第1章 1.3 第2课时 全集与补集（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦“全集与补集”，系统讲解概念、运算及综合应用，通过数系扩展实例（自然数到实数）导入，衔接上节课并集、交集知识，搭建学习支架帮助学生理解研究范围的重要性。 其亮点是运用Venn图、数轴直观呈现集合关系，培养几何直观（数学眼光），通过列举法、描述法例题训练推理能力（数学思维），综合运算与参数求解实例提升数学语言表达，课堂小结与对点练助力学生巩固，为教师提供结构化资源，提高教学效率。

第2课时 全集与补集 第一章　1.3　集合的基本运算 <<< 1.在具体情境中，了解全集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 学习目标 上节课我们学习了集合的两种运算——并集和交集.这节课我们继续来研究集合的基本运算.首先我们来看看从小学到初中对于数的研究：  我们在研究问题时，研究对象的范围不同，得到的结果可能会不同！ 导 语 一、全集与补集 二、交集、并集、补集的综合运算 课时对点练 三、由补集的运算求参数的值(范围) 内容索引 全集与补集 一 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 若U＝{2，，－}，A＝{2}，B＝{，－}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 问题 1.全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作 ，常用符号 表示，全集 所要研究的这些集合. 全集 U 包含 知识梳理 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作______ 符号语言 ∁UA＝_______________ 图形语言   运算性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝ ，∁U(∁UA)＝ ，A∪(∁UA)＝ ，A∩(∁UA)＝____ 2.补集 ∁UA {x|x∈U，且x∉A} U A U ∅ (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 注 意 点 <<< 9 　(课本例7)设全集U＝{x|x是小于10的正整数}，A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，求∁UA，∁UB. 例 1 依题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，所以∁UA＝{1，3，5，7，9}，∁UB＝{1，4，6，8，9}. 解 10 　(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝　 　　　.  例 1 A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}. 解析 {2，3，5，7} 11 (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝____________ 　 .  将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}. 解析 {x|x<－3， 或x＝5} 12 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法. (2)两个处理技巧 ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 反 思 感 悟 13 　(1)若全集U＝[－2，2]，A＝[－2，0]，则∁UA等于 A.(0，2) B.[0，2) C.(0，2] D.[0，2] 跟踪训练 1 √ ∵U＝[－2，2]，A＝[－2，0]， ∴∁UA＝(0，2]. 解析 14 (2)设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈U|x2－5x＋m＝0}，若∁UA＝{2，3}，则m＝　　　.  因为U＝{1，2，3，4}，∁UA＝{2，3}， 所以A＝{1，4}， 即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两个根， 由根与系数的关系可得m＝1×4＝4. 解析 4 15 二 交集、并集、补集的综合运算 　(课本例8)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； 例 2 在数轴上表示出集合A，B(如图①)， 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3} ＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}； 解 17 (2)∁R(A∪B)； 由图①可知  A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R， 所以∁R(A∪B)＝∅； 解 18 (3)(∁RA)∩(∁RB)； 在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)，即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅； 解 19 (4)(∁RA)∪(∁RB). 由图②可知 (∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3， 或x≥5}. 解 20 　已知集合U＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}.求： (1)(∁UA)∩(∁UB)； 例 2 在数轴上表示出集合U、集合A和集合B，如图所示， 则A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁UA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁UB＝{x|1<x<3}∪{7}. 由此可得， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7，或1<x<2}. 解 21 (2)∁U(A∪B)； ∁U(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7，或1<x<2}. 解 (3)(∁UA)∪(∁UB)； (∁UA)∪(∁UB)＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}∪{x|1<x<3}∪{7}＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}. 解 22 (4)∁U(A∩B). ∁U(A∩B)＝{x|1<x<3，或5≤x≤7}. 解 23 (1)求集合交、并、补运算的方法 反 思 感 悟 (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 24 　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝，则∁A(A∩B)等于 A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 跟踪训练 2 因为A＝{1，2，3，4，5，9}， B＝{x|∈A}， 所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}. 解析 √ 25 (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 26 ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， U＝{x|x≤4}，如图所示. ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}， A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}. 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}. 解 由补集的运算求参数的值(范围) 三 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围. 例 3 29 方法一　(直接法) 由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}. 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 如图所示，所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是[2，＋∞). 解 30 方法二　(集合间的关系) 由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴(如图)， 得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞). 解 31 　将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 延伸探究 1 由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是(－∞，－4]. 解 32 　将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 延伸探究 2 由已知得A＝{x|x≥－m}， ∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}. 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2. 所以m的取值范围是[2，＋∞). 解 33 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，可利用补集定义求解. (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般借助数轴求解. 反 思 感 悟 34 1.知识清单： (1)全集和补集的概念及运算. (2)并、交、补集的混合运算. (3)与补集有关的参数的求解. 2.方法归纳：正难则反、数形结合. 3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A AB C A 7 {a|a≥2} 题号 11 12 13 14 15 答案 B B D a≤ BCD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}， A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 方法二　(Venn图法)画出Venn图，如图所示， 可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}， (∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当a＝1时，A＝{x|1<x<2}， B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|0≤x≤2}. (2)若选①A∩B＝∅，则a＋1≤0或a≥2， 解得a≤－1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A＝∅，∁RB＝{x|x<0或x>2}， 所以解得0≤a≤1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选③B∪(∁RA)＝R，∁RA＝{x|x≤a或x≥a＋1}， 所以解得0≤a≤1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A＝{x|－5<x<4}，B＝{x|x<－6，或x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<4}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥4}，∁UB＝{x|－6≤x≤1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}， 而C＝{x|x<m}，∴当(A∩B)⊆C时，m≥4， 当(∁UA)∩(∁UB)⊆C时，m>－5，∴m≥4， 即实数m的取值范围为{m|m≥4}. 基础巩固 1.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，5，7}，N＝{5，6，7}，则∁U(M∪N)等于 A.{5，7} B.{2，4} C.{2，4，8} D.{1，3，5，6，7} √ ∵M∪N＝{1，3，5，7}∪{5，6，7}＝{1，3，5，6，7}，∴∁U(M∪N)＝{2，4，8}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知集合U＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁UB等于 A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由集合U＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁UB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}. 解析 3.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} √ 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝ {5，7}，则a的所有可能取值是 A.2 B.8 C.4 D.3 √ ∵A∪(∁UA)＝U， ∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知U为全集，集合M，N是U的子集.若M∩N＝N，则 A.(∁UM)⊇(∁UN) B.M⊆(∁UN) C.(∁UM)⊆(∁UN) D.M⊇(∁UN) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴(∁UM)⊆(∁UN). 解析 6.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}，若(∁UA)∩B＝∅，则实数a的取值范围为 A.{a|a≤3} B.{a|a<3} C.{a|a≥7} D.{a|a>7} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A＝{x|x<3或x≥7}， 所以∁UA＝{x|3≤x<7}. 又(∁UA)∩B＝∅，所以a≤3. 解析 7.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝　　　.  ∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， ∴∁UA＝{x|x<a或x>b}， 又∵∁UA＝{x|x<3或x>4}， ∴a＝3，b＝4，a＋b＝7. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8.已知全集为R，集合M＝{x|－2<x<2}，P＝{x|x≥a}，且M⊆(∁RP)，则实数a的取值范围是　　　 　.  M＝{x|－2<x<2}， ∁RP＝{x|x<a}， ∵M⊆(∁RP)， ∴由数轴(如图)知a≥2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {a|a≥2} 9.已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}， A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 方法二　(Venn图法)画出Venn图，如图所示， 可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}， (∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}. 解 10.已知集合A＝{x|a<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤2}. (1)若a＝1，求A∪B； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＝1时，A＝{x|1<x<2}， B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|0≤x≤2}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在①A∩B＝∅，②(∁RB)∩A＝∅，③B∪(∁RA)＝R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①A∩B＝∅，则a＋1≤0或a≥2， 解得a≤－1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A＝∅，∁RB＝{x|x<0或x>2}， 所以解得0≤a≤1. 若选③B∪(∁RA)＝R，∁RA＝{x|x≤a或x≥a＋1}， 所以解得0≤a≤1. 解 11.已知U为全集，则下列说法错误的是 A.若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U B.若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅ C.若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅ D.若A∪B＝∅，则A＝B＝∅ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A说法正确，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，A∩B＝∅，所以(∁UA)∪(∁UB) ＝∁U(A∩B)＝U； B说法错误，若A∩B＝∅，则集合A，B不一定为空集，只需两个集合无公共元素； C说法正确，因为(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，A∪B＝U，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∅； D说法正确，A∪B＝∅，即集合A，B均无元素，可得A＝B＝∅. 解析 12.学校开运动会，某班45人，参加100 m跑的同学20人，参加200 m跑的同学20人，参加400 m跑的同学17人，既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人，既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人，既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人，都不参加的同学11人，则同时参加100 m，200 m，400 m跑的同学为 A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设同时参加100 m，200 m，400 m跑的同学为x人，作出Venn图： ∴3＋x＋2＋x＋2＋x＋10－x＋7－x＋8－x＋x＋11＝45，解得x＝2. 解析 13.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝(∁UA)∪(∁UB)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于 A.mn B.m＋n C.n－m D.m－n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由Venn图可知card(A∩B)＝card(A∪B)－card(D)＝card(U)－card(D)＝m－n. 解析 14.已知集合A＝{x|8<x<10}，设集合S＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，若(∁SB)∩A＝{x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a≤ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当B＝∅时，2a－1≤a，得a≤1， 此时∁SB＝S，(∁SB)∩A＝S∩A＝{x|8<x<9}，符合题意； 当B≠∅时，2a－1>a，得a>1， 因为S＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}， 所以∁SB＝{x|0<x≤a或2a－1≤x<9}， 因为(∁SB)∩A＝{x|8<x<9}， 所以2a－1≤8，得a≤， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当B≠∅时，1<a≤， 综上所述，实数a的取值范围是a≤. 解析 15.(多选)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}.根据上述定义，下列选项正确的是 A.已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}， 则B－A＝{3，7，8} B.已知A＝{x|x<－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则 A－B＝{x|x<－2，或x≥4} C.如果A－B＝∅，那么A⊆B D.已知全集U、集合A、集合B的关系如图所示，则A－B＝A∩(∁UB) 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，由差集的定义，得B－A＝{3，8}，故A错误； B，C，D都正确. 解析 16.设全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<4}，集合B＝{x|x<－6，或x>1}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其同时满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁UA)∩(∁UB). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A＝{x|－5<x<4}， B＝{x|x<－6，或x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<4}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥4}， ∁UB＝{x|－6≤x≤1}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}， 而C＝{x|x<m}，∴当(A∩B)⊆C时，m≥4， 当(∁UA)∩(∁UB)⊆C时，m>－5，∴m≥4， 即实数m的取值范围为{m|m≥4}. 解 第一章　1.3　集合的基本运算 <<< $