1.1.3 第2课时 全集与补集 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的“全集与补集”，通过“思考1”“思考2”引导学生理解全集相对性和补集概念，承接子集、交并集知识，构建完整集合运算体系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过数轴、Venn图直观教学，例5“正难则反”思想培养逆向推理能力，题型分类与误区警示助学生掌握运算逻辑。教师可利用丰富例题提升教学效率，学生能增强符号意识与问题解决能力。

§1　集　合 1.3　集合的基本运算 第2课时　全集与补集 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的________，这个给定的集合叫作全集． (2)表示方法：常用符号U表示． 子集　 知识点1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　补集 知识点2 设U是全集，A是U的一个________(即__________)，则由U中所有____________的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集 子集　 A⊆U　 不属于A　 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：怎样理解补集？ 提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　补集的性质 对任何集合A，有A∪(∁UA)＝______，A∩(∁UA)＝______，∁U(∁UA)＝______． U　 知识点3 ∅　 A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．已知集合A＝{x|x＜－5或x＞7}，则∁RA＝ (　　) A．{x|－5＜x＜7}　　 B．{x|－5≤x≤7} C．{x|x＜－5}∪{x|x＞7}　 D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7} [解析]　∵A＝{x|x＜－5或x＞7}，∴∁RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．(2021·全国高考乙卷文科)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，5}，则∁U(M∪N)＝ (　　) A．{5}　 B．{1，2} C．{3，4}　 D．{1，2，3，4} [解析]　由题意可得：M∪N＝{1，2，3，4}，则∁U(M∪N)＝{5}．故选A． A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁UA)∩B＝ (　　) A．{－1}　 B．{0，1} C．{－1，2，3}　 D．{－1，0，1，3} [解析]　∵∁UA＝{－1，3}，∴(∁UA)∩B＝{－1，3}∩{－1，0，1}＝{－1}，故选A． A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系是______________． [解析]　全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA＝{4，5，…}，则∁UB＝{3，4，5，…}，则∁UA∁UB． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 5．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}，∁UA＝{2，4，6，8}，∁UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B． [解析]　解法一：∵A＝{1，3，5，7，9}，∁UA＝{2，4，6，8}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． 又∵∁UB＝{1，4，6，8，9}，∴B＝{2，3，5，7}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 解法二：借助韦恩图，如图所示， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． ∵∁UB＝{1，4，6，8，9}，B＝{2，3，5，7}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 补集的运算  　　　　(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝__________________． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则∁UA＝____________________________． [分析]　(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解． (2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解． 例 1 {2，3，5，7}　 {x|x＜－3，或x＝5}　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}． (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x＜－3，或x＝5}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求集合的补集的方法 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求集合的补集的方法 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝ (　　) A．∅　　　　　 B．{2} C．{5}　 D．{2，5} (2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____． B　 2　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 交集、并集、补集的综合运算  　　　　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． [分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出∁UA及∁UB，再求解． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　如图，     由图可得∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}． 如图， 由图可得∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 如图， 由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}， ∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求集合交、并、补运算的方法 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　(1)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪(∁UB)＝_______________； (2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝ (　　) A．{x|0≤x＜1}　　 B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0}　 D．{x|x＞1} [解析]　(1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1，2，3}． (2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}． {1，2，3}　 B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 根据集合运算结果求参数的值或范围  　　　　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，且(∁UA)∩B＝∅，求实数k的取值范围． [分析]　求∁UA，然后根据(∁UA)∩B＝∅分类讨论． [解析]　因为全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}， 所以∁UA＝{x|1＜x＜3}， 因为集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，(∁UA)∩B＝∅， 例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　由集合运算结果求参数的方法 (1)利用Venn图分析． 当集合中元素个数有限时，可根据集合运算结果，利用Venn图直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)． (2)利用数轴分析． 当集合中元素个数无限时，可根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系，通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围)． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素， 则实数a的取值范围为_________________． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 忽视空集的特殊性 　　　　已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为____________________． {a|a＜1或a＞3}　 例 4 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪∅＝A，所以错解忽略了B＝∅时的情况． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　∅有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A，因此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 “正难则反”思想的应用 “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合． [分析]　要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可． [解析]　若B∪A＝A，则B⊆A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况： ①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4； 例 5 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．(2022·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝ (　　) A．{1，3，4}　 B．{3，4} C．{3}　 D．{4} [解析]　A∪B＝{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}， ∴∁U(A∪B)＝{4}． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为 (　　) A．{x|－2≤x＜1}　 B．{x|－2≤x＜3} C．{x|x≤2或x＞3}　 D．{x|－2≤x≤2} [解析]　由题意得阴影部分集合为∁U(M∪N)． ∵M∪N＝{x|x≥1或x＜－2}， ∴∁U(M∪N)＝{x|－2≤x＜1}．故选A． A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝___________． [解析]　由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁UA＝{4，6，7，9，10}，所以(∁UA)∩B＝{7，9}． {7，9}　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，求A∩(∁UB)，(∁UA)∩(∁UB)． [解析]　∁UA＝{1，3，6，7}，∁UB＝{2，4，6}， ∴A∩(∁UB)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁SB，∁SA． [解析]　B∩C＝{x|x是正方形}，∁SB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，∁SA＝{x|x是梯形}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） → → __________________________ → ∁UA∁UB　 [解析]　(1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则∁UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B． (2)∵A∪(∁UA)＝U，且A∩(∁UA)＝∅， ∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2． 所以分以下两种情况讨论： (1)若B＝∅，则k≥2k＋1，解得k≤－1； (2)若B≠∅，则或解得k≥3或－1＜k≤0． 由(1)(2)可知，实数k的取值范围是k≤0或k≥3． 　 [解析]　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a＜且a≠0，则此时实数a的取值范围是．在全集U＝R中，集合的补集是．所以满足题意的实数a的取值范围是． [错解]　∵A∪B＝A，∴B⊆A， 从而有或解得a＞3． 故实数a的取值范围是a＞3． [正解]　∵A∪B＝A，∴B⊆A． ①当B≠∅时，有或解得a＞3． ②当B＝∅时，由a＞2a－1，得a＜1． 综上可知，实数a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}，故填{a|a＜1或a＞3}． ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4． 若a＝－4，则B＝{2}⃘A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A； ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴，∴a＝－2． 综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}． ∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a＜4且a≠－2}． $