第2章 01 2.1 函数概念(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数核心知识，从生活中的变量关系入手，通过依赖关系与函数关系辨析引入函数概念，再延伸至定义域、值域及应用，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如小区草坪面积问题）培养数学眼光，通过函数定义辨析（如一对一、多对一关系）发展数学思维，借助题组训练与规律总结提升数学语言表达能力。学生能深化抽象与推理能力，教师可利用丰富例题及解析高效教学。

第二章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.1　函数概念 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　依赖关系与函数关系 1.[2026江西九江期中联考]下列各量之间不存在依赖关系的是 ( ) A.某种介质下某物体的质量与体积 B.房屋的地理位置与价格 C.一个人的体重与智力 D.树木的高度与土壤     C     第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题]下列变量之间的关系,是函数关系的是( ) A.光照时间和果树的产量 B.圆的半径与圆的周长 C.等边三角形的边的长和面积 D.某人的体重与其饮食情况     BC     第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数的概念及其应用 3.[2026江西南昌第二中学月考]已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4},则下列图象能表示集合P到集 合Q的函数关系的是 ( )  　       　          A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    P到Q的函数,即P中的任意元素,在Q中都有唯一的元素与之对应. 对于A,由选项中图象可知符合函数的定义,A正确; 对于B,定义域没有取尽集合P中的所有元素,B错误; 对于C,对于P中的元素,在Q中与之对应的元素并不唯一,如x=2时,对应的y值有2个,C错误; 对于D,x=2时,y=2或y=4,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026湘豫名校联考]下列y与x的关系不是函数关系的是 ( ) A.y=x(x=0)　    B.y= (-1<x<1) C.y=|x|(x≠0)　    D.y=±x(x∈R)     BD     解析　　对于A,x=0,y=0,是函数关系; 对于B,当x=0时,没有对应的y值,又0∈(-1,1),所以不是函数关系; 对于C,对任意的x(x≠0)值,有唯一的y值与之对应,是函数关系; 对于D,当x=1时,有两个y值与之对应,不是函数关系. 易错警示　对于函数y=f(x),可以一个x对应一个y,多个x对应一个y,但不可以一个x对应多个y,即函数可 以是一对一或多对一,但不能是一对多. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编][多选题]下列各组函数中,表示同一函数的是 ( ) A. f(x)=x,g(x)=  B. f(x)=x2,g(t)=|t|2 C. f(x)=x+1,g(x)=  D. f(x)= ,g(x)=      BD     解析　　对于A,f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不同,不是同一函数; 对于B,f(x)=x2,g(t)=|t|2=t2,二者定义域相同,对应关系也相同,是同一函数; 对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},二者定义域不同,不是同一函数; 对于D,f(x)= 可化为f(x)= ,其定义域为{x|x≠0},g(x)= 可化为g(x)= ,其定义域为{x|x≠0},是同一函 数. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数的定义域 6.[2026江西景德镇乐平一中期中]函数f(x)= + 的定义域为 ( ) A. 　     B.(-∞,3)∪(3,+∞) C. ∪(3,+∞)　    D. ∪(3,+∞)     C     解析　    由已知得 解得x≥ 且x≠3,故f(x)的定义域为 ∪(3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025湖南衡阳第四中学月考]如图,某小区有一块底边和高均为40 m的锐角三角形空地,现规划在空 地内种植一边长为x m的矩形草坪(阴影部分),则草坪面积S关于x的函数关系为____________________, 若要求草坪面积不小于336 m2,则x的取值范围为___________________.       {x|12≤x≤28}         S=-x2+40x(0<x<40)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设矩形的长为x m的边的邻边的长为y m, 由三角形相似得 = ,所以x+y=40, 所以矩形草坪的面积S=xy=x(40-x)=-x2+40x(0<x<40),由-x2+40x≥336,解得12≤x≤28. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026陕西汉中汉台中学月考](1)若函数f(x)的定义域为[-2,1],则f(x+1)的定义域为______; (2)若函数f(x+1)的定义域为[-2,1],则f(2x-1)的定义域为_____________. [-3,0] 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵f(x)的定义域为[-2,1],∴在f(x+1)中,-2≤x+1≤1(易错点), 解得-3≤x≤0,故f(x+1)的定义域为[-3,0]. (2)∵f(x+1)的定义域为[-2,1], ∴在f(x+1)中,-2≤x≤1(易错点), ∴-1≤x+1≤2, ∴在f(2x-1)中,-1≤2x-1≤2(易错点),解得0≤x≤ . 故f(2x-1)的定义域为 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    (1)函数的定义域是指自变量的取值范围,复合函数f(φ(x))中的自变量还是x,因此它的定义 域仍是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围. (2)在同一对应法则下的自变量的范围相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下 的取值范围相同. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　函数的值和值域 9.[2026山东青岛期中]已知f(2x+1)=4x+3,则f(-1)= ( ) A.0　    B.-1　    C.-2　    D.-3     B     解析　　令2x+1=-1,解得x=-1,所以f(-1)=f(-1×2+1)=4×(-1)+3=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖南衡阳一中期中]若函数f(x)= 的定义域为[2,4],则f(x+2)的值域为 ( ) A.[3,6]　    B.[5,8] C.[2,3]　    D.[4,5]     A     解析　　由反比例函数的性质知,当x∈[2,4]时,f(x)随着x的增大而减小, 又f(2)=6,f(4)=3, 所以f(x)= 在x∈[2,4]上的值域为[3,6]. 又f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,平移前后的值域不变, 所以f(x+2)的值域为[3,6]. 规律总结　函数图象平移规律:左加右减,上加下减,这里的加减仅针对x而言. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026福建厦门一中月考]函数f(x)= -2x,x∈(2,5]的值域为 ( ) A. 　    B.  C.(-8,-3]　     D.[-8,-3)     D     解析　　令 =t,则x=t2+1,由x∈(2,5],得t∈(1,2], 令g(t)=t-2(t2+1)=-2t2+t-2=-2 t-  2- ,t∈(1,2], 其图象开口向下,对称轴为直线t= ,所以当t∈(1,2]时,g(t)随着t的增大而减小, 又g(1)=-3,g(2)=-8, 故f(x)的值域为[-8,-3). 第1讲　描述运动的基本概念 12.函数f(x)= 的值域为_______________;当x∈(1,+∞)时,f(x)的值域为_________.      ∪      解析    f(x)= = - ≠ ,故f(x)的值域为 ∪ .当x>1时,4x+2>6,∴0< < ⇒0<  < ⇒- <- <0⇒0< - < ,即当x∈(1,+∞)时,f(x)的值域为 . 二级结论　函数y=  的值域为 y y≠  . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026天津宝坻第四中学月考]已知函数f(x)= + . (1)求f(x)的定义域; (2)求f(1)+f(-3)的值; (3)当a>1时,求f(a+1)的值. 解析    (1)令 解得x≥-3且x≠2, 所以f(x)的定义域为[-3,2)∪(2,+∞). (2)因为f(x)= + ,所以f(1)=2-1=1,f(-3)=- , 故f(1)+f(-3)=1- = . (3)当a>1时,a+1>2,满足f(x)的定义域,所以f(a+1)= + . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026吉林四中月考]已知函数f(x)= . (1)求f +f(3),f +f(2)的值; (2)探索f +f(x)的值; (3)利用(2)中结论,求f +f +…+f +f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)+f(2 024)的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)= , 所以f +f(3)= + = + =1, f +f(2)= + = + =1. (2)由f(x)= ,可得f = = , 所以f +f(x)= + = =1. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由f(x)= 可得f(0)=0,f(1)= . 根据(2)中的结论f +f(x)=1, 得f +f +…+f +f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)+f(2 024) = f +f(2 024) + f +f(2 023) +…+ f +f(2) +f(0)+f(1) =2 023×1+0+ = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.1　函数概念 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的概念及其应用 1.[2026湖南株洲二中月考]已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16}.给出下列四个对应法则:①y= ;②y=x+ 1;③y=|x|;④y=x2,则能构成从M到N的函数的是 ( ) A.①③　    B.①②　    C.③④　    D.②④     C     解析　　对于①,当x=2时,y= ∉N,故①不满足题意; 对于②,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故②不满足题意; 对于③,当x=-1时,y=1∈N,当x=1时,y=1∈N,当x=2时,y=2∈N,当x=4时,y=4∈N,故③满足题意; 对于④,当x=-1时,y=1∈N,当x=1时,y=1∈N,当x=2时,y=4∈N,当x=4时,y=16∈N,故④满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026浙江温州十校联合体期中]下列各项中,f(x)与g(x)是同一函数的是 ( ) A. f(x)= ,g(x)=x-5(x≠-3) B. f(x)=  ,g(x)=  C. f(x)=|x-3|,g(x)=  D. f(x)=( )2,g(x)=2x-5     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),且f(x)=x-5,故两个函数是同一函数,A正确; 对于B,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,故不是同一函数, B错误; 对于C,f(x)=|x-3|= g(x)= 定义域和对应关系均相同,故是同一函数,C正确; 对于D,f(x)的定义域为 ,g(x)的定义域是R,定义域不同,故不是同一函数,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数的定义域 3.[2026山东泰安新泰一中期中]已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f +f(x-2)的定义域为 ( ） A.(0,2)　    B.(1,2)　    C.(2,3)　    D.(-1,1) B     解析　　∵f(x)的定义域为(-1,1),∴g(x)=f +f(x-2)的定义域需满足 则 解得1<x <2, 所以g(x)的定义域为(1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建南平期中]已知函数f(3x-1)的定义域为[-1,3],则函数g(x)= 的定义域为 ( ) A.[-6,1)∪(1,6]　    B.[-6,1)∪(1,10] C.[-1,1)∪(1,3]　    D.[-2,1)∪(1,6] D     解析　　因为f(3x-1)的定义域为[-1,3],所以-1≤x≤3,则-4≤3x-1≤8,故f(x)的定义域为[-4,8],则g(x)的定 义域需满足 解得-2≤x≤6且x≠1, 故g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,6]. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025黑龙江鹤岗期中]使函数f(x)= 的定义域是R的一个充分不必要条件是 ( ) A.0<m≤4　    B.0≤m<4　     C.m≥4　     D.0≤m≤4 A     解析　　若函数f(x)= 的定义域是R,则mx2+mx+1≥0恒成立. 当m=0时,不等式为1≥0,恒成立; 当m≠0时, 解得0<m≤4. 综上,f(x)的定义域是R的充要条件为0≤m≤4, 所以f(x)的定义域是R的充分不必要条件为{m|0≤m≤4}的真子集.结合选项知A,B符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖北襄阳月考]设函数f(x)= + 的定义域为集合A,集合B={x|m+1≤x≤2m-1}(m≥2),且x ∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的取值范围为_____________.      2,       解析　要使函数f(x)有意义,只需 解得-2≤x<4,故A={x|-2≤x<4}, 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B⫋A, 当m≥2时,B≠⌀,则 解得2≤m< . 综上,实数m的取值范围是 2,  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数的值和值域 7.[2026江西宜春期中]已知函数f(x)的定义域和值域都是[0,1],则函数f( )的定义域和值域分别为  ( ) A.[1, ]和[-1,0]　    B.[1, ]和[0,1] C.[-1,0]和[-1,0]　    D.[-1,0]和[0,1]     D     解析　　因为f(x)的定义域为[0,1],所以0≤ ≤1,即-1≤x≤0,所以f( )的定义域为[-1,0]. 又f(x)的值域为[0,1],所以f( )的值域为[0,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025广东揭阳一中段考]设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=6,则f(3 )= ( ) A. 　    B.2　    C. 　    D.      D     解析　　对于f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=3,则f(9)=f(3)+f(3),即2f(3)=6,可得f(3)=3; 令x=y= ,则f(3)=f( )+f( ),即2f( )=3,可得f( )= ; 令x=3,y= ,可得f(3 )=f(3)+f( )=3+ = . 解题技法　抽象函数问题通常用赋值法解决. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026广东深圳第七高级中学期中]已知函数f(x)=-x2+4x+1在区间[0,m]上的值域为[1,5],则m的取值范 围是 ( ) A.(0,2]　    B.(0,4]　    C.[2,4]　    D.[4,+∞)     C     解析　    f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,则f(0)=1,f(x)max=f(2)=5.令f(x)=1,解得x=0或x=4.作出f(x)的图象如图所 示,   结合图象可知,若当x∈[0,m]时,f(x)的值域为[1,5],则m∈[2,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025安徽滁州九校期中联考]设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如[-0.1]=-1,[2.8]=2.若函数 f(x)= -1,则函数y=[f(x)]的值域是 ( ) A.{2}　     B.{1,2} C.{-1,0,1,2}　    D.{-2,-1,0,1}     C     解析　　因为x2+1≥1,所以0< ≤3,故-1<f(x)≤2. ①当-1<f(x)<0时,y=[f(x)]=-1; ②当0≤f(x)<1时,y=[f(x)]=0; ③当1≤f(x)<2时,y=[f(x)]=1; ④当f(x)=2时,y=[f(x)]=2. 所以函数y=[f(x)]的值域为{-1,0,1,2}. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏南通启东中学周练]已知函数f(x)= . (1)若∀x∈[1,2],函数f(x)都有意义,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求实数a的取值范围; (3)求函数f(x)的定义域. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得ax2+2x+3≥0在x∈[1,2]上恒成立,则a≥- - 在x∈[1,2]上恒成立, 令t= ,则t∈ ,则a≥-2t-3t2在t∈ 上恒成立,令g(t)=-2t-3t2,t∈ (换元,化繁为简),则问题可以 转换为a≥g(t)max(a≥g(t)恒成立⇒a≥g(t)max), 又g(t)图象的对称轴为直线t=- ,所以g(t)在 上随着t的增大而减小, 所以g(t)max=g =- ,当且仅当t= ,即x=2时取得最值(易错点:注意验证取最值时,x值能否取到). 故a的取值范围是 . (2)要使f(x)的值域为[0,+∞),则y=ax2+2x+3的值域包含[0,+∞). 当a=0时,y=2x+3,当x∈ - ,+∞ 时,y∈[0,+∞); 第1讲　描述运动的基本概念 当a≠0时, 解得0<a≤ . 综上所述,a∈ . (3)令ax2+2x+3≥0, 当a≠0且Δ=4-12a≥0时,0<a≤ 或a<0, 此时方程ax2+2x+3=0的根为x1= ,x2= . 当a<0时,f(x)的定义域为  ,  ; 当a=0时,f(x)的定义域为 - ,+∞ ; 当0<a< 时,f(x)的定义域为 -∞,  ∪  ,+∞ ; 当a≥ 时,Δ≤0,f(x)的定义域为R. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题函数中最高次项的系数含参数,对参数的讨论是解决本题的关键.当a=0时,借助一次不 等式求解;当a≠0时,借助二次不等式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $