1.3.2 第2课时 基本不等式的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过养殖场围矩形鸡舍的情境导入，引导学生从实际问题中抽象数量关系，衔接已学的基本不等式概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过典例解析（如条件最值的一题多解）和通性通法总结发展数学思维，拓视野的应用技巧（如“1”的代换）提升数学语言表达能力。实例丰富且分层作业设计，助力学生提升应用意识，为教师提供系统教学资源。

3.2　基本不等式 第二课时　基本不等式的应用 第一章　预备知识 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 拓视野 基本不等式的应用技巧 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡 舍面积最大？ 【问题】　实例中问题的实质是什么？如何求解？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　基本不等式与最值 　当x，y均为正数时，下面的命题均成立： （1）若x＋y＝s （s为定值），则当且仅当x＝y时，xy取得最大值 ⁠； （2）若xy＝p （p为定值），则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 ⁠. 2 　 提醒：利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：①一正：各 项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证 取等号时条件是否具备. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x＞2y B. x＜2y C. x＝2y D. x＋2y＞0 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y.故选A. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是（　　） A. 10 B. 20 C. D. 2 解析：a＋b≥2 ＝2 ，当且仅当a＝b＝ 时，等号成立.故选D. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 　 　，此时x＝ 　 　. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤ ＝ ＝ ，当且仅当x＝1－x，即x＝ 时“＝”成立，即当x＝ 时，x （1－x）取得最大值 . 　 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 9 题型一　利用基本不等式求最值 （1）已知x＞3，求y＝2x＋ 的最小值； 解：因为x＞3，所以2x－6＞0， 所以y＝2x＋ ＝（2x－6）＋ ＋6≥2 ＋6＝ 2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝ ，即x＝4时取等号， 所以y＝2x＋ 的最小值是10. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知0＜x＜ ，求y＝ x（1－3x）的最大值； 解：因为0＜x＜ ，所以1－3x＞0， 所以y＝ ·3x（1－3x）≤ （ ）2＝ × ＝ ， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝ 时取等号. 所以y＝ x（1－3x）的最大值为 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）当x＞0时，求函数y＝ 的最大值. 解：∵x＞0，∴ ＝ ≤ ＝1，当且仅当x＝ ，即x＝1时取等号. 故函数y＝ 的最大值为1. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用基本不等式求最值的方法 　　利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值. 常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分 离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进 行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式， 或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式 得出最值； 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常 需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后 可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之 和为定值. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋ 的最小值是（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 5 解析：　∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋ ≥2 ＋ ＝4 ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 即a＝ ，b＝1时，等号成 立，此时4a＋b＋ 取得最小值4. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知x＜0，则 ＋4x的最大值为 　－8 　. 解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以 ＋（－4x）≥2 ＝8 ，当且仅当 ＝－4x，即x＝－ 时取等号，所以 ＋4x≤－ 8 ，所以当x＜0时， ＋4x的最大值为－8 . －8 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　利用基本不等式求条件最值 〔一题多解〕已知x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求x＋y的最小值. 解：法一　因为x＞0，y＞0， ＋ ＝1， 所以x＋y＝（x＋y）（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋9＝10＋ ＋ ≥10＋ 2 ＝16.当且仅当 即 时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　由x＞0，y＞0， ＋ ＝1，得x＝ ，且y＞9，所以x＋y＝ ＋y＝1＋ ＋y＝（y－9）＋ ＋10.因为y＞9，所以y－9＞0，所以 （y－9）＋ ＋10≥2 ＋10＝16. 当且仅当y－9＝ ，即y＝12时，取等号，此时x＝4. 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 1. （变条件）本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变， 求x＋y的最小值. 解：由2x＋8y－xy＝0，得y（x－8）＝2x. ∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝ ， ∴x＋y＝x＋ ＝x＋ ＝（x－8）＋ ＋10≥2 ＋10＝18. 当且仅当x－8＝ ，即x＝12时，等号成立，∴x＋y的最小值是18. 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. （变条件，变设问）本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求 ＋ 的最小值. 解：由 ＋ ＝（x＋y） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16， 当且仅当9x2＝y2，即y＝3x， 得x＝ ，y＝ 时，取“＝”， ∴ ＋ 的最小值为16. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. 常值代换法求最值的方法步骤 常值代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步 骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 2. 若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等 式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋ ＋y＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　p＝x＋ ＋y＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2＝5，当且仅当x＝y ＝ 时等号成立. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若a＞0，且a＋b＝0，则a－ ＋1的最小值为 ⁠. 解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－ ＝ ＞0，所以a－ ＋1＝ a＋ ＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 3　 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园 由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道（阴影部分）组成.已知休 闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m（如图所 示）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （1）若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x（x＞1），求公园ABCD 所占面积y（单位：m2）关于x的表达式； 解：设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝ . 所以y＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋160 ＝4 000＋（8x＋20）· ＋160 ＝80 ＋4 160（x＞1）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何 设计？ 解：y≥80 ×2 ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2 ＝ ，即x＝ 时取等号，此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m， 宽40 m. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 求实际问题中最值的步骤 （1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等 式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； （4）正确写出答案. 数学·必修第一册（BSD） 目录 某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x 件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库存费，可认 为年平均库存量为 ，每件商品库存费是每年10元，要使总费用（手续费 ＋库存费）最低，则每年进货次数为 ⁠. 10　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由题得nx＝6 000，x＝ .设总费用为y元，则y＝300n＋ ×10 ＝300n＋5x＝300n＋ .因为n＞0，所以300n＋ ≥2 ＝6 000，当且仅当300n＝ ，即n＝10时，y取最 小值，即总费用最低. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，则ab的最大值是（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 解析：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝4，∴ab＝ a·2b≤ （ ）2＝ ×（ ）2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立.∴ab的最 值为2. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 ＋ （　　） A. 取得最值时a＝ B. 最大值是5 C. 取得最值时b＝ D. 最小值是 解析：因为a＋b＝2，令y＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋2≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，且a＋b＝2，即a＝ ，b＝ 时，取“＝”. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. （x＞1）的最小值为 ⁠. 解析：令y＝ ，则y＝ ＝x＋1＋ ＝（x－1）＋ ＋ 2≥2 ＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝ ，即x＝4 时等号成立.故 （x＞1）的最小值为8. 8　 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的 浓度C（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝ ， 则经过多长时间后池水中该药品的浓度达到最大. 解：C＝ ＝ .因为t＞0，所以t＋ ≥2 ＝4（当且仅当t＝ ，即t＝2时等号成立）. 所以C＝ ≤ ＝5，当且仅当t＝ ，即t＝2时，C取得最大值. 故经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大. 数学·必修第一册（BSD） 目录 拓视野 基本不等式的应用技巧 目录 34 技巧一　巧用“1”的代换或乘“1”法求最值 （1）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值是 （　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 B 解析：由x＋3y－5xy＝0，得 ＋ ＝5，所以3x＋4y＝ （ ＋ ）（3x ＋4y）＝ （13＋ ＋ ）≥ （13＋2 ）＝5，当且仅当x＝ 1，y＝ 时，取等号.故选B. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式 ＋ －m≥0恒成立， 则m的范围为 ⁠. {m｜m≤ ＋ }　 解析：因为a＋2b＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）（a＋b＋b）＝ ＋ ＋1＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋2 ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ ，即a＝（ －1）b时，取等号，因为不等 式 ＋ －m≥0恒成立，所以m小于等于 ＋ 最小值，所以 m≤ ＋ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条 件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【迁移应用】 1. 已知a＞0，b＞0， ＋ ＝2，则a＋b的最小值为（　　） A. B. C. 3－2 D. 3＋2 解析：因为a＞0，b＞0，且 ＋ ＝2，所以a＋b＝ （ ＋ ）·（a＋b）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ，当且仅当b＝ a即a＝ ，b＝ 时，a＋b有最小值 .故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若a，b是正实数，且a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为 　2 ＋3　. 解析：因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）·（a＋b）＝2＋ ＋ ＋1≥2 ＋3＝ 2 ＋3，当且仅当 时等号成立. 2 ＋3　 数学·必修第一册（BSD） 目录 技巧二　分离消元法求最值 若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜ ），则 ＋ 的最小值 为 ⁠. 解析：因为xy＋3x＝3，所以x＝ ，所以0＜ ＜ ，解得y＞3，所 以 ＝y＋3，因此 ＋ ＝y＋3＋ ＝y－3＋ ＋ 6≥2 ＋6＝8，当且仅当y－3＝ ，即y＝4时取等号. 8　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 含有多个变量的最值问题的解决方法 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝 试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中 转化为只含有一个变量的最值问题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【迁移应用】 1. 已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 ⁠ ⁠. 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝ ，因为a＞0，b＞0，所以a＝ ＞ 0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝ ＋2b＝ ＋2（b－ 2）＋4＝2（b－2）＋ ＋5≥2 ＋5＝5＋2 ，当且 仅当2（b－2）＝ ，即b＝2＋ 时等号成立.所以a＋2b的最小值为5 ＋2 . 5＋ 2 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝ ， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋ ＝x＋ ＝x＋ －1＝x＋1＋ －2≥2 －2 ＝4，当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时等号成立.所以x＋2y的最小值为4. 数学·必修第一册（BSD） 目录 技巧三　双换元法求最值 若a＞0，b＞0，且 ＋ ＝1，则a＋2b的最小值为 　 ＋ ⁠. ＋ 　 解析：设 则 所以 ＋ ＝1，因为a＋2b＝ ＋2y－2＝ ，又因为x＋3y＝（x＋3y）（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋3≥2 ＋4＝4＋2 ，所以a＋2b≥ ＝ ＝ ＋ . 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 　　若题目是求含有两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就 是双换元法，分别用两个分式的分母作为两个参数，转化为这两个参数的 不等关系. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【迁移应用】 　已知x，y＞0，则 ＋ 的最大值为 　 　. 解析：设 则 因此 ＋ ＝ ＋ ＝ － ＋ － ＝ －（ ＋ ），因为 ＋ ≥2 ＝ ，所 以 ＋ ≤ － ＝ . 　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 47 1. 已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2 ＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 已知函数y＝x＋ －2（x＜0），则函数有（　　） A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为－4 D. 最小值为－4 解析：　∵x＜0，∴y＝－ －2≤－2－2＝－4，当且 仅当－x＝ ，即x＝－1时取等号. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若0＜x＜4，则 有（　　） A. 最小值0 B. 最大值2 C. 最大值 D. 不能确定 解析：　由基本不等式 ≤ ＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立，故最大值为2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知正数x，y满足 ＋ ＝1，则x＋2y的最小值是（　　） A. 18 B. 16 C. 8 D. 10 解析：　x＋2y＝（x＋2y） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18， 当且仅当 ＝ ，即x＝4y＝12时，等号成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（　　） A. B. C. D. 解析：　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝ .又x＞0，所以x＋y＝ ＋ ≥2 ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入 运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x 的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A. 车辆运营年数越多，利润越高 B. 车辆在第6年时，总利润最高 C. 车辆在前5年的平均利润最高 D. 车辆每年都能盈利 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确； ＝－x＋12－ ＝－（x＋ ）＋12≤－2 ＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 已知a＞0，b＞0，则 ＋ ＋2 的最小值是 ⁠. 解析： ＋ ＋2 ≥2 ＋2 ≥2 ＝4（当且仅当a ＝b＝1时取等号）. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 （阴影部分），则该矩形花园边长x为 m. 解析：设矩形花园的宽为y，则 ＝ ，即y＝40－x，矩形花园的面 积S＝x（40－x）≤ ＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当 x＝20 m时，面积最大. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月 货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓 库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和 最小，仓库应建在离车站 km处. 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝ ，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝ ，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝0.8x＋ ≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝ ，即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； 解：∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0， ∴2x＋5y≥2 ，∴2 ≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）求 ＋ 的最小值. 解： ＋ ＝ · （2x＋5y）＝ ＝ ≥ （7＋2 ）， 当且仅当 x＝ y时，等号成立. ∴ ＋ 的最小值为 （7＋2 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. “海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求 三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由 公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半.现 有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为 （　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：　因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝ ＝7.又由三角形边长关 系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝ ≤ × ＝ × ＝3 ，当且仅当7－b＝7－c 即b＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则（　　） A. ab的最大值为2 B. 2a＋b的最小值为4 C. a＋b的最小值为3 D. ＋ 的最小值为 √ √ √ 解析：因为6＝ab＋2a＋b≥ab＋2 ，当且仅当2a＝b时取等号，解得 ≤ ，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确；由6＝ab＋2a＋b得b＝ ＝ －2，所以2a＋b＝2a＋ ＝2（a＋1）＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 －4≥2 －4＝4，当且仅当2（a＋1）＝ ，即a＝1时 取等号，此时2a＋b取得最小值4，B正确；a＋b＝a＋ －2＝a＋1＋ －3≥4 －3，当且仅当a＋1＝ ，即a＝2 －1时取等号，C错 误； ＋ ≥2 ＝2 ＝ ，当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时 ＋ 取得最小值 ，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 〔一题多解〕若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则： （1）ab的取值范围是 ⁠； 解析：法一（基本不等式法）　ab＝a＋b＋3≥2 ＋3，当且仅当a＝b时取等号，所以（ ）2－2 －3≥0，得 ≥3或 ≤－1（舍），所以 ≥3，故有ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号，即ab的取值范围是[9，＋∞）. 法二（判别式法）　令ab＝t（t＞3），则b＝ ，代入原式得，t＝a＋ ＋3，整理得a2＋（3－t）a＋t＝0.Δ＝（3－t）2－4t≥0，得t≥9或t≤1 （舍）.即ab的取值范围是[9，＋∞）. [9，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）a＋b的取值范围是 ⁠. 解析：法一（基本不等式法）　ab＝a＋b＋3≤（ ）2，当且仅当a＝b时取等号.令S＝a＋b＞0，则S＋3≤ ，整理得S2－4S－12≥0，所以S≥6或S≤－2（舍），即a＋b的取值范围是[6，＋∞）. 法二（判别式法）　令a＋b＝t（t＞0），则b＝t－a，代入原式得a （t－a）＝t＋3，整理得a2－at＋t＋3＝0.Δ＝t2－4（t＋3）≥0，得 t≥6或t≤－2（舍）.即a＋b的取值范围是[6，＋∞）. [6，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售 量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0，单 位：万元）满足x＝3－ （k为常数），如果不举行促销活动，该产品 的年销售量是1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1 万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品 年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包 括促销费用）. （1）将2026年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的 函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：由题意，可知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－ ， 又每件产品的销售价格为1.5× 元， ∴y＝x －（8＋16x＋m）＝4＋8x－m ＝4＋8 －m ＝－ ＋29（m≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）该厂家2026年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：∵m≥0， ＋（m＋1）≥2 ＝8， 当且仅当 ＝m＋1， 即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2026年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21 万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $