3.1 指数幂的拓展&3.2 指数幂的运算性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展与运算性质，通过薇甘菊侵害面积的情境导入，对比初中整数指数幂，引导学生从n次方根、根式逐步过渡到分数及无理数指数幂，搭建完整的知识学习支架。 其亮点在于以数学建模情境激发探究，通过典例研析（如根式与指数幂互化、条件求值）和通性通法总结，培养数学抽象与运算素养。自我诊断与分层作业设计，助力学生巩固知识，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

§1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 第三章　指数运算与指数函数 1 课标要求 通过对有理数指数幂 （a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0），实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质（数学抽象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面 积S（单位：hm2）与年数t（单位：年）满足关系式S＝S0·1.057t，其 中S0（单位：hm2）为侵害面积的初始值.如果求10年后侵害的面积，则S ＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5. 【问题】　这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点一　n次方根 定 义 一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的 ，其中n＞1，且 n∈N＋ 性 质 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 ⁠ a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为 ⁠ a＜0 x在实数范围内不存在 n次方根　 ± 数学·必修第一册（BSD） 目录 【想一想】 正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数.当 n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点二　根式 1. 定义：式子 叫作根式，这里n叫作 ，a叫作 ⁠ ⁠. 2. 性质（n＞1，且n∈N＋）： 　 根指数　 被开方 数　 （1）（ ）n＝ ⁠； （2） ＝ a　 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒： 与（ ）n的区别：① 是实数an的n次方根，是一个恒 有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制；② （ ）n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决 定.其算法是对a先开方，再乘方（都是n次），结果恒等于a. 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点三　指数幂及其运算性质 1. 正分数指数幂 （1）定义：给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），若存在 唯一的正数b，使得 ，则称b为a的 次幂，记作b＝ .这就 是正分数指数幂； （2）性质：①当k是正整数时，分数指数幂 满足： ＝ 　 　； ② ＝ 　 　. bn＝am　 　 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），定义 ＝ 　 　 ＝ . 提醒：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3. 无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝ . 　 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 指数幂的运算性质 （1）aα·aβ＝ （a＞0，α，β∈R）； （2）（aα）β＝ （a＞0，α，β∈R）； （3）（ab）α＝ （a＞0，b＞0，α∈R）. 提醒：（1）分数指数幂 不可理解为 个a相乘，它是根式的一种写 法；（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数；（3）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分；（4）在幂和根 式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性 质进行计算. aα＋β　 aαβ　 aαbα　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝3－π. （　×　） （2） 的运算结果是±2. （　×　） （3） 可以写成 . （　√　） （4）[（a3）2·（－b2）3]3＝－a18b18. （　√　） × × √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 可化为（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＝ ＝ . √ 3. 化简 （x＞0）的结果是（　　） A. x B. x2 C. 1 D. 解析：　原式＝ · · ＝ ＝x.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝ ，10α－β＝ 　 　，10－3α＝ 　 　. 解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝ ＝ .10－3α＝（10α）－3＝2－3 ＝ . 6　 　 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 16 题型一　根式与分数指数幂的互化 将下列根式化成分数指数幂的形式： （1） · ； 解： · ＝ · ＝ . （2） ； 解：原式＝ · · ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3） · ； 解：原式＝ · ＝ . （4）（ ）2· . 解：原式＝（ ）2· · ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数 分数指数的分母，被开方数（式）的指数 分数指数的分 子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 化简（ 的结果是（　　） A. B. C. 3 D. 5 解析：　原式＝（ ＝（ ）－1＝ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 用分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D. a 解析：　 ＝ ＝ ＝ ，故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　指数幂的运算 计算下列各式： （1） ；（式中字母均是正数） 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝a－1＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2） － －（π－3）0＋ ； 解：原式＝ － －1＋2＝2. （3）（ × ； 解：原式＝［（23 × ＝（23 × ＝23×3＝24. （4）（ . 解：原式＝（ ＝（ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 指数幂运算的解题通法 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分 数，先化成假分数； （4）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根 式可以保留直接运算； （5）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有 负指数幂，形式力求统一. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　计算下列各式（式中的字母都是正实数）： （1） －（－2）0－ ＋ ； 解：原式＝ －1－ ＋ ＝ －1－ ＋ ＝ . （2）2 （－3 ）÷（－6 ）（x，y＞0）. 解：原式＝[2×（－3）÷（－6）] ＝x2y. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）（2 ； 解：原式＝（2 · ＝26·m3＝64m3. （4） a－π. 解：原式＝ ＝a0＝1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　条件求值问题 已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将 ＋ ＝ 两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，则a2－a－2＝ ⁠. 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4 ＝72－4＝45，∴y＝±3 ，即a2－a－2＝±3 . ±3 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 解决条件求值问题的一般方法 　　对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但 有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造 出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的 值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下： （1）a±2 ＋b＝ ； （2）a－b＝ ； （3） ＋ ＝ ； （4） － ＝ （其中a＞0，b＞0）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知 ＋ ＝4，则 ＝（　　） A. 2 B. 4 C. 14 D. 16 解析：因为 ＋ ＝4，所以（ ＋ ）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以 ＝ ＝a＋a－1＝14，故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则 ＝ ⁠. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴ ∵a＞b＞ 0，∴ ＞ .∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ . 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 下列运算结果中，正确的是（　　） A. a2a3＝a5 B. （－a2）3＝（－a3）2 C. （ －1）0＝1 D. （－a2）3＝a6 解析：　a2a3＝a2＋3＝a5；（－a2）3＝－a6≠ ＝a6；（ － 1）0＝1若成立，需要满足a≠1.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 化简[的结果为（　　） A. 5 B. C. － D. －5 解析：　[＝（ ＝ ＝ . 3. 已知 ＋ ＝5（x＞0），那么 ＋ ＝（　　） A. B. － C. ± D. 7 解析：（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故 ＋ ＝ . √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 化简 · · （m＞0）＝ ⁠. 解析：原式＝ · · ＝ ＝m0＝1. 5. 计算：0.25× －4÷20－ ＝ ⁠. 解析：原式＝ ×16－4÷1－ ＝4－4－4＝－4. 1　 －4　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 35 1. 下列运算中正确的是（　　） A. ＝ B. （－a2）5＝（－a5）2 C. （ －2）0＝1 D. （－ ）5＝－ 解析： ＝ ，故A错误；（－a2）5＝－a2×5＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（ －2）0无意义，故C错误；（ ）5＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 2 ＋1 － － ＝（　　） A. 3 B. 6 C. D. 15 解析：　原式＝（33 ＋（42 －（2－1）－2－ ＝9＋4－1－4 － ＝9＋ －4－ ＝9－6＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 化简 ÷ （a＞0）＝（　　） A. B. C. 1 D. 解析：　原式＝ ÷ ＝ ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 计算（2a－3 ）·（－3a－1b）÷（4a－4 ）得（　　） A. － b2 B. b2 C. － D. 解析：　原式＝ ＝－ b2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 设 － ＝m，则 ＝（　　） A. m2－2 B. 2－m2 C. m2＋2 D. m2 解析：　将 － ＝m两边平方，得 ＝m2，即a－2＋a－1 ＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋ ＝m2＋2，所以 ＝m2＋2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A. － ＝（－x （x＞0） B. ＝ （y＞0） C. ＝ （x＞0，y＞0） D. ＝－ （x＞0） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于A，－ ＝－ （x＞0），故错误；对于B， ＝ （y＞0），故正确；对于C， ＝ （x＞0，y＞0），故正确；对于D， ＝ （x＞0），故错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 化简 ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 设a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），且a＋b＝6，则m＝ ⁠. 解析：因为a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），所以a＝b2.由a＋b＝6得b2＋ b－6＝0，解得b＝2或b＝－3（舍去），所以m＝24＝16. 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知x－ ＝1，其中x＞0，则 － － ＝ ⁠. 解析：由x－ ＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝ － － ＝x＋ － － ＝x－ ＝ ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 化简下列各式（式中的字母都是正实数）： （1） ； 解： ＝ ＝m2n－3＝ . （2） ÷ ； 解：原式＝[－3×4÷（－2）]· ＝6a0b0＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3） （ ＋ ）. 解：原式＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝（ － ）（ ＋ ）＝（ ）2－（ ）2＝x－y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 已知2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则m＝（　　） A. B. 10 C. 20 D. 100 解析：　由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝ ，5＝ ， ∵2×5＝ · ＝ ，∴m2＝10，∴m＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项中正确的有（　　） A. a2＋a－2＝7 B. a3＋a－3＝16 C. ＋ ＝± D. ＋ ＝2 解析：∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝（a＋a－1）2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a－3＝（a＋a－1）·（a2＋a－2－1）＝3×（7－1）＝18，因此B不正确；∵（ ＋ ）2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a＞0，∴ ＋ ＝ ，因此C不正确；∵a ＋ ＝（a＋a－1－1）（ ＋ ）＝2 ，因此D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝ ⁠. 解析：由45x＝3，得（45x）2＝9.即452x＝9，又45y＝5，则452x×45y＝ 9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，∴2x＋y＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. （1）已知a2x＝3，求 的值； 解： ＝ ＝ ＝± ＝± ＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知a是128的七次方根.求下列各式的值： ① ＋ ＋ ＋ ； ② ＋ . 解：因为a是128的七次方根，所以a＝ ＝ ＝2. ① ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－ . ②原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋a－a－1＝a＋a－1＋a－a－1＝2a＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $