2.2.2 第2课时 分段函数(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦分段函数，通过“水费收费标准”情境导入，衔接函数表示法前知，以实际问题为支架，引导学生从具体情境抽象出分段函数定义、图象及性质，构建函数知识体系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如情境导入培养用数学眼光观察现实问题，典例研析通过分类讨论强化数学思维，应用问题训练用数学语言表达模型。采用情境创设与通性通法总结，助力学生提升解题能力，为教师提供分层教学资源。

2.2　函数的表示法 第二课时　分段函数 第二章　函数 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿（m3）， 而可利用的水资源不足总量的1％，现我国属于水资源贫困的国家，为了 加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理 费）标准： 用水量 不超过10 m3部分 超过10 m3部分 水费（元/m3） 2.27 3.40 污水处理费（元/m3） 0.30 0.80 数学·必修第一册（BSD） 目录 【问题】　（1）如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？ （2）每月用水量x（m3）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数 解析式表示出来？这个解析式有什么特点？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　分段函数 1. 分段函数：如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取 值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 2. 分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成. 在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象， 要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个 分段函数的图象. 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：理解分段函数应关注4点：①分段函数是一个函数，而不是几个函 数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取 相应的对应关系；②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个 函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；③分段函数的定 义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合 的形式，不能分开写成几个集合的形式；④分段函数的值域是各段函数在 对应自变量的取值范围内值域的并集. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）分段函数由几个函数构成. （　×　） （2）分段函数有多个定义域. （　×　） （3）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. （　×　） （4）函数f（x）＝｜x｜可以用分段函数表示. （　√　） × × × √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 设函数f（x）＝ 则f（f（3））＝（　　） A. B. 3 C. D. 解析：　由题意得f（3）＝ ，从而f（f（3））＝f ＝ ＋1＝ . √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 函数y＝ 的定义域为 ，值 域为 ⁠. （－∞，0）∪（0，＋∞）　 {－2}∪（0，＋∞）　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 11 题型一　分段函数求值问题 已知函数f（x）＝ （1）求f（－3），f（f（ ））的值； 解：因为－3＜－1，所以f（－3）＝－3＋2＝－1. 因为－1＜ ＜2，所以f（ ）＝2× ＝3. 又3＞2，所以f（f（ ））＝f（3）＝ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若f（a）＝2，求a的值. 解：当a≤－1时，由f（a）＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去； 当－1＜a＜2时，由f（a）＝2，得2a＝2，a＝1； 当a≥2时，由f（a）＝2， 得 ＝2，a＝2或a＝－2（舍去）. 综上所述，a的值为1或2. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. 分段函数求函数值的方法 （1）确定要求值的自变量属于哪一段区间； （2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的形 式时，应从内到外依次求值. 2. 已知函数值求参数取值（范围）的步骤 （1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）； （2）解方程（不等式）求参数的值（取值范围），并检验是否符合定义 域的取值范围； （3）符合题意的所有值（取值范围的并集）即为所求. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 设函数f（x）＝ 则f（ ）＝（　　） A. B. 4 C. 3 D. －3 解析：依题意知f（2）＝22＋2－2＝4，则f（ ）＝f（ ）＝1－（ ）2＝ .故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知f（x）＝ 若f（a）≤－3，则实数a的取值范 围为（　　） A. [－3，－1]∪[1，3] B. （－3，－1]∪[1，3） C. [－2，－1]∪[1，2] D. [－3，3] 解析：当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a＞0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3].因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　分段函数的图象及应用 已知函数f（x）＝1＋ （－2＜x≤2）. （1）用分段函数的形式表示该函数； 解：当0≤x≤2时，f（x）＝1＋ ＝1， 当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋ ＝1－x. ∴f（x）＝ 解：由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）画出函数的图象； 解：函数f（x）的图象如图所示： （3）写出该函数的值域. 解：由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）若本例条件变为“已知函数f（x）＝｜x｜－2”，如何求 解？ 解：（1）f（x）＝｜x｜－2＝ （2）函数的图象如图所示： （3）由图可知，f（x）的值域为[－2，＋∞）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 分段函数图象的画法 （1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去 掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象； （2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作 图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重不漏. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知f（x）＝ （1）作出f（x）的图象； 解：利用描点法，作出f（x）的图象.如图所示. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）求f（x）的定义域和值域. 解：由条件知，函数f（x）的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f （x）＝x2的值域为[0，1]； 当x＞1，或x＜－1时，f（x）＝1， 所以f（x）的值域为[0，1]. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　分段函数的应用问题 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方 式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中 20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场 地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地 开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （1）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f（x）元（12≤x≤30），在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g（x） 元（12≤x≤30），试求f（x）与g（x）的解析式； 解：由题意f（x）＝6x，x∈[12，30]， g（x）＝ 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解：①当12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x＜15时，f（x）＜g（x）， 当x＝15时，f（x）＝g（x），当15＜x≤20时，f（x）＞g（x）. ②当20＜x≤30时，f（x）＞g（x）. 故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 分段函数的实际应用 （1）当目标在不同区间有不同的计算表达式时，往往需要用分段函数模 型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的 取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　2025年江苏城市足球联赛期间，某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤. 根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润 f （单位：元）与销售量x（单位：件，x为正整数）的函数关系为： f ＝ （1）若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； 解：因为80≤100≤150，所以总利润为f ＝12×100－900＝300元. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）当销售量x＞150时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此 时的销售量； 解：当x＞150时，总利润为f ＝x＋ ＋500≥2 ＋500＝ 900元. 当且仅当x＝ ，即x＝200时等号成立，满足200＞150， 所以总利润最小值为900元，此时的销售量为200件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）当总利润不低于1 000元时，求销售量x至少为多少件. 解：当80≤x≤150时， 总利润为f ＝12x－900≤12×150－900＝900＜1 000，不符合题意； 当x＞150时，总利润为f ＝x＋ ＋500，由题意得f（x）≥1 000，即x＋ －500≥0， 所以x2－500x＋40 000≥0，解得x≥400或x≤100（与x＞150矛盾舍 去），所以x≥400. 综上，当总利润不低于1 000元时，销售量x至少为400件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了 一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段 时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情 况的是（　　） 解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知函数f（x）＝ 若f（－1）＝f（1），则实数a的 值为（　　） A. 1 B. 2 C. 0 D. －1 解析：　因为f（－1）＝f（1），所以1－（－1）＝a，所以a＝2.故 选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知函数f（x）＝ 则函数f（x）的图象是（　） 解析：当x＝－1时，f（x）＝0，即图象过点（－1，0），D错；当x＝0时，f（x）＝1，即图象过点（0，1），C错；当x＝1时，f（x）＝2，即图象过点（1，2），B错.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知f（n）＝ 则f（8）＝ ⁠. 解析：因为8＜10，所以f（8）＝f（8＋5）＝f（13），又13＞10，所以f （13）＝13－3＝10，所以f（8）＝10. 10　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 下列给出的函数是分段函数的是（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　A中的函数f（x）＝ 当x＝1时，有两个 值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；B中的函数f（x）＝ 当x＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不 是分段函数；C中的函数f（x）＝ 当x＝1时，有两 个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有D中的函数满足 分段函数的定义，是分段函数.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 下列图形是函数y＝x｜x｜的图象的是（　　） 解析：　函数y＝x｜x｜＝ 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知函数f（x）＝ 若f（f（0））＝4a，则实数a＝ （　　） A. B. C. 2 D. 9 解析：　因为函数f（x）＝ 所以f（0）＝2，则f（f （0））＝f（2）＝4＋a2＝4a，即（a－2）2＝0，解得a＝2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知函数f（x）＝ 若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝ （　　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 解析：∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 已知函数f（x）＝ 则f（f（－4））＝（　　） A. －6 B. 0 C. 4 D. 6 解析：　由分段函数知：当x≤0时，周期T＝1，所以f（－4）＝f（－4 ＋5）＝f（1）＝1－3－4＝－6，所以f（f（－4））＝f（－6）＝f（－6 ＋7）＝f（1）＝－6.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝－｜x｜＋1 D. f（x）＝｜x＋1｜ 解析：通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 已知f（x）＝ 则f（－ ）＋f（ ）＝ ⁠. 解析：∵f（x）＝ ∴f（－ ）＝f（－ ＋1）＝f （－ ）＝f（－ ＋1）＝f（ ）＝ ×2＝ ，f（ ）＝2× ＝ ，∴f （－ ）＋f（ ）＝ ＋ ＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超 过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按 每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水 为 立方米. 解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝ 由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解 得x＝13（立方米）. 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 设函数f（x）＝ 若f（m）＞m，则实数m的取值范 围是 ⁠. 解析：由题意，得 或 解得m＜－1. （－∞，－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的图象； 解：图象如图所示.作图时应注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）求f（a2＋1）（a∈R），f（f（3））的值； 解：因为a2＋1≥1， 所以f（a2＋1）＝3－（a2＋1）2＝－a4－2a2＋2. f（3）＝3－32＝－6， f（f（3））＝f（－6）＝1－2×（－6）＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）当f（x）≥2时，求x的取值范围. 解：当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1. 当x＝0时，2≥2，符合题意. 当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－ . 综上可知，当f（x）≥2时，x的取值范围为{x｜x≤－ 或0≤x≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 已知函数f（x）＝ 若f（f（a））＝－1，则a＝ （　　） A. 1或－1 B. 1或0 C. 1或－1或0 D. －1或0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：当x≥0时，若f（x）＝x2－1＝－1，则x＝0，要使f（f（a））＝－1，即f（a）＝0，显然a≥0，即a2－1＝0，可得a＝1；当x＜0时，若f（x）＝ ＝－1，则x＝－1，要使f（f（a））＝－1，即f（a）＝－1，此时，若a≥0，则a2－1＝－1，可得a＝0，若a＜0，则 ＝－1，可得a＝－1.综上，a＝±1或0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知狄利克雷函数f（x）＝ 则下列结论正 确的是（　　） A. f（x）的值域为[0，1] B. f（x）的定义域为R C. f（x＋1）＝f（x） D. f（x）的图象经过点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：对于A，f（x）的值域为{0，1}，故A错误；对于B，f（x）的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f（x＋1）＝f（x）成立，故C正确；对于D，因为f ＝1，所以f（x）的图象经过点 ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知函数f（x）＝ 的值域为R，则实数a 的取值范围是 ⁠. 解析：当x≥4时，f（x）＝ ＋2≥4.因为函数f（x）＝ 的值域为R，所以当x＜4时，f（x）＝（3－ a）x＋5a满足 解得－8≤a＜3.故实数a的取值范 围是[－8，3）. [－8，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划 将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4 元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价 的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时. （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数解 析式； 解：依题意知，用电量增至（ ＋a）千瓦时，电力部门的收益为y＝（ ＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比 上年度至少增长20％？（注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）） 解：依题意，有 整理得 解此不等式，得0.6≤x≤0.75. 即当电价最低定为0.6元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少 增长20％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $