1.1.3 第1课时 交集与并集(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，系统梳理其含义、求解方法及Venn图表达，前承集合基本概念与子集知识，后启补集及复杂集合运算，为集合应用构建基础学习支架。 以运动会参赛统计情境导入，通过“想一想”辨析概念、题型分类解析及通性通法总结，结合Venn图与数轴直观呈现，培养数学抽象、直观想象与数学运算素养。课中助力教师引导学生主动探究，课后练习题与方法归纳帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.3　集合的基本运算 课标 要求 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）. 第一课时　交集与并集 　　某中学举行秋季运动会，高一（6）班同学踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米赛跑…… 【问题】　班主任如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　交集 【想一想】 若A∩B＝A，则A与B有什么关系？ 提示：若A∩B＝A，则A⊆B. 知识点二　并集 提醒：（1）容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），其中card（A）表示集合A中元素的个数；（2）设A，B是两个集合，则A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；（3）若A∩B＝A∪B，则集合A＝B. 【想一想】 并集符号语言中的“或”包含几种情况？ 提示：三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素.（　×　） （2）若A∪B＝A，B≠∅，则B中的每个元素都属于集合A.（　√　） （3）并集定义中的“或”能改为“和”.（　×　） （4）若A∩B＝C∩B，则A＝C.（　×　） 2.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，那么P∩Q＝（　　） A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4} C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1} 解析：A　在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∩Q＝{x｜－1≤x＜3}. 3.已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－4＜x＜3} B.{x｜－1＜x≤1} C.{0，1，2} D.{x｜－1＜x＜4} 解析：A　在数轴上表示出两个集合，如图，可得M∪N＝{x｜－4＜x＜3}. 4.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B＝　{2}或{1，2}　. 解析：∵{1}∪B＝{1，2}，∴B可能为{2}或{1，2}. 题型一　交集的运算 （1）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝（　A　） A.{0，1，2} B.{－2，－1，0} C.{0，1} D.{1，2} 解析：因为集合B＝{x｜0≤x＜}，所以集合B中的整数有0，1，2，所以A∩B＝{0，1，2}. （2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜≤x≤5}，则M∩N＝　{x｜≤x＜4}　. 解析：因为M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜≤x≤5}，画出数轴如图所示.所以M∩N＝{x｜≤x＜4}. 通性通法 求两个集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.{3}　 　B.{－3，2} C.{2}　　 D.{－2，3} 解析：C　根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，∴A∩B＝{2}. 2.已知M＝{（x，y）｜x＋y＝2}，N＝{（x，y）｜x－y＝4}，则M∩N＝（　　） A.x＝3，y＝－1 B.（3，－1） C.{3，－1} D.{（3，－1）} 解析：D　由得故M∩N＝{（3，－1）}. 题型二　并集的运算 （1）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（　D　） A.{2} B.{1，2} C.{2，4，6} D.{1，2，4，6} 解析：由集合并集的定义，得A∪B＝{1，2，4，6}，故选D. （2）已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，则P∪Q＝（　C　） A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4} C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1} 解析：在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x｜x≤4}. 通性通法 求集合并集的2种基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解. 1.已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（　　） A.{x｜x＜－5或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5} C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3或x＞5} 解析：A　在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A. 2.〔多选〕满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（　　） A.{5}　　　 B.{1，5} C.{3}　　　 D.{1，3} 解析：AB　由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素.而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 题型三　根据并集、交集运算求参数 已知集合A＝{x｜－3＜x≤4}，集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围. 解：（1）当B＝∅，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A. （2）当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合（1）（2）可知k的取值范围为. 【母题探究】 1.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围. 解：由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. 2.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x｜－3＜x≤5}”，求k的值. 解：由题意可知解得k＝3. 所以k的值为3. 通性通法 利用集合间的关系求参数的一般步骤 （1）若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围； （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. 1.设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（　　） A.{0，2} B.{0，5} C.{0，2，3，5} D.{0，2，5} 解析：D　若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}.故选D. 2.已知集合A＝{x｜x≤－1，或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（　　） A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4 C.a≤－1 D.a＜－1 解析：C　利用数轴，如图所示，若A∪B＝R，则a≤－1. 1.设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x｜2x＞7}，则M∩N＝（　　） A.{7，9} B.{5，7，9} C.{3，5，7，9} D.{1，3，5，7，9} 解析：B　由题得集合N＝，所以M∩N＝{5，7，9}.故选B. 2.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A.{0，1} B.{0} C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，2，3} 解析：D　由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}.故选D. 3.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，2，3，9}，则实数a的值为　±3　. 解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3. 4.若集合A＝{x｜－3＜x＜4}，B＝{x｜x＞2}，则A∪B＝　{x｜x＞－3}　，A∩B＝　{x｜2＜x＜4}　. 解析：如图，A∪B＝{x｜x＞－3}，A∩B＝{x｜2＜x＜4}. 1.已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（　　） A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2} C.{－1，0，2} D.{0，1} 解析：B　M∪N＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}. 2.集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x｜－1＜x＜6}，则M∩N＝（　　） A.{2，4} B.{2，4，6} C.{2，4，6，8} D.{2，4，6，8，10} 解析：A　由题意知M∩N＝{2，4}，故选A. 3.集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：D　∵A∪B＝{0，1，2，a，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4. 4.已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则（A∩B）∪C＝（　　） A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜x＞－1} C.{x｜－2＜x＜0} D.{x｜x＞－2} 解析：D　由A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，得A∩B＝{x｜－2＜x＜0}，所以（A∩B）∪C＝{x｜x＞－2}.故选D. 5.〔多选〕若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　） A.M∩N＝N B.M∪N＝N C.（M∪N）⊆N D.N⊆（M∩N） 解析：BC　∵M⊆N，∴M∩N＝M，M∪N＝N.（M∩N）⊆N，（M∪N）⊆N，故选B、C. 6.〔多选〕已知集合P＝{x｜1＜x＜4}，Q＝{x｜2＜x＜3}则下列结论正确的是（　　） A.Q⊆P B.P∩Q＝{x｜2＜x＜3} C.P⊆Q D.P∪Q＝{x｜1＜x＜4} 解析：ABD　由集合P＝{x｜1＜x＜4}，Q＝{x｜2＜x＜3}，则Q⊆P，故选项A正确.所以P∩Q＝{x｜2＜x＜3}，则选项B正确.P∪Q＝{x｜1＜x＜4}，选项D正确.显然P⊆Q不正确，所以选项C不正确.故选A、B、D. 7.已知集合A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，则A∩B＝　{0，1，2}　. 解析：因为A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，所以A∩B＝{x∈Z｜－≤x≤2}，所以A∩B＝{0，1，2}. 8.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜4≤x＜5}　. 解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}. 9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝　0或3　. 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，由m＝，得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3. 10.已知集合M＝{x｜2x－4＝0}，集合N＝{x｜x2－3x＋m＝0}. （1）当m＝2时，求M∩N，M∪N； （2）当M∩N＝M时，求实数m的值. 解：（1）由题意得M＝{2}. 当m＝2时，N＝{x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}. （2）∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N， ∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解， 即4－6＋m＝0，解得m＝2. 11.已知集合A＝{x｜x2－px－2＝0}，B＝{x｜x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝（　　） A.12 B.6 C.－14 D.－12 解析：C　因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2，5}，所以q＝－[（－2）＋5]＝－3，r＝（－2）×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14. 12.〔多选〕设集合A＝{x｜y＝x2－4}，B＝{y｜y＝x2－4}，C＝{（x，y）｜y＝x2－4}，则下列关系中正确的是（　　） A.A＝B B.A∪B＝R C.A∩C＝∅ D.A⊆B 解析：BC　由题意可知：∵A＝{x｜y＝x2－4}＝R，∴A＝R，∵B＝{y｜y＝x2－4}＝{y｜y≥－4}，∴B＝[－4，＋∞），∵C＝{（x，y）｜y＝x2－4}，∴C表示二次函数y＝x2－4图象上任意一点的坐标构成的集合.∴B≠A，A∪B＝R，A∩C＝∅，B⊆A.故选B、C. 13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　12　. 解析：设所求人数为x（5≤x≤15），则只喜爱乒乓球运动的人数为10－（15－x）＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12. 14.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件： （1）A≠B；（2）A∪B＝B；（3）∅⫋（A∩B）. 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2，3}. ∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A⫋B. 由条件（1）A≠B，可知A⫋B. 又∵∅⫋（A∩B），∴A≠∅，即A＝{2}或{3}. 当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5. 经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去； a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去. 当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2. 经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去； a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去. 综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $