第1章 预备知识 章末整合提升〔含真题体验〕(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合、不等式、常用逻辑用语核心知识，体系构建梳理集合概念与运算、不等式解法与应用、命题及否定等内容，形成知识网络，为学生搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点是以数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模素养为导向，素养培优通过集合元素互异性、含参不等式求解等例题分层训练，结合高考真题强化考点。学生能提升解题能力与素养，教师可高效开展章末复习。

第一章　预备知识 章末整合提升〔含真题体验〕 ——体系构建·素养培优 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养培优 真题体验 体系构建 >> 目录 3 数学·必修第一册（BSD） 目录 素养培优 >> 目录 5 一、数学抽象 　　数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象 的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成 数学方法和思想，认识数学结构与体系.在本章中，主要表现在集合概念 的理解及应用中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优一　集合的基本概念 （1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中 元素的个数是（　C　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 解析：①当x＝0，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝ 2，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可 能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. C 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为 （　A　） A. －2 B. ±2 C. 2或4 D. ±2或4 解析：由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集 合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. A 数学·必修第一册（BSD） 目录 二、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求 得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不 等式的求解问题中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优二　集合的运算 （1）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜－5＜x3＜5，x∈Z}，B＝{－ 3，－1，0，2，3}，则（∁UA）∩B＝（　B　） A. {－1，0} B. {－3，2，3} C. {－3，2} D. {－1，0，3} 解析：易知A＝{－1，0，1}，所以∁UA＝{…，－3，－2，2，3，…}，故 （∁UA）∩B＝{－3，2，3}.故选B. B 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知集合A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，B＝{x｜－3＜x＜3}，若 A∪B＝B，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：∵B＝{x｜－3＜x＜3}，A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，由A∪B＝ B，得A⊆B. ①当A＝∅时，满足A⊆B，此时2m≥m＋1，即m≥1；② 当A≠∅时，∵A⊆B，则 即－ ≤m＜1.综上，m的取值 范围为{m｜m≥－ }. {m｜m≥－ }　 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优三　解一元二次不等式 解下列关于x的不等式： （1）－1＜x2＋2x－1≤2； 解：原不等式等价于 即 由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0. 由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图. 求其交集得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）m2x2＋2mx－3＜0. 解：当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为（mx＋3） （mx－1）＜0. 当m＞0时，解集为 ； 当m＜0时，解集为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素 养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索 和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在 集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题、不等式的证 明及应用中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优四　集合间的关系 （1）已知集合A＝{0，1}，B＝{x｜x⊆A}，则下列关于集合A与B 的关系正确的是（　D　） A. A⊆B B. A⫋B C. B⫋A D. A∈B 解析：因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1} 是集合B中的元素，所以A∈B. D 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是（　C　） A. {a｜0＜a＜4} B. {a｜－8＜a＜4} C. {a｜a≥4} D. {a｜a＞4} C 解析：在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴 知，若A⊆B，则a≥4. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优五　充分条件与必要条件的判断 （1）设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或 x∈P”是“x∈（M∩P）”的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由x∈M或x∈P可得x∈（M∪P），而（M∩P）⫋ （M∪P），所以“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分 条件.故选B. B 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　A　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：a2＞36等价于｜a｜＞6⇔a＞6或a＜－6，故a＞6⇒｜a｜＞6，即 a2＞36，但｜a｜＞6⇒/ a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要 条件. A 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优六　全称量词命题与存在量词命题 （1）命题：“∀x＞1，2x＋1＞5”的否定为（　C　） A. ∃x＞1，2x＋1＜5 B. ∃x＜1，2x＋1＜5 C. ∃x＞1，2x＋1≤5 D. ∃x＜1，2x＋1≤5 解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题得“∀x＞1，2x＋1＞5”的 否定为：∃x＞1，2x＋1≤5.故选C. C 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）命题p：∃x∈R，x＋2≤0，则命题p的否定是（　D　） A. ∃x∈R，x＋2＞0 B. ∀x∈R，x＋2≤0 C. ∃x∈R，x＋2≥0 D. ∀x∈R，x＋2＞0 D 解析：因为命题p：∃x∈R，x＋2≤0是存在量词命题，所以其否定是全 称量词命题，即∀x∈R，x＋2＞0，故选D. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优七　不等式的性质及应用 〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是 （　　） A. ＞ B. ab＜b2 C. a｜c｜＞b｜c｜ D. a（c2＋1）＜b（c2＋1） 解析：对于A，因为a＜b＜0，所以 － ＝ ＞0，则 ＞ ，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋1）＜b（c2＋1），故D正确. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优八　不等式的证明 已知x＞0，y＞0，z＞0，求证： · ≥8. 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴ ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0， 当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式等号同时成立. ∴（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）≥ ＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优九　利用基本不等式求最值 （1）〔一题多解〕若a＞0，b＞0，则 ＋ ＋b的最小值 为 ⁠； 解析：法一　∵ ≥ ， ∴ ＋ ＋b＝ ＋ ＋ ＋ ≥4 ＝2 ，当且仅当 ＝ ＝ ＝ 时等号成立，即a＝b＝ 时 ＋ ＋b取得最小值. 2 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　∵a＞0，b＞0，∴ ＋ ＋b≥2 ＋b＝ ＋b≥2 ＝ 2 .当且仅当 ＝ 和 ＝b同时成立，即a＝b＝ 时等号成立. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）〔一题多解〕已知a∈R，b＞0，且（a＋b）b＝1，则a＋ 的 最小值是 ⁠. 解析：法一　∵b＞0，且（a＋b）b＝1，∴a＝ －b，∴a＋ ＝ －b＋ ＝ －b＋2b＝ ＋b≥2 ＝2，当且仅当 ＝b，即b ＝1时等号成立，故a＋ 的最小值为2. 法二　∵（a＋b）b＝1，∴a＋ ＝a＋2b＝（a＋b）＋ b≥2 ＝2，当且仅当a＝0，b＝1时等号成立. 2　 数学·必修第一册（BSD） 目录 四、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学 方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求 解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合、不 等式的实际应用中. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优十　集合的应用 现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有 胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是 （　　） A. 最多人数是55 B. 最少人数是55 C. 最少人数是75 D. 最多人数是80 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析： 　设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人 组成集合A，带胃药的人组成集合B. 设所携带药品既非感冒药又非胃药 的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.作出Venn图，由 图可知，x＋card（A）＋card（B）－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100， ∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55. 数学·必修第一册（BSD） 目录 培优十一　不等式的实际应用 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地， 运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位： 元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费 ＋装卸费＋损耗费） 数学·必修第一册（BSD） 目录 （1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围； 解：设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝ ×60 ＋1 000＋2x. 令 ×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得 40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜ 40≤x≤90}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解：由（1）得y＝ ×60＋1 000＋2x＝2x＋ ＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝ ，即x＝60时取等号，∴若要使运输 的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 数学·必修第一册（BSD） 目录 真题体验 >> 目录 32 1. （2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝ {1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 解析：　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝ {2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. （2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3 ＝x}，则A∩B＝（　　） A. {0，1，2} B. {1，2，8} C. {2，8} D. {0，1} 解析：　由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式 ≥2的解集是（　　） A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2} C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1} 解析：由 ≥2，得 ≥0，得 ≤0，得 得－2≤x＜1，故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜ 5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　） A. {－1，0} B. {2，3} C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2} 解析：法一　因为A＝{x｜－ ＜x＜ }，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜ ＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. （2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题 q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A. p和q都是真命题 B. 􀱑p和q都是真命题 C. p和􀱑q都是真命题 D. 􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 $