2.2.2 第1课时 函数的表示法(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法，通过京沪高铁路程、出生人口曲线、氰化物浓度表格等情境导入，引导学生从初中知识过渡到解析法、列表法、图像法的系统学习，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其特色在于结合数学抽象与直观想象，通过问答游戏得分、铁丝剪段等典例研析三种表示法的应用，总结待定系数法、换元法等通性通法，培养数学思维。自我诊断与跟踪训练助力学生巩固，教师可借助系统资源提升教学效率，学生能提升知识应用能力。

2.2　函数的表示法 第二章　函数 1 课标要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用（数学抽象、直观想象）. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用（数学抽象、数学运算）. 第一课时　函数的表示法 第二章　函数 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 （1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/ 时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y 千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数 的解析式. （2）如图是我国2019年—2023年出生人口变化曲线： 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示 函数的？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　函数的表示方法 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：函数三种表示法的优缺点比较 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个函数都可以用解析法表示. （　×　） （2）任何一个函数都可以用图象法表示. （　×　） （3）函数f（x）＝2x＋1不能用列表法表示. （　√　） （4）函数的图象一定是一条连续不断的曲线. （　×　） × × √ × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知函数f（x）由下表给出，则f（3）＝（　　） x 1≤x＜2 2 2＜x≤4 f（x） 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在 解析：　∵当2＜x≤4时，f（x）＝3，∴f（3）＝3. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 购买某种饮料x瓶，所需钱数为y元.若每瓶2元，用解析法将y表示成x （x∈{1，2，3，4}）的函数为（　　） A. y＝2x B. y＝2x（x∈R） C. y＝2x（x∈{1，2，3，…}） D. y＝2x（x∈{1，2，3，4}） 解析：　由题意得y＝2x，x∈{1，2，3，4}. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 〔一题多解〕已知函数f（2x＋1）＝6x＋5，则f（x）的解析式是 ⁠ ⁠. 解析：法一　令2x＋1＝t，则x＝ .所以f（t）＝6× ＋5＝3t＋2， 所以f（x）＝3x＋2. 法二　因为f（2x＋1）＝3（2x＋1）＋2，所以f（x）＝3x＋2. f （x）＝3x＋2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　函数的表示法 某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道 题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与 者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系 y＝f（x）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：（1）用列表法可将函数y＝f（x）表示为 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 （2）用图象法可将函数y＝f（x）表示为 （3）用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2， 3，4，5}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 理解函数表示法的三个关注点 （1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示 函数，都必须满足函数的概念； （2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角 度描述函数； （3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表 示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 数学·必修第一册（BSD） 目录 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，每段都为1 cm的整数倍，并以每一段铁 丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方形的面积之 和S与其中一段铁丝长x（x∈N＋）的函数关系. 解：这个函数的定义域为{x∈N＋｜1≤x＜10}. ①解析法：S＝（ ）2＋（ ）2. 将上式整理得S＝ x2－ x＋ ，x∈{x∈N＋｜1≤x＜10}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 ②列表法： 一段铁丝长x（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S（cm2） ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ③图象法： 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　函数的图象的作法及应用 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： （1） x －4 －2 2 4 y 1 －3 2 3 解：该函数的图象如图①所示，由 图可知值域为{－3，1，2，3}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）y＝－ ，x∈[－3，0）∪（0，1]； 解：作出函数y＝－ ，x∈[－3，0）∪（0，1]的图象，如图②所示， 由图象可知值域为（－∞，－4]∪［ ，＋∞）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]. 解：作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 画函数图象的两种常见方法 （1）描点法： ①列表——先找出一些（有代表性的）自变量x，并计算出与这些自变量 相对应的函数值f（x），用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点（x，f（x）），在坐标平面上描出这 些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. （2）变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； 解：当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①，观察图象可知其值域为[1，5]. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）y＝ ，x∈[2，＋∞）. 解：当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝ 的一部分，如图②，观察图象可知其值域为（0，1]. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f （x）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（x＋1）＋f（x－1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2 ＋b（x－1）＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴ ∴ ∴f（x）＝x2－2x－1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f（x）的解析 式，再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（组）求出待定系数， 进而求出函数解析式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 角度2　利用换元法（配凑法）求函数解析式 〔一题多解〕求下列函数的解析式： （1）已知f（ ＋1）＝x＋2 ，求f（x）； 解：法一（换元法）　令t＝ ＋1，则x＝（t－1）2，t≥1，所以f （t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（ ＋1）＝x＋2 ＝x＋2 ＋1－1＝（ ＋1）2 －1. 因为 ＋1≥1， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知f（ ）＝ ＋ ，求f（x）的解析式. 解：法一（换元法）　令t＝ ＝ ＋1，则t≠1，x＝ . 由f（ ）＝ ＋ 得f（t）＝ ＋ ＝（t－1）2＋1＋（t －1）＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≠1）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二（配凑法）　因为f（ ）＝ ＋ ＝（ ）2－ ＝（ ） 2－ ＋1， 所以f（x）＝x2－x＋1. 又因为 ＝ ＋1≠1， 所以所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≠1）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 换元法、配凑法求函数解析式 （1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的 解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式；利用换元法解题时，换 元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域； （2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x） 来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 数学·必修第一册（BSD） 目录 角度3　用方程组法求函数解析式 已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f （x）的解析式. 解：在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代换x，可得f（－x）－2f （x）＝1－2x， 联立 消去f（－x），可得f（x）＝ x－1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 用方程组法求函数的解析式 　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数解析式，如 互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个 关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知f（x2＋2）＝x4＋4x2，则f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. 解析：因为f（x2＋2）＝x4＋4x2＝（x2＋2）2－4，令t＝x2＋2（t≥2），则f（t）＝t2－4（t≥2），所以f（x）＝x2－4（x≥2）. f（x）＝x2－4 （x≥2）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝9x＋4，求f（x）的解析 式. 解：设f（x）＝kx＋b（k≠0）. 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. 所以 解得 或 所以f（x）＝3x＋1或f（x）＝－3x－2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知函数f（x）满足f（x）＋2f ＝x，求函数f（x）的解析式. 解：在已知等式中，将x换成 ，得f ＋2f（x）＝ ， 与已知方程联立，得 消去f ，得f（x）＝－ ＋ （x≠0）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知等腰三角形的周长是20，底边长y是腰长x的函数，则（　　） A. y＝10－x，0＜x＜10 B. y＝10－x，5＜x＜10 C. y＝20－2x，0＜x＜10 D. y＝20－2x，5＜x＜10 解析：因为2x＋y＝20，所以y＝20－2x.由20－2x＞0，得x＜10.由构成三角形的条件（两边之和大于第三边），得2x＞20－2x，得x＞5.综上，可得5＜x＜10，所以y＝20－2x，5＜x＜10. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小 路按顺时针方向匀速走了一圈（A→B→C→A），则小明到C点的直线 距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（　　） √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　当小明在弧AB上运动时，他与C点的距离为定值，故A、B错 误；当小明走在线段BC上时，他与C点的距离越来越小，当小明走在线 段CA上时，他与C点的距离越来越大，故C错误，D正确. 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知函数f（x＋1）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　） A. f（x）＝3x－1 B. f（x）＝3x＋1 C. f（x）＝3x＋2 D. f（x）＝3x＋4 解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1.∴f（x）＝3x－1. 4. 已知函数f（x）＝x－ ，且此函数图象过点（5，4），则实数m的值 为 ⁠. 解析：将点（5，4）代入f（x）＝x－ ，得m＝5. 5　 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x） ＝2x，求f（x）的解析式. 解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. ∵f（0）＝1，∴c＝1. 又∵f（x＋1）－f（x）＝2x， ∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x， 整理得2ax＋（a＋b）＝2x. 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴ 解得 ∴f（x）＝x2－x＋1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 43 1. 已知函数f（x－1）＝x2－3，则f（2）＝（　　） A. －2 B. 6 C. 1 D. 0 解析：　令t＝x－1，则x＝t＋1，∴f（t）＝（t＋1）2－3＝t2＋2t－ 2，∴f（2）＝22＋2×2－2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 下表表示y是x的函数，则该函数的值域是（　　） x x＜－1 －1≤x≤3 x＞3 y －2 0 2 A. {y｜－2≤y≤2} B. R C. {y｜－1≤y≤3} D. {－2，0，2} 解析：函数的值域就是y的所有取值构成的集合，根据表格看出，该函数的值域为{－2，0，2}，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 函数y＝－ 的大致图象是（　　） 解析： 　函数y＝－ 的图象是由函数y＝－ 的图象向左平移1个单位 长度得到的，而函数y＝－ 的图象在第二、第四象限，结合所给的四个图 象只有B符合，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知f（ ）＝x＋1，则f（x）＝（　　） A. B. C. ＋2 D. －1 解析：设 ＝t，t≠0，则x＝ ＋1.因为f（ ）＝x＋1，所以f（t）＝ ＋1＋1＝ ＋2，t≠0.所以f（x）＝ ＋2，x≠0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f （f（1））＝（　　） A. 1 B. 7 C. 8 D. 15 √ 解析：　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1） ＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝ 10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以 解得 所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（1） ＝2－1＋1＝2，所以f（f（1））＝f（2）＝2×4－2＋1＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　） A. f（－3）＝4 B. f（x）＝ C. f（x）＝x2 D. f（3）＝9 解析：　f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝ ，所以f（t）＝（ ）2＝ ，则f（x）＝ ，故B正确，C错误；f（－3）＝ ＝4，故A正确；f（3）＝ ＝1，故D错误.故选 A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出. x 4 5 6 f（x） 1 3 1 x 1 2 3 g（x） 4 5 4 则g（f（5））＝ ；f（g（2））＝ ⁠. 解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4. 又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3. 4　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与其运费y（元）由 如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量 为 kg. 19　 解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）， 代入点（30，330）与点（40，630）得 解得 即y＝30x－ 570，若要免费，则y≤0，所以x≤19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函 数，g（x）是x的反比例函数，且F ＝16，F（1）＝8，则F（x）的 解析式为 ⁠. 解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝ （m≠0），则F（x）＝kx ＋ .由F ＝16，F（1）＝8，得 解得 所以 F（x）＝3x＋ . F（x）＝3x＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知二次函数f（x）的图象经过点（1，2），且f（x＋1）＝f（x） ＋2x－1. （1）求f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b ＋c.因为f（x＋1）＝f（x）＋2x－1， 所以ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1， 所以 解得 因为函数f（x）的图象经过点（1，2）， 所以f（1）＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，解得c＝3. 故f（x）＝x2－2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）求f（x）在[－1，4]上的值域. 解：由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11. 所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，则f（2） ＝（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 解析：因为函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝5，解得t＝ 1，所以f（x）＝4x＋1，f（2）＝2×4＋1＝9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕设f（x）＝ ，则下列结论正确的有（　　） A. f（－x）＝－f（x） B. f（ ）＝－f（x） C. f（－ ）＝f（x） D. f（－x）＝f（x） 解析：因为f（x）＝ ，所以f（－x）＝ ＝f（x），f（ ）＝ ＝ ＝－f（x），f（－ ）＝ ＝ ＝－f（x）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））＝g （f（x））的x的值为 ⁠. x 1 2 3 4 f（x） 1 3 1 3 g（x） 3 2 3 2 2或4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：当x＝1时，f（g（1））＝f（3）＝1，g（f（1））＝g（1）＝ 3.当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝3.当x ＝3时，f（g（3））＝f（3）＝1，g（f（3））＝g（1）＝3.当x＝4 时，f（g（4））＝f（2）＝3，g（f（4））＝g（3）＝3.故满足f（g （x））＝g（f（x））的x的值为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 已知函数f（x）＝ . （1）把函数f（x）化为f（x）＝a＋ 的形式； 解：f（x）＝ ＝ ＝1－ ＝1＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）用平移变换的方法作出函数f（x）的图象，并说明作图过程； 解：函数y＝ 的图象向右平移 个单位长度得函数y＝ 的图象，再向上平移1个单位长度得函数y＝1＋ 的图象，如图所示. （3）若定义域为（0， ）∪（1，＋∞），通过观察图象直接写出函数f （x）的值域. 解：通过观察图象可知，函数f（x）的值域为（－1，1）∪（3，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $