1.1.2集合的基本关系 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦集合的基本关系核心知识点，涵盖子集、真子集、相等关系及Venn图表示。通过生物学动物分类情境导入，上承集合的概念与表示，下启集合运算，搭建连贯知识支架。 特色在于跨学科情境培养数学眼光，实例抽象发展数学抽象与逻辑推理，Venn图强化几何直观，例题结合造纸厂产品合格问题渗透数学建模。多样教学方法关注学生差异，助力学生提升抽象思维与应用能力，为教师提供结构化教学方案。

课题 1.1.2 集合的基本关系 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第一部分第二节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能判断给定集合的子集． 2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义． 3．能使用Venn图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 教学重、难点： 重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别． 难点：使用Venn图表示集合间关系． 教材分析 本节课时是北师大版（2019）必修第一册的1.1.2集合的基本关系，是继上一节集合的概念和表示之后的又一个基本知识。集合之间的关系是包含与被包含的包含关系，以及对Venn图表示集合间关系的了解。在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁。它是高中数学的基本符号语言，为下一节集合的基本运算奠定基础。 核心素养 1.数学抽象：让学生从具体实例中抽象出集合的基本关系； 2.逻辑推理：通过集合的包含关系、相等关系的探讨，提高学生的逻辑思维水平； 3.数学建模：使学生学会运用集合的基本关系解决现实生活中的问题，提高数学应用能力。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情景导入 创设问题情景：生物学中，动物分为脊椎动物和无脊椎动物．脊椎动物又分为鱼类、爬行类、鸟类、两栖类、哺乳类五大类． 思考：把所有哺乳类动物组成一个集合，所有脊椎动物组成一个集合．集合与集合有什么关系？ 教师分析：所有的哺乳动物都是脊椎动物，即 𝐴中每一个元素都属于𝐵． 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点1：子集的概念和性质 知识点2：Venn图 知识点3：真子集的定义 例题典析 实例分析： （1）设某校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合； （2）用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合； （3）所有的有理数都是实数． 问题：用集合来表示上述实例，并思考它们的关系． 预设答案： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则． 教师讲解：一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）． 显然，任何一个集合都是它本身的子集，即． 规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，都有. 教师讲解：为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，称为Venn图. 左图直观地表示了实例2中集合A是集合B的子集,中图直观地表示了实例3中有数集Q是实数集R的子集. 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.（如右图） 教师讲解：对于两个集合与，如果集合，且，那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）． 如图所示，则集合的关系是． 当集合A不包含与集合B（或集合B不包含集合A）时，记作A⊈B（或B⊉A） 注意：集合与首先要满足，其次要满足． 例1、某造纸厂生产练习本用纸，当纸的白度和不透明度都合格时，该产品才合格．若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的白度合格的产品组成的集合，表示纸的不透明度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？ ，，，． 试用图表示这三个集合的关系． 【师生活动】 学生自主思考，完成题目，教师出示正确答案。 【解析】 解：由题意知，，成立，它们的关系可用图（如下图）表示． 例2、 指出下列各对集合之间的关系: （1），； （2），． 【师生活动】 学生自主思考，分析集合与元素之间的关系，教师进行点评。 【解析】 解：（1）集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故与之间无包含关系． （2）集合，两个集合的元素完全一样，所以． 例3、写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【师生活动】 学生根据子集和真子集的定义对问题进行分析，得出答案，教师出示正确答案。 【解析】 解：由子集的定义知，集合的子集的元素个数最少为0个，最多为3个．按照子集中元素的个数，由少到多依次写出集合的所有子集，得 显然，上述8个子集除了集合以外，其余7个集合都是它的真子集． 通过探究子集、集合相等和真子集，在实例分析中探究了解含义和图示，在理解的基础上加深对概念的理解和注意，图示帮助学生强化逻辑思维、数学运算等核心素养． 通过三个例子，对子集、集合间关系和真子集进行实践应用，提炼出方法技巧，学生在实践中加强练习，懂得运用方法进行问题解决，尝试自主实践和迁移运用． 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 1.1.2 集合的基本关系 知识点一：子集的概念和性质 一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）． 显然，任何一个集合都是它本身的子集，即． 规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，都有. 知识点二：Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，称为Venn图. 知识点三：真子集的定义 对于两个集合与，如果集合，且，那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）． 教学设计反思 教学方法的多样性：本节课采用了情境教学法和探究式教学法等多种教学方法，旨在激发学生的学习兴趣和主动学习能力。 学生差异的关注：学生在数学学科方面的兴趣和能力有所差异，部分学生对逻辑推理和抽象概念具有较强的兴趣和能力，而另一部分学生可能更擅长形象思维和具体问题的解决。因此，在教学过程中需要关注学生的差异，因材施教。 符号记忆的加强：学生对相关符号的记忆有时不够牢固，需要在以后的教学中加强符号的记忆和练习。 集合运算的应用：一些学生对集合的分类和运算的应用理解还不够深入，需要在以后的教学中反复强调和讲解，并引导学生将集合运算应用于实际问题中。 综上所述，集合的基本关系这一节内容在高中数学教学中具有重要地位，需要教师采用多种教学方法和手段，关注学生的差异和需求，加强符号记忆和集合运算的应用，以提高学生的数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $