（第一章）2.2 全称量词与存在量词 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

2.2 全称量词与存在量词BS 思维导图 目录 考点一 全称量词命题的判断 2 考点二 存在量词命题的判断 4 考点三 全称、存在命题真假的判断 6 考点四 命题的否定 11 考点五 全称、存在求参数 14 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 量词 所有的、任意一个 符号 ∀ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 量词 存在一个、至少有一个 符号 ∃ 命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点03 含有量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 考点一 全称量词命题的判断 【例1】下列命题含有全称量词的是 ( ) A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数 例2、下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 变式训练： 1．下列语句不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 2． (多选)下列命题中，是全称量词命题的有( ) A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立 C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立 E. 矩形的对角线垂直平分 3．下列命题中是全称命题的是(　　) A．圆有内接四边形 B． C． D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 4．下列命题中全称命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列命题中，全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两条边的长度不相等； ③存在一个菱形，它的四条边不相等； ④高二(1)班绝大多数同学是团员． A．0 B．1 C．2 D．3 考点二 存在量词命题的判断 例1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 变式训练： 1．下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题不是存在量词命题的是( ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数 3．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 4．（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（    ） A．有一个，使得成立 B．对有些，成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆 (3)二次函数的图象都与x轴相交； (4)存在一对实数x，y，使成立 6、判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 7、判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 8、判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 9、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数； （4）每一个多边形的外角和都是360°. 10、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何实数的平方都是非负数； （2）任何数与0相乘，都等于0； （3）任何一个实数都有相反数； （4）有些三角形的三个内角都是锐角. 11、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 考点三 全称、存在命题真假的判断 例1、（多选）下列四个命题中假命题是（    ） A．， B．， C．，使 D．， 例2、判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 例3、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； 典例： 1．（多选）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．每一个锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 变式训练： 1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q C．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0 2．关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是 ( ) A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题 C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题 3．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．∃x∈N，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 5．(多选)已知下列命题其中正确的有( ) A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题 C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题 D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 6、判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 7、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 8、判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 9、指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 10、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 11、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假． (1)对任意的实数，关于的方程恰有唯一解; (2)存在实数，使得=． 考点四 命题的否定 【例1】设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是 ( ) A．， B．， C．， D．， 【例2】下列命题的否定为假命题的是( ) A．， B．， C．， D．， 典例： 1．命题：“”的否定形式为（    ） A． B． C． D． 2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数 3．（2024年 新高考二卷）已知命题：；命题：，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 变式训练： 1．已知命题，，则命题的否定是( ) A．， B．， C．， D．， 2．命题“”的否定为( ) A． B． C． D． 3．已知，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 4．命题“，”的否定形式是( ). A．， B．， C．， D．， 5．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 6、写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 7、已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 8、写出下列全称（存在量词）命题的否定： (1)，； (2)，； 9、写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 10、写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 考点五 全称、存在求参数 【例1】(1)命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． (2)若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． （3）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是( ). A． B． C． D． 典例： 1．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．命题：“，”，命题：“，”. (1)写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 变式训练： 1．命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 2．命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 5． “，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 6．命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________. 7．若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______． 8、已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 9、已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求的取值范围． 10、已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 11、已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围； 12．已知命题存在实数，使成立. (1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围； (2)命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 全称量词与存在量词BS 思维导图 目录 考点一 全称量词命题的判断 2 考点二 存在量词命题的判断 5 考点三 全称、存在命题真假的判断 10 考点四 命题的否定 17 考点五 全称、存在求参数 23 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 量词 所有的、任意一个 符号 ∀ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 量词 存在一个、至少有一个 符号 ∃ 命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点03 含有量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 考点一 全称量词命题的判断 【例1】下列命题含有全称量词的是 ( ) A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数 【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B. 例2、下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【答案】C 【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题． 故选：C. 变式训练： 1．下列语句不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【答案】C 【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C. 2． (多选)下列命题中，是全称量词命题的有( ) A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立 C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立 E. 矩形的对角线垂直平分 【答案】BCE 【解析】 A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题； B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题； E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE 3．下列命题中是全称命题的是(　　) A．圆有内接四边形 B． C． D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 【答案】A 【解析】A命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题．其余三命题均不为全称命题． 故选A． 4．下列命题中全称命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称命题，③含有“存在”，是特称命题． 5．下列命题中，全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两条边的长度不相等； ③存在一个菱形，它的四条边不相等； ④高二(1)班绝大多数同学是团员． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题 ②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题 ③为存在量词命题 ④可改写为“高二(1)班有的同学不是团员”，为存在量词命题 全称量词命题为：①②本题正确选项： 考点二 存在量词命题的判断 例1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【详解】（1）负数没有倒数是“任意负数没有倒数”，有全称量词是全称量词命题 （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；有存在量词“至少有一个”是存在量词命题 （3）{x|x是无理数}，是无理数；有全称量词是全称量词命题 （4），则.有全称量词是全称量词命题 变式训练： 1．下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B. 2．下列命题不是存在量词命题的是( ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数 【答案】C 【解析】A、B、D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C. 3．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 4．（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（    ） A．有一个，使得成立 B．对有些，成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 【答案】ABD 【详解】命题“，”中表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故选项ABD正确； 选项C中任选一个，表示对所有的是全称命题，故选项C不正确； 故选：ABD 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆 (3)二次函数的图象都与x轴相交； (4)存在一对实数x，y，使成立 【答案】(1)全称量词命题；(2)存在量词命题；(3)全称量词命题；(4)存在量词命题 【解析】(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称量词命题. (2)命题中含有存在量词，为存在量词命题. (3)命题完整的表述为“所有的二次函数的图象都与x轴相交”，故为全称量词命题. (4)命题中含有存在量词，为存在量词命题. 6、判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 7、判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析 (2)存在量词命题，理由见解析 (3)全称量词命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断． 【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 8、判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 9、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数； （4）每一个多边形的外角和都是360°. 【答案】（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题. 【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，如“有的”，“某些”，“存在”； 含有全称量词的命题是全称量词命题，如“所有的”，“每一个”，“凡是”，“任意的”. 【详解】（1）“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题； （2）“所有的”是全称量词，故命题为全称量词命题； （3）题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题； （4）“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题. 故答案为：（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题. 10、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何实数的平方都是非负数； （2）任何数与0相乘，都等于0； （3）任何一个实数都有相反数； （4）有些三角形的三个内角都是锐角. 【答案】（1）全称量词命题  （2）全称量词命题   （3）全称量词命题  （4）存在量词命题 【分析】由全称量词命题和存在量词命题的定义，依次判断即可 【详解】（1）由题意，命题研究所有实数的性质，故为全称量词命题； （2）由题意，命题研究任何数的性质，故为全称量词命题； （3）由题意，命题研究任意一个实数的性质，故为全称量词命题； （4）由题意，命题研究部分三角形的性质，故为存在量词命题. 11、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【答案】（1）全称命题；（2）全称命题；（3）特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题. 【分析】根据全称量词和特称命题的定义判断. 【详解】（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题 考点三 全称、存在命题真假的判断 例1、（多选）下列四个命题中假命题是（    ） A．， B．， C．，使 D．， 【答案】ABD 【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，所以A为假命题； 对于B中，当时，，所以B为假命题； 对于C中，当时，，所以C为真命题； 对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题. 故选：ABD. 例2、判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)假命题 (6)真命题 (7)真命题 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）因为是无理数，但是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）当时，不满足，所以“，有”为假命题． （4）由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6），有，因此存在量词命题“，”是真命题． （7）由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 例3、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； 【答案】(1)是全称量词命题；是真命题；(2)是存在量词命题；是假命题；(3)是全称量词命题；是假命题. 【解析】(1)是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题. (3)是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题. 典例： 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形 【答案】ACD 【分析】由全称命题的概念判断． 【详解】选项ACD是全称命题，选项B是特称命题， A中，由，正确； CD均正确． 故选：ACD． 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．每一个锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 【答案】B 【详解】对于，锐角三角形中的内角都是锐角，故为假命题 对于，至少有一个实数，使，是特称命题，并且满足题意，故为真命题 对于，，显然两个无理数的和必是无理数不正确，是假命题 对于，为特称命题，存在一个负数，使，显然不正确，为假命题 综上所述，故选 变式训练： 1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q C．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0 【答案】B A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．故选B． 2．关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是 ( ) A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题 C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题 【答案】A 【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 3．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1).真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题； (3)假命题； (4)，真命题. 【解析】(1)，是真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，； (3)假命题,因为必为偶数； (4).真命题,例如. 4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．∃x∈N，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 【答案】C 【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当时结论不成立），故A不正确； 对B，是真命题(当时即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确， 5．(多选)已知下列命题其中正确的有( ) A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题 C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题 D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 【答案】BCD 【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误. 对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确; 对于C, “至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD故答案为: BCD 6、判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)真命题 【分析】利用可判断（1）；举反例可判断（2）；举例可判断（3）；求出的实数根可判断（4）；根据三角形总有外接圆可判断（5）． 【详解】（1）因为，，从而有，即．因此（1）是真命题； （2）因为，但当时，不成立，因此（2）是假命题； （3）因为且，因此（3）是真命题； （4）因为只有两个实数根或，所以当时，因此（4）是假命题； （5），，三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则，因此（5）是真命题． 7、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 8、判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. （3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. （4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 9、指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 10、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)存在量词命题，假命题 【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假； （2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假； 【详解】（1）解：该命题是全称量词命题． 当a＝0，b＝0时方程有无数解， 故该命题为假命题． （2）该命题是存在量词命题． ∵， ∴不存在实数x，使， 故该命题是假命题． 11、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假． (1)对任意的实数，关于的方程恰有唯一解; (2)存在实数，使得=． 【答案】(1)该命题是全称量词命题，假命题； (2)该命题是存在量词命题，假命题． 【分析】（1）举例说明为假命题即可； （2）根据特称命题的真假判断即可. 【详解】（1）该命题是全称量词命题， 取时，方程无解， 故为假命题； （2）该命题是存在量词命题， 因为， 所以 ， 故该命题是假命题． 考点四 命题的否定 【例1】设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是 ( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A. 【例2】下列命题的否定为假命题的是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对A，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由得，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误； 对B，，，故B为假命题，其否定为真命题，故B错误； 对C，，故C为假命题，其否定为真命题，故C错误； 对D，存在或，使，故D为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D. 典例： 1．命题：“”的否定形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题：“”的否定形式 ，. 故选：A． 【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题, 2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数 【答案】B 【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果. 【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”. 故选：B 3．（2024年 新高考二卷）已知命题：；命题：，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可判断选项. 【详解】当时，,p是假命题，是真命题； 当时，,是真命题； 故选：B. 变式训练： 1．已知命题，，则命题的否定是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题为特称命题，其否定为，.故选：C. 2．命题“”的否定为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B. 3．已知，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为，是全称命题，故为：，；故选：A． 4．命题“，”的否定形式是( ). A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为，,故选D. 5．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析. 【解析】(1) p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除． p为真命题． (2) p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故p为假命题． (3) p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0. p为真命题． (4) p：∃x0，y0∈R，x02＋y02＋2x0－4y0＋5≠0. p为真命题． 6、写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【详解】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 7、已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 【答案】(1) (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题的否定. （2）根据二次函数的知识进行判断. 【详解】（1）由命题， 可得命题的否定为； （2）命题为假命题，理由如下： 因为，当时，， 故命题为假命题． 8、写出下列全称（存在量词）命题的否定： (1)，； (2)，； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定. 【详解】（1），的否定为：，； （2），的否定为：，； 9、写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可． 【详解】（1）易知原命题的否定为：， 显然，故为假命题； （2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题； （3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则是假命题； （4）易知原命题的否定为：． 显然当时，，则命题为假命题． 10、写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【答案】(1)，；真命题 (2)，；假命题 (3)，；假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可． 【详解】（1）命题的否定：，． 因为，恒成立，所以命题的否定为真命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，，所以命题的否定为假命题． （3）命题的否定：，． 因为当，时，，所以命题的否定为假命题． 考点五 全称、存在求参数 【例1】(1)命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． (2)若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． （3）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】(1)B (2)B （3）B 【解析】(1)，，∴要使恒成立，则恒成立，即， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.故选：B. (2)由题得，原命题的否命题是“，使”， 即，解得．选B. （3）命题“”是真命题，则需满足，解得或.故选：B. 典例： 1．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为命题“”为假命题， 所以“”为真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 2．命题：“，”，命题：“，”. (1)写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，命题：“，”， 根据全称命题的否定形式，：“，” 当命题为真时，，当 二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为 故当时，函数取得最小值，即 故实数的取值范围是 （2）由（1）若为真命题，若为假命题 若命题：“，” 为真命题 则，解得 故若为假命题 由题意，和中有且只有一个是真命题， 当真和假时，且，故； 当假和真时，且，故； 综上：实数的取值范围是或 变式训练： 1．命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C. 2．命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，要使 “，使得”为真命题， 则对应的方程满足，解得，故选B. 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B． 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】即，所以，解得， 只有D选项是其必要不充分条件.故选：D 5． “，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【答案】 【解析】因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即，所以答案为“”. 6．命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________. 【答案】. 【解析】由题意知，命题为假，即恒成立，所以，所以，所以. 故答案为：. 7．若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题， 则∃x∈R，ax2+2x+1≤0， 当a＝0时，y＝2x+1为一次函数，满足条件； 当a＜0时，y＝ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件； 当a＞0时，y＝ax2+2x+1是开口朝上的二次函数， 则函数图象与x轴有交点，即△＝4﹣4a≥0， 解得：0＜a≤1 综上可得：实数a的取值范围是： 故答案为： 8、已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 9、已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 10、已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1） ， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 11、已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围； 【答案】. 【分析】由命题r的否定为真命题，结合二次函数的性质求解即可 【详解】因为命题r为假命题，所以命题r的否定：恒成立为真命题， 则，解得， 故实数a的取值范围为 12．已知命题存在实数，使成立. (1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围； (2)命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)存在实数，使成立或，实数a的取值范围为； (2)任意实数，使恒成立，，，， 由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围. 11 学科网（北京）股份有限公司 $