝－a，解得a＝.此时区间为. 14.已知a∈R，集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋2＝0}. （1）若A是空集，求实数a的取值范围； （2）若集合A中只有一个元素，求集合A； （3）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 解：（1）若A是空集，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无解，此时a≠0，且Δ＝9－8a＜0， 所以a＞，即实数a的取值范围是（，＋∞）. （2）当a＝0时，A＝{}，符合题意； 当a≠0时，关于x的方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a＝0，得a＝，此时A＝，符合题意. 综上所述，当a＝0时，A＝；当a＝时，A＝{}. （3）当a＝0时，A＝{}，符合题意； 当a≠0时，要使关于x的方程ax2－3x＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a≥0，得a≤. 综上所述，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为（ －∞，］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $